基于共因失效的海水系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性分析

黃泰俊，楊自春，陳國兵，費(fèi)志方

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，湖北武漢 430033)

船舶動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜度高、可靠性要求高的系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)部分設(shè)備及子系統(tǒng)存在冗余，且由于不同航行工況對(duì)系統(tǒng)性能輸出的要求不同。系統(tǒng)中的設(shè)備處于不同的內(nèi)部工作環(huán)境，導(dǎo)致相同設(shè)備存在不同的失效率，而多個(gè)設(shè)備存在于相同的外部環(huán)境之中，導(dǎo)致系統(tǒng)存在共因失效。由于進(jìn)行動(dòng)力系統(tǒng)可靠性分析需要考慮的因素眾多，從而成為此類問題分析的難點(diǎn)。因此對(duì)這類系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，可以對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和維修決策提出有效建議，具有實(shí)際工程意義。

動(dòng)力系統(tǒng)由多個(gè)分系統(tǒng)構(gòu)成，包含各種串并聯(lián)系統(tǒng)以及k/n(G)系統(tǒng)。由于船舶運(yùn)行工況復(fù)雜，使動(dòng)力系統(tǒng)存在多種工作狀態(tài)，傳統(tǒng)的二態(tài)可靠性分析方法因?yàn)楹雎韵到y(tǒng)中間狀態(tài)，導(dǎo)致分析結(jié)果過于保守，不能準(zhǔn)確的評(píng)估系統(tǒng)的可靠性，因此，本文采用多狀態(tài)分析方法對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析。目前，對(duì)于多狀態(tài)系統(tǒng)的研究方法主要有以下5種:布爾模型擴(kuò)展法、隨機(jī)過程 (主要是Markov過程)法、通用生成函數(shù) (Universal Generating Function，UGF)法、隨機(jī)仿真 (主要是Monte Carlo仿真)法以及貝葉斯網(wǎng)絡(luò)法等。其中，由于通用生成函數(shù)在處理復(fù)雜的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性方面，具有計(jì)算復(fù)雜程度小、處理離散隨機(jī)變量組合簡(jiǎn)潔高效等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛運(yùn)用［1－4］。以上研究均是在只考慮系統(tǒng)設(shè)備獨(dú)立失效的情況下進(jìn)行的。

然而，由于工作環(huán)境的影響，使動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)備之間存在共因失效。共因失效是增加失效概率的主要原因之一，會(huì)降低冗余單元提升系統(tǒng)可靠性的效果。針對(duì)這個(gè)問題，國內(nèi)外學(xué)者把共因失效作為系統(tǒng)可靠性的一個(gè)重點(diǎn)因素進(jìn)行了相關(guān)研究［5－7］。

以上研究考慮的都是相同單元在相同失效率和修復(fù)率情況下的可靠性分析問題，而動(dòng)力系統(tǒng)中存在由于工作環(huán)境不同導(dǎo)致的相同單元失效率不同的情況，針對(duì)此問題以及動(dòng)力系統(tǒng)存在多狀態(tài)和共因失效等問題，本文利用通用生成函數(shù)，結(jié)合根據(jù)非同型單元可靠性分析［8］改進(jìn)的Markov過程，提出相同單元存在不同失效率且考慮完全共因失效情況的k/n(G)系統(tǒng)的可靠性分析方法，并以海水系統(tǒng)為例，對(duì)其進(jìn)行可靠性分析。

1 多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)定義

假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)單元組成，其中單元j(j=1，2，…，n)有kj個(gè)狀態(tài)，其中包括了正常狀態(tài)1、失效狀態(tài)kj以及中間狀態(tài) (2，…，kj－1)，則單元狀態(tài)性能向量表示為gj= {gj1，gj2，…，gjkj}和對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率為pj(t) = {pj1(t)，pj2(t)，…，pjkj(t)}。單元的輸出性能被看做為一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程Gj(t)，有Gj(t)∈gj，單元狀態(tài)概率和輸出性能值間的關(guān)系為pjhj(t) =Pr{Gj(t) =gjhj}(hj=1，2，…，kj)。

對(duì)于系統(tǒng)而言，系統(tǒng)輸出性能由全部n個(gè)單元的性能狀態(tài)決定，假設(shè)系統(tǒng)存在K個(gè)性能值，則單元和系統(tǒng)之間存在如下映射關(guān)系:

2 通用生成函數(shù)法

2.1 通用生成函數(shù)的運(yùn)用

利用UGF進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析時(shí)，通過引入z變換函數(shù)，首先要對(duì)系統(tǒng)及系統(tǒng)單元進(jìn)行狀態(tài)和性能描述。UGF定義了隨機(jī)變量的可能取值與其對(duì)應(yīng)的概率之間的聯(lián)系，并通過運(yùn)算建立了不同變量之間的關(guān)系。定義t時(shí)刻單元j的UGF為［9］:

定義UGF的運(yùn)算法則，引入算子Ωf，得到多狀態(tài)系統(tǒng) (Multi－state System，MSS)的UGF為:

式中:U1(z，t)，…，Un(z，t) 為各單元的UGF。

根據(jù)串并聯(lián)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，定義系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)f(·)的計(jì)算法則:

1)對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出性能取決于性能最弱的單元，定義運(yùn)算符δ1:

式中:gi、gj表示2個(gè)不同單元的性能值。

2)對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)，若系統(tǒng)性能由各單元一起分擔(dān)，定義運(yùn)算符δ2:

3)對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)，若系統(tǒng)性能取決于性能最強(qiáng)的單元承擔(dān)，定義運(yùn)算符δ3:

2.2 通用生成函數(shù)評(píng)估指標(biāo)

由于UGF表示多狀態(tài)系統(tǒng)的瞬時(shí)性能分布，因此可以用于評(píng)估瞬態(tài)可用度、平均瞬態(tài)性能等。

使用算子δA可得到在任意t(t＞0)時(shí)刻實(shí)際性能需求值為w時(shí)的系統(tǒng)瞬態(tài)可用度［9］:

使用算子δE可得到在任意t(t＞0)時(shí)刻系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能為:

3 基于共因失效的可靠性分析改進(jìn)方法

由上節(jié)所知，利用通用生成函數(shù)方法進(jìn)行多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析，關(guān)鍵在于確定狀態(tài)的性能值和對(duì)應(yīng)狀態(tài)的概率，對(duì)于單元j而言，即計(jì)算式 (1)中的gjhj和pjhj(t)，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言，即計(jì)算式(7)中的gi和pi(t)。其中單元性能值由單元本身決定，系統(tǒng)性能值由組成系統(tǒng)的單元之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系決定。

本節(jié)將利用Markov過程進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)的概率分析。對(duì)存在共因失效單元的k/n(G)系統(tǒng)作以下假設(shè)。

1)系統(tǒng)中單元的壽命和維修時(shí)間均服從指數(shù)分布，且單元只存在工作和失效2種狀態(tài)。

2)系統(tǒng)由n個(gè)失效率不同的相同單元組成，其對(duì)應(yīng)失效率分別為 (λ1，λ2，…，λn)，至少有k(k=1，2，…，n)個(gè)單元正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常;否則，系統(tǒng)失效。

3)系統(tǒng)進(jìn)入故障狀態(tài)時(shí)，其余正常單元停止工作。

4)單元可修，且有足夠的維修工，各單元的維修率相同為μ。

5)共因失效發(fā)生時(shí)系統(tǒng)失效，共因失效率為λ*。

對(duì)k/n(G)系統(tǒng)存在狀態(tài)進(jìn)行定義。從失效單元個(gè)數(shù)定義，狀態(tài)有n－k+2個(gè)，失效單元數(shù)分別為0，1，…，n－k，n－k+1，n個(gè)。然而，由于每個(gè)單元失效率不同，所以在i(i=1，2，…，n－k+1)個(gè)單元失效的情況下又分為Cin個(gè)子狀態(tài)。用0和1表示各個(gè)單元的工作狀態(tài)，0表示失效，1表示工作。例如 t時(shí)刻的 (0，0，1，1，…，1)表示單元1和2失效，其他正常工作。若用EiSi表示系統(tǒng)所有狀態(tài)，其中 Si=1，2，…，Cin，則t時(shí)刻的狀態(tài)為E21(t)，用FiSi(t)表示狀態(tài)EiSi(t)失效單元的位置，則F21(t) ={1，2}。令失效單元數(shù)n－k=r，以系統(tǒng)的單元失效個(gè)數(shù)表示的系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)系圖，不存在共因失效和存在共因失效的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移

圖1 中，λSi、μSi(i=1，2，…，r+1) 分別為失效單元數(shù)為i到失效單元數(shù)為i－1的狀態(tài)的失效率及相反過程的修復(fù)率，μSn為單元全部失效到失效單元數(shù)為r+1時(shí)的修復(fù)率。

通過馬爾科夫過程可以得到微分方程組(10)。

式中:pi(t)(i=0，1，…，r+1，n)為失效單元數(shù)為i時(shí)的狀態(tài)概率，piSi(t)為失效單元數(shù)為i時(shí)子狀態(tài)Si的概率，λj(j=1，2，…，n)為第j種單元的失效率。

本文使用MATLAB進(jìn)行迭代運(yùn)算，初始條件為p(t) = ［1，0，…，0］，即 p0(0) =1，pisi(0) =0，求解得到各狀態(tài)的瞬態(tài)概率pi(t)。

對(duì)于不需要了解瞬態(tài)概率，只關(guān)心穩(wěn)態(tài)可靠性能的系統(tǒng)，可以把各狀態(tài)概率pi(t)作為常量，帶入式 (10)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于微分方程組的求解，也就轉(zhuǎn)換為求解線性代數(shù)方程，可以得到多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率值pi(∞)。

4 算例分析

4.1 算例1

以文獻(xiàn) ［7］的算例3為研究對(duì)象，由于該系統(tǒng)的單元失效率相同，所以把λ1=λ2=0.001/h、λ*=0.000 5/h、μ =0.004/h代入式 (10) 得到結(jié)論，如表1所示。

表1 結(jié)論對(duì)比

其中，在本文結(jié)論中失效單元數(shù)為1時(shí)的概率計(jì)算為:

所以本文結(jié)論與文獻(xiàn) ［7］一致，驗(yàn)證了本文所提出方法的正確性。

4.2 算例2

4.2.1 海水系統(tǒng)的多狀態(tài)模型

海水系統(tǒng)的用途是向動(dòng)力設(shè)備和用水用戶提供足夠的冷卻海水保證它們的正常工作。本文以海水系統(tǒng)為例，建立多狀態(tài)系統(tǒng)的計(jì)算模型，如圖2所示。其中，1、2、3、4、5分別代表5臺(tái)海水泵，1、2為共因失效組1(CCG1)，3、4為共因失效組2(CCG2)，5號(hào)泵為軸系海水泵，其與前兩組海水泵互為備用。

由于泵1、2、泵3、4以及泵5分別在3個(gè)不同艙室之中，且由于2號(hào)海水泵在儲(chǔ)備狀態(tài)時(shí)連接普通電源，工作時(shí)連接可靠電源，4號(hào)海水泵連接可靠電源，其余海水泵連接普通電源，導(dǎo)致各泵的獨(dú)立失效率不同;由于泵的型號(hào)相同，所以各泵的修復(fù)率相同。設(shè)λi為各泵的獨(dú)立失效率，μ為修復(fù)率。不同艙室的整體工作環(huán)境不同，所以不同艙室海水泵的共因失效率也不相同，、分別為共因失效組1、2的共因失效率。根據(jù)設(shè)計(jì)值，相應(yīng)數(shù)據(jù)如表2所示。

圖2 海水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

表2 可靠性參數(shù)

4.2.2 海水系統(tǒng)可靠性分析

1)穩(wěn)態(tài)分析。由于每個(gè)海水泵只存在工作和失效2種狀態(tài)，海水泵的額定流量為250 t/h，所以gi={250，0}。對(duì)于共因失效組1而言，把表2中數(shù)據(jù)帶入式 (10)，再聯(lián)合式 (3)、(5)，得到共因失效組1(子系統(tǒng)1)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:

同理，得到共因失效組2(子系統(tǒng)2)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:

單元5(子系統(tǒng)3)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:

最后得到海水系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:

根據(jù)式 (9)得到海水系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)性能為:

在船舶的不同航行工況下，對(duì)于海水系統(tǒng)的供水量要求不同:

(1)在工況1下，w=964.8 t/h，則 A(∞，w)=0.994 0;

(2)在工況2下，w=814.8 t/h，則 A(∞，w)=0.994 0;

(3)在工況3下，w=364.8 t/h，則 A(∞，w)=0.999 9;

(4)在工況4下，w=267.8 t/h，則 A(∞，w)=0.999 9。

2)瞬態(tài)分析。精確值的解法為，結(jié)合初始條件對(duì)式 (10)進(jìn)行Laplace－Stieltjes變換，再進(jìn)行Laplace－Stieltjes反變換可以解得各狀態(tài)的瞬態(tài)概率表達(dá)式，即piSi(t)。結(jié)合式 (3)、(5)得到海水系統(tǒng)瞬態(tài)通用生成函數(shù)表達(dá)式UMSS(z，t)。

本文結(jié)合穩(wěn)態(tài)概率計(jì)算過程的數(shù)據(jù)，利用Origin生成相應(yīng)圖形。以1 000＜w＜1 250為例，則:

根據(jù)上式可以得到系統(tǒng)單元獨(dú)立失效和考慮共因失效時(shí)的瞬態(tài)可用度A(t，w)和平均瞬態(tài)性能E(t)，如圖3、圖4所示。

圖3 海水系統(tǒng)變工況下瞬態(tài)可用度對(duì)比

圖3 中，NO CCF1和CCF1分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí)，系統(tǒng)性能輸出要求為500＜w＜750時(shí)的可靠性水平;NO CCF2和CCF2分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí)，系統(tǒng)性能輸出要求為750＜w＜1 000時(shí)的可靠性水平;NOCCF3和CCF3分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí)，系統(tǒng)性能輸出要求為1 000＜w＜1 250時(shí)的可靠性水平。

根據(jù)圖3和4可知:①若不考慮共因失效，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果比實(shí)際情況偏高;②海水系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)在系統(tǒng)開始運(yùn)行后，迅速收斂，根據(jù)瞬態(tài)指標(biāo)的變化規(guī)律，可以在性能要求變化時(shí)，確定系統(tǒng)的檢修周期;③系統(tǒng)冗余度越高，可靠性越高，但是隨著冗余度的增加，對(duì)于系統(tǒng)可靠性的提升效果逐漸減小，可以根據(jù)此規(guī)律確定系統(tǒng)最合適的備件數(shù)量;④考慮共因失效時(shí)，系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能穩(wěn)定值約為1 229 t/h，遠(yuǎn)大于最高需求性能964.8 t/h，說明海水系統(tǒng)有很高的可用度。

圖4 海水系統(tǒng)平均瞬態(tài)性能對(duì)比

5 結(jié)束語

本文結(jié)合通用生成函數(shù)和Markov過程，對(duì)含有共因失效的多狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，基于已有的非同型單元k/n(G)馬爾科夫系統(tǒng)可靠性分析方法改進(jìn)提出了一種新方法，用于相同單元具有不同失效率并且存在共因失效的情況。并且用實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證，保證方法的正確性。通過研究有以下結(jié)論。

1)本文結(jié)合通用生成函數(shù)與Markov過程的多狀態(tài)可靠性分析方法，解決了二態(tài)可靠性分析結(jié)果偏保守的問題，提高了可靠性分析的精確度。

2)共因失效將導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性水平下降，本文研究結(jié)果也證明了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行共因失效分析的必要性。

3)考慮共因失效改進(jìn)Markov方法，克服傳統(tǒng)可靠性研究只考慮獨(dú)立失效和只考慮單元失效率相同的局限性，使本文的狀態(tài)概率計(jì)算方法能夠應(yīng)用于存在共因失效的相同單元不同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中，同時(shí)由算例1的結(jié)果可以證明，此方法也可以運(yùn)用于相同單元具有相同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中，具有一定的通用性。

本文考慮了單元壽命和維修時(shí)間都服從指數(shù)分布的情況，然而在機(jī)械設(shè)備當(dāng)中，還存在非指數(shù)分布的情況。下一步工作將考慮單元壽命和維修時(shí)間服從非指數(shù)分布的情況。