一些奇異實積分的特殊復(fù)圍道積分計算方法*

邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

定理1[1-2]設(shè)b>a>-1，則

證明設(shè)z=eiθ，則

利用貝塔函數(shù)與Γ函數(shù)的關(guān)系[1-2]，可得

于是

從而

利用余元公式[1-2]，可得

對于Γ函數(shù)在負(fù)的自變量處的定義，是通過余元公式的形式給出的.

定理2[1-2]設(shè)-1

設(shè)ρ>ε>0，Cε={z:|z|=ε}，Cρ={z:|z|=ρ}，AB={z:z=x,ε≤x≤ρ}.考慮沿道路AB,Cρ,BA,Cε上的復(fù)積分，利用留數(shù)定理可得

易知

故

(1)

定理3[1-4]設(shè)-π<λ<π，則

(2)

定理4[1-4]設(shè)0<λ<π，則

由定理3的證明即可給出定理4的證明.

定理5[1-4]設(shè)0

定理6[1-4]設(shè)0