張儉

[摘 要] 習題課教學要講究方法與策略，抓典型、分層次是最直接也是最有效的做法. 就數(shù)學學科而言，高中數(shù)學習題設置要抓典型、分層次，意味著我們的例題、習題選擇在所教授知識單元、模塊學習過程中應該具有代表性，緊密圍繞教學主題，同時又關注學生的思維水平和認知發(fā)展順序，學生透過典型例題能夠舉一反三，又可以向外延展與反思.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；習題教學；典型；分層

什么是習題課？我們每個教師似乎都懂，但是又沒有將其與其他課型區(qū)分開來，簡單而言，“習題課”是以教師提供習題，教師與學生一起研究習題，講評習題為主線的課型. 不過很多教師將習題課上爛了，如搞題海戰(zhàn)術（刷題）和醍醐灌頂（講題）等. 如何切實提升習題教學的實效，借助于優(yōu)化我們的習題課教學提高數(shù)學教學的效果呢？筆者認為，我們的高中習題教學要抓典型，同時也要分層次.

高中數(shù)學習題設置要抓典型

什么是典型？典型意味著我們選擇的例題都可以視作為一個范例，通過對例題的思考與解決，可以沉淀下經(jīng)驗與方法，便于其他的相似數(shù)學問題的解決. 具體而言，抓典型應該從如下幾個方面著手：

1. 圍繞主題

有效的教學首先都應該有明確的目標，對于習題課教學亦是如此. 對于習題課教學而言，我們的目標設置應該是多個維度的，包含知識點、數(shù)學思想方法、解決問題的經(jīng)驗與能力、情感態(tài)度與價值觀等，為了達成相應的目標，我們所選擇的例題應該有明確的指向性，緊緊圍繞著某一個主題設計，或圍繞某個概念雙基要求，或為了強化某類數(shù)學題的解法，或為了引導學生熟悉某一類數(shù)學問題的解題流程，或為了暴露學生在解決問題過程中可能出現(xiàn)的錯誤，等等.

例如，“實系數(shù)一元二次方程的解”這節(jié)習題課，正對雙基要求，我們可以從如下4個方面有針對性地進行例題設計.

（1）復數(shù)范圍內(nèi)的情況判別：

（2）理解總有兩解，掌握根的求法：

（3）在復數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

2. 可以舉一反三

在圍繞主題的同時，我們選擇的例題還應該具有代表性，什么意思？代表性意味著這一個習題的解答能夠牽連出一類數(shù)學問題的思考，通過一道習題的講解能夠將某種數(shù)學思想方法遷移到與之類似的一類問題的解決中來，即起到舉一反三的教學目的.

當然，有時僅僅靠一道題是難以實現(xiàn)舉一反三的目的，我們可以給學生提供一組題，借助于“題組”覆蓋與某一數(shù)學核心概念相關的幾類數(shù)學題，或覆蓋幾種解決同一類數(shù)學問題的多種數(shù)學思想與方法. 舉一反三的目的在于強化學生解決問題的方法意識，內(nèi)化概念的同時滲透數(shù)學思想.

3. 能激發(fā)思維

對于知識目標而言，學生的思維發(fā)展更為重要，為此我們選擇的典型例題應該能夠啟發(fā)學生的思維，具有“由淺入深，耐人回味”的特征，而且在問題的引領下，通過對題目的變形、拓展和學生的解題后反思能夠收獲更多. 例如，教材中橢圓的標準方程后有這樣一道習題.

例7：已知動圓C過定點A（-3，0），并且在定圓B：（x-3）2+y2=64的內(nèi)部與定圓B相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

分析：這道習題就具有典型性，能夠幫助學生內(nèi)化如何運用“定義法”求解相關動點軌跡的問題. 同時這道習題又不是孤立的，其具有可塑性，可以由該題出發(fā)進行變式與延展，促進學生思維向外發(fā)散.

延展1（改變原題中的已知條件）：已知動圓C與圓A：（x+5）2+y2=4和圓B：（x-5）2+y2=16均相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

分析：“延展1”給的情境與例7相比要復雜一些，對圓A、圓B的位置關系進行分析，不難發(fā)現(xiàn)兩者是相離的，可以借助于這個延展培養(yǎng)學生的思維縝密性和發(fā)散性，對于這個問題學生需要從4個方向盡心思考：①動圓C與圓A內(nèi)切且與圓B外切；②動圓C與圓A外切且與圓B內(nèi)切；③動圓C與圓A、圓B均外切；④動圓C與圓A、圓B均內(nèi)切. 每一種情況對應著相應數(shù)學概念和規(guī)律進行求解，然后再借助于歸納分類的思想進行整合，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 有效發(fā)散學生的思維，同時學生的規(guī)律思想還可以向前延伸，例如基于“延展1”我們還可以繼續(xù)變化：如果我們改變定圓A與定圓B的位置關系，對動圓的圓心軌跡有怎樣的影響呢？延展繼續(xù)向前.

延展2（圓A、圓B外切）：已知動圓C與圓A：（x+5）2+y2=36、圓B：（x-5）2+y2=16均相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

延展3（圓A、圓B相交）：已知動圓C與圓A：（x+5）2+y2=64、圓B：（x-5）2+y2=16均相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

延展4（圓A、圓B內(nèi)切）：已知動圓C與圓A：（x+5）2+y2=196、圓B：（x-5）2+y2=16均相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

延展5（圓A、圓B內(nèi)含）：已知動圓C與圓A：（x+5）2+y2=256、求圓B：（x-5）2+y2=16均相切，求動圓C的圓心軌跡方程.

通過上述延展后，我們引導學生再回過頭來思考，從例7到延展5是否可以“統(tǒng)一”處理呢？學生的思維從發(fā)散到聚合，如果將例7中的定點A視作為以A為圓心，半徑為0的定圓即可，繼而看到原習題與延展題的方法的統(tǒng)一性.

高中數(shù)學習題設置要分層次

學生是學習的主體，這里的學生指的是全體學生，而在班級內(nèi)部，學生的數(shù)學解題能力和數(shù)學思維是參差不齊的，同時對于具體一個學生而言，其思維也是從不成熟逐步走向成熟的. 針對這一現(xiàn)狀，如何激活所有學生的思維，提升習題教學實效呢？筆者認為唯有分層.

1. 分類處理

分類處理其本身就有分類、分層的意味.

例如，在“分段函數(shù)”學習時，會涉及很多實際應用類的問題，如果我們不加細分就直接拋給學生，不利于學生思路的整理和知識內(nèi)化，筆者認為應將此類問題有意識地進行細分為兩類：其一，單個分段函數(shù)問題（如出租車收費問題）；其二，兩個函數(shù)問題（如龜兔賽跑問題）. 分類后，例題的呈現(xiàn)和講解便有了順序，采用先易后難，有意分層不僅符合學生思維發(fā)展的規(guī)律，也有助于幫助學生區(qū)分兩種不同情形，促進分類意識與思想的發(fā)展.

2. 按照認知順序把握例題的層次性

學生的學習心理和思維特征尤其特殊性，我們的習題設置除了要圍繞考綱和教學內(nèi)容外，還應該關注學生的認知發(fā)展順序，否則將無法撞擊學生思維的撞針，導致學習無效，符合學生的認知順序實際上也是我們例題分層設計的一個依據(jù). 總體而言，我們的習題設計應由易到難，由淺入深，由現(xiàn)象到本質，當然從學生思維習慣來看，分層還需要引導學生從正向思維轉向逆向思維.

例如，學生在學習了y=Asin（ωx+φ）的圖像和性質后，為了促進學生的思維發(fā)展，我們可以先設置一個習題引導學生正向思維，接著再設置一個逆向思維，這樣的分層有助于暴露學生的思維障礙，引導學生通過對比進一步深化認知，提高思維的靈活性.

例8的這兩個問題看似相同，仔細分析后會發(fā)現(xiàn)差異，逆向思維比正向思維更容易出錯.

3. 分步突破重點、難點

對于學生而言，知識、技能在其認知發(fā)展過程中都不是直線上升的，而是螺旋式上升的，而每一個上升階段助推的關鍵位置則是數(shù)學學習的重點與難點所在，對于重點、難點在新授課學習的過程中，課堂上是難以一次性完成突破的，怎么辦？需要我們學生分階段、分層次地做一些習題，甚至是“碰一碰壁”，為此我們習題的分層，是分布突破教學重點、難點的需要，同時也是暴露出學生中學習困難對學生學習層次進行區(qū)分與反饋的需要.

例9：設函數(shù)f（x）=lg（ax2+2x+1），（1）若f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

例9這道例題具有典型性和分層性，這是學生步入高一，學習對數(shù)函數(shù)基本概念的時候較為常見的習題類型，這兩個問題的提議相似，僅僅改變了“定義域”和“值域”兩個詞，有意識地放在一起讓學生進行思考，可以將學生的思維水平層次劃分出來，因為這兩個問題的解題方法剛好相反，對于思維水平較弱的學生而言，這是易錯題，錯了怎么辦？可以讓學生以學習小組為單位，思維水平高的學生幫助思維水平較弱的學生找到正確的方法.