賈永臻

(北京大學(xué) 深圳研究生院，深圳518055)

柔性顯示屏幕是未來(lái)顯示技術(shù)的一個(gè)重要研發(fā)方向. 當(dāng)前，柔性屏幕各個(gè)膜層間常采用光學(xué)透明膠材(Optically Clear Adhesive, OCA)進(jìn)行粘接[1, 2]，柔性屏幕的整體變形過(guò)程中，OCA膠材的力學(xué)行為最為復(fù)雜，易發(fā)生粘性流動(dòng),導(dǎo)致屏幕表面不平整，是形成波紋狀顯示效果的主要原因. 構(gòu)建OCA膠材的力學(xué)本構(gòu)模型是仿真分析波紋狀顯示效應(yīng)的理論基礎(chǔ). Yeh[3]等率先建立了柔性屏幕的彎折仿真模型，但是該研究將OCA膠材看作簡(jiǎn)單的線彈性材料，無(wú)法對(duì)屏幕攤平及回彈過(guò)程中的非線性大變形問(wèn)題進(jìn)行解析. 薛宗偉[4]建立了基于小壓縮變形數(shù)據(jù)的OCA超彈性本構(gòu)模型，同樣無(wú)法應(yīng)用于柔性顯示屏幕的大變形分析. 基于此，本文展開(kāi)對(duì)OCA膠材力學(xué)行為的基礎(chǔ)研究，通過(guò)力學(xué)性能測(cè)試，獲取了OCA膠材在單軸拉伸和簡(jiǎn)單剪切兩種大變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，并選用唯象模型和熱力學(xué)模型，建立OCA膠材的超彈性本構(gòu)模型.

1 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

OCA膠材可以在發(fā)生大變形的情況下，卸載后自動(dòng)恢復(fù)為初始形狀，符合超彈性材料的一般特征，可以采用超彈性本構(gòu)模型建立OCA膠材的彈性力學(xué)行為. 傳統(tǒng)橡膠類超彈性材料通常采用單軸試驗(yàn)、雙軸試驗(yàn)和平面試驗(yàn)等三種實(shí)驗(yàn)方法獲取其應(yīng)力應(yīng)變曲線，但是OCA膠材的模量很低，商業(yè)化的雙軸和平面拉伸試驗(yàn)機(jī)的傳感器精度無(wú)法準(zhǔn)確獲取OCA膠材的應(yīng)力變化，因此，采用精密度較高的動(dòng)態(tài)機(jī)械分析儀和旋轉(zhuǎn)流變儀，分別對(duì)OCA膠材的拉伸行為和簡(jiǎn)單剪切行為進(jìn)行測(cè)試.

首先進(jìn)行試樣制備，將3M公司生產(chǎn)的OCA膠材疊層粘接，厚度h達(dá)到1 mm，之后再按照夾具要求完成試樣的切割，兩種變形模式所采用的測(cè)試設(shè)備及相應(yīng)的樣品尺寸如表1所示. DMA拉伸測(cè)試時(shí)，拉伸速率參考ASTM標(biāo)準(zhǔn)D412[5]；采用旋轉(zhuǎn)流變儀進(jìn)行簡(jiǎn)單剪切測(cè)試時(shí)，剪切應(yīng)變速率控制在0.01 s-1.

表1 試驗(yàn)測(cè)試設(shè)備及樣品尺寸規(guī)格

原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理后，可以提取出應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)艛?shù)據(jù)，具體的計(jì)算公式如下所示.

(1)單軸拉伸變形模式下，拉伸應(yīng)變?chǔ)臫和拉伸應(yīng)力σT的關(guān)系式：

(1)

式中，l0表示試樣原始長(zhǎng)度；l表示試樣拉伸長(zhǎng)度；f表示拉伸載荷.

(2)簡(jiǎn)單剪切變形模式下，剪切應(yīng)變?chǔ)胹和剪切應(yīng)力σs的關(guān)系式如下：

(2)

式中，φ表示平行板的旋轉(zhuǎn)位移；τ表示平行板扭矩.

2 超彈性本構(gòu)模型構(gòu)建及參數(shù)擬合

2.1 基本理論

超彈性材料的基本物理特征是彈性變形過(guò)程中熵產(chǎn)率為0，不發(fā)生能量耗散，因此超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系可以通過(guò)應(yīng)變能密度函數(shù)U的形式給出：

U=U(l1,l2,l3),

(3)

式中，l1,l2,l3分別為變形張量的三個(gè)不變量. 這些不變量和主伸長(zhǎng)率λi(i=1,2,3)的關(guān)系如下：

(4)

式中，γi表示主應(yīng)變，I3可以表征材料體積的變化，也用Jei表示，OCA膠材通常認(rèn)為是不可壓縮的，有I3=1.

將應(yīng)變能密度函數(shù)對(duì)主伸長(zhǎng)率求偏導(dǎo)，得出Cauchy應(yīng)力張量與主伸長(zhǎng)率的關(guān)系[6]：

(5)

式中，p表示靜水壓力.

2.2 應(yīng)變能密度函數(shù)與變形模式

超彈性材料的應(yīng)變能密度函數(shù)主要分為維象模型和統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)模型兩大類，基于經(jīng)驗(yàn)的維象模型主要包括Ogden模型、多項(xiàng)式模型、減縮多項(xiàng)式模型、Marlow模型等，其中減縮多項(xiàng)式模型的實(shí)驗(yàn)擬合精度較高，同時(shí)仿真計(jì)算的收斂性較好，是比較常用的唯象模型之一. 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)模型則主要有Arruda-Boyce模型、Van der Waals模型和Gent模型等. 下面將分別給出兩類模型中比較有代表性的減縮多項(xiàng)式模型和Arruda-Boyce模型的具體表達(dá)式，以及在不同變形模式下推導(dǎo)出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.

由式5可以導(dǎo)出具體變形模式下Cauchy應(yīng)力張量σi的表達(dá)式. 在單軸拉伸變形模式下，拉伸應(yīng)力的表達(dá)式為[7]：

(6)

在簡(jiǎn)單剪切變形模式下，剪切應(yīng)力的表達(dá)式為：

(7)

2.2.1 減縮多項(xiàng)式模型

減縮多項(xiàng)式(Reduced Polynomial)模型[8, 9]中忽略了第二變形張量不變量對(duì)于應(yīng)變能的影響，具體的應(yīng)變能密度函數(shù)表達(dá)式為：

(8)

式中，N表示多項(xiàng)式的階數(shù)；Ci0=(i=1～6)為表征剪切變形的材料常數(shù)，Di為表征體積變形的材料常數(shù)，對(duì)于OCA膠材不予考慮.

將式(8)代入式(6)和(7)，可得到減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 在單軸拉伸變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(9)

其中，λT=1+εT在簡(jiǎn)單剪切變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(10)

2.2.2 Arruda-Boyce模型

Arruda-Boyce模型[10]是一類由非高斯統(tǒng)計(jì)理論建立的簡(jiǎn)單熱力學(xué)模型，其應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式如下：

(11)

式中，μ、λm為表征剪切變形的材料常數(shù).

將式(11)代入式(6)和(7)，可得到Arruda-Boyce本構(gòu)模型中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系. 在單軸拉伸變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(12)

在簡(jiǎn)單剪切變形模式下，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(13)

3 參數(shù)擬合與分析

基于上述推導(dǎo)出的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，結(jié)合單軸拉伸和簡(jiǎn)單剪切的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即可實(shí)現(xiàn)超彈性參數(shù)的擬合. 目前，尚無(wú)商業(yè)化的仿真軟件可以將單軸拉伸和簡(jiǎn)單剪切數(shù)據(jù)同時(shí)擬合，也未見(jiàn)相關(guān)的公式推導(dǎo)和擬合方法等內(nèi)容有公開(kāi)報(bào)道. 本文利用數(shù)學(xué)軟件1Stopt，采用Levenberg-Marquardt算法，按照上述本構(gòu)方程編寫(xiě)代碼，實(shí)現(xiàn)了單軸拉伸與簡(jiǎn)單剪切數(shù)據(jù)的同時(shí)擬合，具體結(jié)果如表2所示.

表2 OCA膠材的超彈性本構(gòu)模型參數(shù)擬合誤差分析Tab.2 The fitting error analysis of the OCA hyperelastic constitutive model

完成參數(shù)擬合的本構(gòu)模型需進(jìn)行Drucker穩(wěn)定性評(píng)估，對(duì)于通過(guò)穩(wěn)定性評(píng)估的本構(gòu)模型，其應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖1～4所示.

由應(yīng)力應(yīng)變曲線的擬合結(jié)果對(duì)比后可知，Arruda-Boyce本構(gòu)模型和一階減縮多項(xiàng)式模型的擬合誤差較大，在拉伸和簡(jiǎn)單剪切變形模式下，其力學(xué)行為趨近于線彈性. Ritto等[7]進(jìn)行了基于簡(jiǎn)單剪切數(shù)據(jù)的超彈性本構(gòu)模型參數(shù)擬合，其研究成果指出，擬合誤差控制在0.2以內(nèi)，就代表了較高的擬合精度. 由表2可知，三階(擬合誤差0.0979)和五階的減縮多項(xiàng)式模型(擬合誤差0.0590)具備了較好的擬合精度，相較而言，五階減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型的擬合精度更高，但是更高階數(shù)的本構(gòu)模型在仿真分析時(shí)會(huì)帶來(lái)較嚴(yán)重的收斂性問(wèn)題，因此，對(duì)于柔性O(shè)LED屏幕的應(yīng)力管控問(wèn)題，本文推薦采用三階減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型進(jìn)行研究.

圖1 一階減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.1 Fitting result of the first-order reduced polynomial model

圖2 三階減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.2 Fitting result of the third-order reduced polynomial model

圖3 五階減縮多項(xiàng)式本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of the fifth-order reduced polynomial mode

圖4 Arruda-Boyce本構(gòu)模型的擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of the Arruda-Boyce model

4 結(jié)語(yǔ)

基于應(yīng)變能函數(shù)的超彈性模型是描述材料超彈性行為的一種有效方法. 本文采用DMA和流變儀準(zhǔn)確測(cè)得了OCA膠材在拉伸和簡(jiǎn)單剪切變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，為構(gòu)建膠材的超彈性模型準(zhǔn)備了充足的原始數(shù)據(jù). 以減縮多項(xiàng)式模型和Arruda-Boyce模型作為OCA膠材的應(yīng)變能函數(shù)，推導(dǎo)了兩種模型在拉伸和簡(jiǎn)單剪切變形模式下的應(yīng)力應(yīng)變公式，并使用Levenberg-Marquardt算法，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)運(yùn)用單軸拉伸與簡(jiǎn)單剪切數(shù)據(jù)，完成本構(gòu)模型的參數(shù)擬合. 通過(guò)Druker穩(wěn)定性評(píng)估，最終篩選出了與實(shí)驗(yàn)吻合精度高的本構(gòu)模型及相應(yīng)參數(shù). 該理論算法可適用于一般膠黏劑材料的超彈性本構(gòu)模型構(gòu)建及參數(shù)擬合.