變指數(shù)Lipschitz交換子在變指數(shù)空間上的有界性

郭慶棟，周 疆，房成龍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

1 預(yù)備知識

的可測函數(shù)組成的集合定義為P (Rn).

定義1.1[3](ⅰ) 設(shè)ɡ是連續(xù)函數(shù)，若存在clog>0使得對所有的x，y∈Rn，滿足

定義1.3[5]若p：Rn→(0，∞)是可測函數(shù)，Lp(·)(Rn)表示下面函數(shù)的集合：

其范數(shù)定義為

此外，記B (Rn)為所有滿足p(·)∈P (Rn)且Hardy-Littlewood極大算子在Lp(·)(Rn)上有界的函數(shù)組成的集合.

同時，為了后面定理的證明更加簡潔，定義算子Mδ及變指數(shù)分?jǐn)?shù)次極大算子Mα(·)如下：

定義1.5[5]設(shè)K是定義在Rn{0}上的局部可積函數(shù)，K的Fourier變換的支集是有界的，且K滿足

(1)

則對應(yīng)的奇異積分算子T定義為Tf(x)=K*f(x).若p(·)∈B (Rn)，則T在Lp(·)(Rn)上是有界的.

[b，T]f(x)=b(x)Tf(x)-T(bf)(x).

定義1.6[5]設(shè)0<α

進(jìn)一步，若1/p(·)-1/q(·)=α/n，則Iα從Lp(·)(Rn)到Lq(·)(Rn)是有界的.[6]

[b，Iα]f(x)=b(x)Iαf(x)-Iα(bf)(x).

另外，變指數(shù)Riesz位勢算子Iα(·)定義如下：

2 變指數(shù)Lebesgue空間上交換子的有界性

上面估計中，Mβ(·)f(x)≤CIβ(·)(|f|)(x)[8]，根據(jù)引理2.1即可得定理結(jié)論.

證明根據(jù)引理2.1，

定理2.3設(shè)β(·)∈Clog(Rn)，q(·)∈P0(Rn)，p(·)∈B (Rn)，1/p(·)-1/q(·)=α/n，1/p(·)-1/r(·)=(α+β(·))/n.若

由此可得

根據(jù)引理2.1，變指數(shù)分?jǐn)?shù)次積分算子Iα+β(·)(|f|)從Lp(·)到Lr(·)是有界的，定理得證.

3 變指數(shù)Lipschitz空間上的有界性

引理3.1[4]若β(·)∈P0(Rn)，q(·)∈P (Rn)，則

容易驗證 [b，T]f=[b-bQ，T]f，故

首先估計D1.

其次估計D2.取1/p(·)-1/q(·)=β(·)/n，根據(jù)[b，T]從Lp(·)到Lq(·)的有界性，可得

則有

定理3.2設(shè)β(·)∈Clog(Rn)∩P0(Rn)，q(·)∈P (Rn)，p(·)∈B (Rn)且滿足

證明容易驗證，[b，Iα]f=[b-bQ，Iα]f，故

首先估計E1.

其次估計E2.取

1/p(·)-1/r(·)=(α+β(·))/n，

根據(jù)[b，Iα]從Lp(·)到Lr(·)的有界性，可得

最后估計E3.

故