數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用分類解析

黃寧

[摘???要]從四個(gè)方面分析數(shù)列模型在解決實(shí)際應(yīng)用題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)列模型解決實(shí)際生活問題的能力.

[關(guān)鍵詞]數(shù)列;模型;分類;應(yīng)用

[中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058（2019）35-0030-02

在我們的日常生活中，數(shù)列問題隨處可見.比如，銀行計(jì)息問題、人口增長(zhǎng)問題、植樹造林問題、養(yǎng)老金問題等.學(xué)習(xí)的目的是什么？就是為了解決實(shí)際問題.那么，在數(shù)列知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用中，主要涉及哪些基本模型呢？

一、等差模型

當(dāng)實(shí)際問題滿足在變化過程中增加或減少的是一個(gè)固定量時(shí)，可把它視為等差模型，這類實(shí)際問題可利用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)加以解決.

[例1]小朋友王偉和賈亮相約世紀(jì)廣場(chǎng)玩機(jī)器人游戲，他們讓自己的機(jī)器人分別從相距70?m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng).王偉的機(jī)器人第1分鐘走2?m，以后每分鐘比前一分鐘多走1?m，而賈亮的機(jī)器人每分鐘都走5?m.請(qǐng)問：（1）倆機(jī)器人開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？（2）如果倆機(jī)器人到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，王偉的機(jī)器人繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1?m，賈亮的機(jī)器人繼續(xù)每分鐘走5?m，那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后它們?cè)俅蜗嘤觯?/p>

分析：從數(shù)列角度看，王偉的機(jī)器人每分鐘行走的路程可看成首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，而王偉的機(jī)器人每分鐘行走的路程不變，可看作是常數(shù)數(shù)列，故本題可用等差模型來解.

解：（1）設(shè)[n]分鐘后倆機(jī)器人第1次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=70]，整理得[n2+13n-140=0]，解得[n=7]，[n=-20]（舍）.

故倆機(jī)器人第1次相遇是在開始行走后7分鐘.

（2）設(shè)[n]分鐘后倆機(jī)器人第2次相遇，依題意，有[2n+n（n-1）2+5n=3×70]，整理得[n2+13n-420=0]，解得[n=15]，[n=-28]（舍）.

故倆機(jī)器人第2次相遇是在開始行走后15分鐘.

二、等比模型

如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.等比數(shù)列模型往往也涉及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用.

[例2]在德國(guó)的一個(gè)小鎮(zhèn)上曾經(jīng)發(fā)生過一個(gè)令人動(dòng)容的故事——九歲孤兒尋母.這位孤兒名叫彼得.他以助人為樂的形式表達(dá)對(duì)母親的思念之情，他在幫助他人之后，懇請(qǐng)被幫助者也去幫助10位需要幫助的人，依次接力下去，被幫助的每個(gè)人都這樣把愛心繼續(xù)傳遞給不同的人.彼得相信，母親總有一天也會(huì)成為被幫助者.假如德國(guó)有8220萬人口，請(qǐng)你用數(shù)列的觀點(diǎn)回答下列問題：?（1）當(dāng)n天過去后，用[Sn]表示被幫助者的總?cè)藬?shù)，請(qǐng)求出[Sn];（2）試問最多第幾天，彼得的母親也會(huì)成為被幫助者？

分析：據(jù)題意，第1天被幫助的人數(shù)為[a1=1]，第2天被幫助的人數(shù)為[a2=1+10]，第3天被幫助的人數(shù)為[a3=1+10+100]……第[n]天被幫助的人數(shù)為[an=1+10+100+？+10n-1]，顯然，數(shù)列[{an}]成等比數(shù)列，故本例是個(gè)等比模型.

解：（1）?據(jù)題意，第[n]天被幫助的人數(shù)為[an=1+10+100+？+10n-1]?[=10n-19]?.

設(shè)到第[n]天為止，得到幫助的總?cè)藬?shù)為[Sn]，則

[Sn=10-19+102-19+？+10n-19=19（10+102+？+10n-n）]?[=1910n+1-109-n]?.

（2）由[Sn=1910n+1-109-n≤8220×104=8.22×107].

可以這樣估算：當(dāng)[n=8]時(shí)，[S8]?[=12345678<8220×]?[104];當(dāng)[n=9]時(shí)，[S9]?[=123456789>8220×]?[104].?因此最多第9天，彼得可以如愿以償.

三、等差與等比綜合模型

有些應(yīng)用問題，既含有等差模型，又含有等比模型，需通過兩種模型的綜合，才能解決有關(guān)問題.

[例3]我們只有一個(gè)地球，保護(hù)地球就是保護(hù)我們?nèi)祟愖约?自黨的十八大以來，“環(huán)保”意識(shí)越來越深入人心.保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé).為了凈化空氣，濱河市準(zhǔn)備用幾年的時(shí)間把正在使用的一萬輛燃油車更換為電力型和混合動(dòng)力型機(jī)動(dòng)車.先在年初投入128輛電力型公交車和400輛混合動(dòng)力型公交車.并擬以后每年電力型公交車點(diǎn)的投入是上一年的1.5倍，而混合動(dòng)力車的投入每年比上一年多投入a輛.試問：（1）經(jīng)過[n]年后，濱河市會(huì)出現(xiàn)多少輛新公交車？（2）濱河市準(zhǔn)備在7年內(nèi)讓燃油車全部“下崗”，那么[a]的最小值是多少？

解：（1）設(shè)第[n]年投入的電力型公交車為[an]輛，第[n]年投入的混合動(dòng)力型公交車為[bn]輛，數(shù)列[{an}]是等比數(shù)列，且[a1=128]，公比為[q=1+0.5=32]?.數(shù)列[{bn}]是首項(xiàng)為400，公差為[a]的等差數(shù)列.

數(shù)列[{an}]的前[n]項(xiàng)和[Sn=128×1-32n1-32=25632n-1]?.數(shù)列[{bn}]的前[n]項(xiàng)和[Tn=400n+n（n-1）2a]，所以經(jīng)過[n]年，該市更換的公交車總數(shù)為：

[S（n）=Sn+Tn=][25632n-1][+400n+n（n-1）2a].

（2）若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，所以[S（7）≥1000]，

所以?[256327-1+400×7+7×62a≥1000]，即[21a≥2082]，所以[a≥1461621].又[a∈N？]，所以[a]的最小值為147.

四、遞推數(shù)列模型

有些應(yīng)用問題，既不是等差模型，又不是等比模型，它給出的是一種遞推關(guān)系.如何將這種遞推關(guān)系通過變形變成等差模型或等比模型，需要解題者自行探索.一是從特殊到一般，即先計(jì)算出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此歸納出通項(xiàng)公式，再加以檢驗(yàn).對(duì)遞推關(guān)系式進(jìn)行合理配湊，直接配成等差數(shù)列或等比數(shù)列.

[例4]一位幼兒園老師給班上[k（k≥3）]個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為[a0]，就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[12]分給第一個(gè)小朋友;再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[13]分給第二個(gè)小朋友，以后她總是在分給一個(gè)小朋友后，就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內(nèi)糖果的[1n+1]分給第[n（n=1，2，3，？，k）]個(gè)小朋友.設(shè)分給第[n]個(gè)小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為[an].

（1）當(dāng)[k=3]，[a0=12]時(shí)，分別求[a1，a2，a3];

（2）請(qǐng)用[an-1]表示[an];令[bn=（n+1）an]，求數(shù)列[{bn}]的通項(xiàng)公式.

分析：欲求數(shù)列[{bn}]的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是找到數(shù)列[{an}]的遞推關(guān)系，為此可以通過[a1]與[a0]的關(guān)系，[a2]與[a1]的關(guān)系，[a3]與[a2]的關(guān)系，歸納出[an]與[an-1]之間的遞推關(guān)系.

解：（1）當(dāng)[k=3]，[a0=12]時(shí)，[a1=a0+2-12a0+2=7]，[a2=a1+2-13a1+2=6]，[a3=a2+2-14a2+2=6]?.

（2）由題意知[an=an-1+2-1n+1an-1+2=nn+1an-1+2]，[∵][bn=（n+1）an]，[∴bn-bn-1=2n]，

[∴bn-bn-1=2n??，??bn-1-bn-2=2n-2??，？?，?b1-b0=2]?.

累加得[bn-b0=2+2n2n=nn+1]，又[b0=a0]，[∴]故?[bn=nn+1+a0]?.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）