陳衛(wèi)青

【摘? ?要】教材習(xí)題不僅包含著基礎(chǔ)知識與基本技能，還蘊(yùn)含著解題策略、數(shù)學(xué)思想和方法等內(nèi)容。要發(fā)揮好教材習(xí)題的練習(xí)作用，就需要教師對教材習(xí)題進(jìn)行深入的分析，充分挖掘隱藏在這些習(xí)題中的資源。具體操作可以從以下四方面著手，對教材習(xí)題進(jìn)行開發(fā)利用：借題發(fā)揮;舉一反三;領(lǐng)會題意;改編習(xí)題。

【關(guān)鍵詞】習(xí)題;數(shù)學(xué)教學(xué);策略

教材習(xí)題內(nèi)容豐富，圖文并茂，不僅包含著基礎(chǔ)知識與基本技能，還蘊(yùn)含著解題策略、數(shù)學(xué)思想和方法等。筆者通過“教材練習(xí)素材的利用與開發(fā)”這一課題，對課后習(xí)題進(jìn)行了深入的分析，邊教學(xué)邊實踐，很好地發(fā)揮了習(xí)題的練習(xí)作用。現(xiàn)對實踐中所運用的幾點策略總結(jié)如下，供大家教學(xué)時參考。

一、借題發(fā)揮，突出方法與規(guī)律的提煉

教材在編寫課后習(xí)題時，除了緊扣本節(jié)課的知識與技能，還會安排一些具有代表性的素材，使學(xué)生練習(xí)后能更好地總結(jié)方法、提煉規(guī)律。

比如在教學(xué)人教版五年級下冊“最大公因數(shù)”后，教材配有以下習(xí)題。

找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。

6和9? ? 15和12? ? 42和54? ? 30和45? ? 99和36

5和9? ? 34和17? ? 16和48? ? 15和16? ? 13和78

教材對這10組數(shù)做了精心的設(shè)計。這10組數(shù)中有兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)關(guān)系的若干組，兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的若干組，兩個數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系又不是倍數(shù)關(guān)系的若干組。如果教師在教學(xué)時，只讓學(xué)生求出每組數(shù)的最大公因數(shù)，而不引導(dǎo)學(xué)生針對各組數(shù)的特點進(jìn)行方法和規(guī)律的提煉，那只能是單一的訓(xùn)練。所以教師有必要在學(xué)生找出每組數(shù)的最大公因數(shù)后，提出以下問題：怎樣能更快地找到兩個數(shù)的最大公因數(shù)？

學(xué)生針對這一問題先獨立思考，分小組討論后，教師再組織集體交流。

生：我看到這10組數(shù)中有兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的，小的那個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。

師：你能舉例說明嗎？

生：如“13和78”，這里的78是13的6倍，13就是78的因數(shù)，所以13和78的最大公因數(shù)就是13。

師：以上10組數(shù)中兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的還有嗎？（教師根據(jù)學(xué)生的回答，重新把有倍數(shù)關(guān)系的組寫在一起）

生：如果兩個數(shù)的公因數(shù)只有1，那最大的公因數(shù)就是1。如“5和9”，最大公因數(shù)是1。

師：很好！兩個數(shù)的公因數(shù)只有1，我們把這兩個數(shù)叫作互質(zhì)數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)是相鄰的自然數(shù)時，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)也是1。如“15和16”這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1。

師：是嗎？大家是否再舉例說一說？（學(xué)生說了很多，如16與17，17與18，288和289……這樣的兩個數(shù)的最大公因數(shù)都是1）

師：除了兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系的，還有什么關(guān)系？

根據(jù)學(xué)生的回答，教師作如下板書（如圖1）。

圖1

師：當(dāng)兩個數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系，又不是倍數(shù)關(guān)系時，用什么方法能更快地找到最大公因數(shù)？

生：在兩個數(shù)中，先把小的數(shù)的因數(shù)都找出來，再看看哪個因數(shù)是大的數(shù)的因數(shù)，找出最大的因數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。如“6和9”，6的因數(shù)有1，2，3，6，發(fā)現(xiàn)3是9的因數(shù)，所以“6和9”的最大公因數(shù)是3。

師：你們再想想，有必要把較小數(shù)的因數(shù)都找出來嗎？

生：可以把較小的數(shù)除以2來比較。如“6和9”，把6除以2等于3，這3又是9的因數(shù)，所以“6和9”的最大公因數(shù)就是3。如“15和12”，把12除以2等于6，6不是15的因數(shù)，再把6除以2等于3，這3是15的因數(shù)，所以“15和12”的最大公因數(shù)就是3。

師：好！大家用這種方法再找一找另外3組數(shù)的最大公因數(shù)，看是否可行？（過程略）

師：這種方法叫作把較小數(shù)縮倍法，但一定都要除以2嗎？如碰到“27和36”，只要把較小的數(shù)27除以3等于9，9是36的因數(shù)，也就找到“27和36”的最大公因數(shù)是9。

接著教師借以上分析又向?qū)W生提出以下的練習(xí)：

①如果“a和36”的最大公因數(shù)是12，且a<36，那a是（? ? ? ? ?）。

②如果“a和36”的最大公因數(shù)是1，且a<36，那a是（? ? ? ? ?）。

生：第①題a=12，24;第②題a=1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

教材習(xí)題解答后，教師繼續(xù)向?qū)W生提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步概括解題的方法和規(guī)律，并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出新的練習(xí)。這樣的延伸性提問和補(bǔ)充，能把原題的功能發(fā)揮得淋漓盡致。

二、舉一反三，突出解題思路的拓展

由于受版面的限制，教材中同一內(nèi)容、同一性質(zhì)的練習(xí)材料相對較少。而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不可能只通過一兩個練習(xí)就能進(jìn)行歸納、提煉，所以需要教師根據(jù)教材提供的練習(xí)材料，自主創(chuàng)編出適量的、具有相互關(guān)聯(lián)的習(xí)題，可采用“一題多問，一題多解，一題多變”等方式，觸類旁通，拓寬學(xué)生解題的思路。

（一）一題多問，加深理解解題方法

“一題多問”，不是每一題都要去“多問”，有些題不需要多問，有些題自然要多問。比如老版（2009年3月第2版）的人教版教材六年級上冊“扇形統(tǒng)計圖”中有這樣一道練習(xí)題（如圖2）。

圖2

此題的練習(xí)目的是“能根據(jù)具體數(shù)據(jù)選擇合適的統(tǒng)計圖”。教學(xué)時，教師往往希望學(xué)生回答出預(yù)設(shè)答案：第（1）組數(shù)據(jù)更適合畫折線統(tǒng)計圖;第（2）組數(shù)據(jù)更適合畫扇形統(tǒng)計圖;第（3）組數(shù)據(jù)更適合畫條形統(tǒng)計圖。接著教師最多會追問：為什么？

這樣的教學(xué)，此題的功能沒有得到應(yīng)有的發(fā)揮。教師可在學(xué)生回答說理后，繼續(xù)補(bǔ)充以下問題。

問題1：請你們想一想，根據(jù)第（2）組數(shù)據(jù)繪制成的扇形統(tǒng)計圖會是什么樣子的？

在學(xué)生比畫表述后，教師再出示一組圖，向?qū)W生提出：你想象的統(tǒng)計圖的樣子應(yīng)該是哪個圖？

問題2：下面是綠蔭小學(xué)去年種下各種樹木成活率統(tǒng)計表（如圖3），你覺得根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以畫出扇形統(tǒng)計圖嗎？

圖3

大部分學(xué)生回答：可以。沉默片刻后就有越來越多的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這張表格中的百分?jǐn)?shù)表示的是各種樹木的成活率，相互沒有關(guān)聯(lián)，所以不能畫成扇形統(tǒng)計圖。

問題3：題目中第（2）組數(shù)據(jù)中的百分?jǐn)?shù)是怎樣計算出來的？

學(xué)生通過觀察回答：第（2）組數(shù)據(jù)中的百分?jǐn)?shù)是根據(jù)第（3）組數(shù)據(jù)算出來的。

這時教師讓學(xué)生根據(jù)第（3）組數(shù)據(jù)算一算是不是剛好是第（2）組數(shù)據(jù)中的百分?jǐn)?shù)。然后出示圖4，再向?qū)W生提出要求：請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出扇形統(tǒng)計圖。

圖4

教材提供的三組數(shù)據(jù)，只要求學(xué)生選用畫哪種統(tǒng)計圖更合適。停留在這樣的分析上，只能達(dá)到讓學(xué)生認(rèn)識各種統(tǒng)計圖在什么情況下更合適的目的。如果以此題為背景，采用一題多問的方式，可使學(xué)生對扇形統(tǒng)計圖有進(jìn)一步的認(rèn)知。

新版（2014年3月第1版）的人教版教材對此題作了極大的改進(jìn)，在加深學(xué)生對解題方法的理解上有了很好的引領(lǐng)。

（二）一題多解，交流拓展解題思路

教材中有許多習(xí)題本身蘊(yùn)含一題多解的特點，所以在學(xué)生解答后，教師要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用多種方法去解答，并及時組織學(xué)生交流，使學(xué)生能更好地拓寬解題思路，提高解決問題的能力。

比如人教版五年級上冊“多邊形的面積”中有這樣一題（如圖5）。

圖5

教師先讓學(xué)生獨立解題，并要求用不同的方法進(jìn)行解答，接著展示學(xué)生的解題方法，最后進(jìn)行分類整理并歸納解題思路。

第一類：先分割，再計算。

方法1：按上、下分（見圖6-①），把陰影分割成上、下兩部分，陰影部分的面積是：5×4÷2+（2+5）×4÷2=10+14=24（cm2）。

方法2：按左、右分（見圖6-②），把陰影分割成左邊是一個直角梯形，右邊是一個鈍角三角形。陰影部分的面積是：（4+5）×2÷2+5×6÷2=9+15=24（cm2）。

方法3：連對角線（見圖6-③），分成兩個鈍角三角形，陰影部分的面積是：4×8÷2+2×8÷2=16+8=24（cm2）。

圖6

第二類：先補(bǔ)充，再計算。

方法4：把它補(bǔ)成一個梯形（見圖7-①），算式是：（4+8）×8÷2-8×6÷2=48-24=24（cm2）。

方法5：把它補(bǔ)成一個梯形（見圖7-②），算式是：（2+8）×8÷2-8×4÷2=40-16=24（cm2）。

方法6：把它補(bǔ)成一個正方形（見圖7-③），算式是：8×8-8×4÷2-8×6÷2=64-16-24=24（cm2）。

圖7

第三類：直接數(shù)方格。

“一題多解”可培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，促使學(xué)生從不同角度分析問題、解決問題，努力拓寬思維的廣度。但在“一題多解”中，應(yīng)注重學(xué)生在求異中的歸納、優(yōu)化，使求異更有價值。

（三）一題多變，完善解題模式

一題多變是訓(xùn)練學(xué)生完善解題模式，提高思維靈活性的有效方法。如人教版六年級上冊“分?jǐn)?shù)除法”中有這樣一道題。

挖一條水渠，王伯伯每天挖整條水渠的[120]，李叔叔每天挖整條水渠的[130]。兩人合作，幾天能挖完？

此題是已知工作效率的工程問題，可以直接運用的數(shù)量關(guān)系是“總工作量÷工作效率和=合作工作時間”，即“1÷（[120]+[130]）=合作工作時間”?；诖祟}的解題模式，可先回歸到兩人獨做需要的工作時間上，并以此題變換出不同背景下的題目，如以下題組。

①挖一條水渠，王伯伯單獨挖，需要20天完成;李叔叔單獨挖，需要30天完成。兩人合作，幾天能挖完？

②從甲城到乙城，客車需要20小時，貨車需要30小時;現(xiàn)在客車和貨車分別從甲、乙兩城同時相向開出，幾小時后兩車相遇？

③姐妹兩人繞著周長為600米的池塘走路，姐姐單獨走一圈要20分鐘，妹妹單獨走一圈要30分鐘?，F(xiàn)在她倆從同一地點同時相背出發(fā)，經(jīng)過幾分鐘后兩人相遇？

④一批木料，如果做課桌，可以做20張;如果做椅子，可以做30把。如果一張課桌配一把椅子為一套，這些木料可以做多少套這樣的課桌椅？

⑤一個游泳池有兩根進(jìn)水管，單開甲管，20小時可以把空池注滿;單開乙管，30小時可以把空池注滿?，F(xiàn)在同時打開甲、乙兩管，幾小時可以注滿這個游泳池？

以上5題可使學(xué)生認(rèn)識到只是問題背景在變，解題模式都是一樣的。為防止學(xué)生產(chǎn)生思維定式，可再增加以下題目：

橘子成熟了，李叔叔說：我家果園里的橘子我一人采摘需要20天完成。王叔叔說：我家果園里的橘子我一人采摘需要30天完成。如果兩人合作，幾天可以摘完橘子？

三、領(lǐng)會題意，做好滲透

教材中的有些習(xí)題，蘊(yùn)含著后繼要學(xué)的數(shù)學(xué)知識，這就需要教師給予挖掘強(qiáng)化。如果及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行延伸性思考，就能很好地激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，更好地滲透后繼知識的學(xué)習(xí)。如人教版四年級上冊“角的度量”這一單元，教材設(shè)計了多個圖形的測量，都可滲透后繼知識的學(xué)習(xí)。

如圖8-①，此題讓學(xué)生測量后去發(fā)現(xiàn)“對頂角相等”。

①? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

圖8

又如圖8-②題，此題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩條平行線之間所畫的角的度數(shù)是另外兩個角的度數(shù)的和”。

再如圖8-③題，此題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“同弧所對的圓周角的度數(shù)相等”。

雖然這些知識要到中學(xué)才學(xué)習(xí)，但學(xué)生通過測量，不僅可鞏固量角技能，更能感受到數(shù)學(xué)的奧秘。因此在教學(xué)這些習(xí)題時，除了完成原題的任務(wù)外，還應(yīng)該進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生去舉例驗證，如圖8-①，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)對頂角相等后，教師可讓學(xué)生在紙上任意畫出兩條相交的直線，去測量驗證。

四、改編習(xí)題，提升價值

教材中的有些習(xí)題往往只針對某一知識點或某一技能，為了發(fā)揮習(xí)題的最大作用，在實際教學(xué)時，可根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，對習(xí)題進(jìn)行改編。比如人教版四年級上冊“認(rèn)識平行四邊形”做一做中有這樣一題（見圖9）。

圖9

此題的意圖是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)所擺的平行四邊形的形狀有不同，從中認(rèn)識平行四邊形的不穩(wěn)定性。筆者認(rèn)為此題只給學(xué)生4根小棒，學(xué)生在拼擺時，只要把對邊擺相等了，平行四邊形也就擺成了。這樣的題目思維含量低。為此，筆者在教學(xué)時將此題改編成了以下的問題（如圖10）。

圖10

從7根吸管中選擇4根串成平行四邊形，學(xué)生在解決這個問題時，要根據(jù)平行四邊形的特征來思考。當(dāng)選好4根吸管串成平行四邊形時，這實際上做了一個能抽拉的學(xué)具，學(xué)生自然就認(rèn)識到平行四邊形具有不穩(wěn)定性。

當(dāng)學(xué)生選擇2號管2根與3號管2根，串成平行四邊形時，學(xué)生在抽拉中還認(rèn)識到長方形是特殊的平行四邊形。

當(dāng)學(xué)生選擇2號管4根，串成平行四邊形時，學(xué)生在抽拉中除了認(rèn)識到有四條邊相等的特殊平行四邊形外，還動態(tài)地認(rèn)識到正方形是特殊的平行四邊形。同時教師還可以告訴學(xué)生這四條邊相等的平行四邊形，還有一個名字叫菱形。

這樣的改編，使學(xué)生動態(tài)地獲得了平行四邊形具有不穩(wěn)定性，長方形、正方形都是特殊的平行四邊形等知識，提升了習(xí)題的價值。

教材習(xí)題的開發(fā)利用，還有很多策略可以研究。

（浙江省臨海市哲商現(xiàn)代實驗小學(xué)? ?317000）