■江蘇省丹陽高級中學(xué) 吳雨嫣

計數(shù)問題種類繁多，方法多變，但無外乎元素與位置的關(guān)系問題。是先考慮“元素”還是先考慮“位置”，或是將“元素”與“位置”綜合起來考慮，就衍生出眾多的解題策略與思維方法。只要把握住最基本、最常見的原理和方法，挖掘和提煉典型題目探究求解過程中所蘊(yùn)含的多種思維方法，就能夠以不變應(yīng)萬變，從而有效地提高解決問題的準(zhǔn)確性。

一、數(shù)字組成中的“多種思維方法”

例1在由數(shù)字0、1、2、3、4、5 所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5 整除的數(shù)共有____個。

解析1：特殊元素優(yōu)先法分類，根據(jù)所求四位數(shù)對0和5兩個元素的特殊要求將其分為四類：①含0不含5，先安排0的位置填空位，共有；②含5不含0，安排5的位置填空位，共有；③含0也含5，先安排0 和5 的位置填空位，共有④不含0 也不含5，共有=24(個)。所以符合條件的四位數(shù)共有48+72+48+24=192(個)。

解析2：間接法，數(shù)字0、1、2、3、4、5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有=300(個)，能被5整除的數(shù)有二類：個位數(shù)為0的有=60(個)；個位數(shù)為5 的有(個)。故符合條件的四位數(shù)共有300-60-48=192(個)。

素養(yǎng)：數(shù)字組成常常圍繞“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互質(zhì)關(guān)系、大小關(guān)系”等展開，求解的思維方法，要么特殊位置優(yōu)先填空位分步，要么特殊元素優(yōu)先填空位分類，還可以應(yīng)用間接法求解。

二、相鄰、不相鄰（相離）、不全相鄰問題中的“多種思維方法”

例2某次聯(lián)歡會要安排3 個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1 個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

解析1：排歌舞插其他節(jié)目，依據(jù)插入的元素相同與不同分兩類求解。(1)先將3 個歌舞進(jìn)行全排，其排法有種；(2)用小品與相聲插入將歌舞分開，若兩個歌舞之間只有一個其他節(jié)目，整體思考最后的結(jié)果構(gòu)造兩類三個元素的全排列其插法有種。若兩個歌舞之間有兩個其他節(jié)目時插法先選后排有由計數(shù)原理可得節(jié)目的排法共有

解析2：安排歌舞分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類，其排法有種，然后利用插空法將剩余3 個節(jié)目排入左邊或右邊3 個空，故不同排法有第二類也分兩步，先排歌舞類，其排法有種，然后將剩余3個節(jié)目放入中間2個空，其排法有種，故不同的排法有48(種)。由分類計數(shù)原理可得節(jié)目的排法共有72+48=120(種)。

素養(yǎng)：排列問題中，部分元素相鄰的問題可以用“捆綁法”；部分元素不相鄰和部分元素?zé)o序的問題都用“插空法”。一般把沒有限制條件的元素作全排列，再把不相鄰的元素插空排好，注意插入元素的分類或位置的交換。

三、排隊問題中的“多種思維方法”

例3甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中間，乙、丙相鄰，丁不在兩端，則不同的排法共有多少種?

解析1：“特殊元素，優(yōu)先排列”，甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后，從左至右依次編號為1，2，3，4，5，6，7。顯然，甲必須排在第2 號位置上，依據(jù)丁的站位進(jìn)行分類討論：①當(dāng)丁站在第2或6號位置時，先乙、丙相鄰選位再排其他人，其排法有=48(種)；②當(dāng)丁站在第3或5號位置時，先乙、丙相鄰選位再排其他人，排法有所以不同的排法共有48+72=120(種)。

解析2：“特殊位置，優(yōu)先考慮”，依據(jù)乙、丙的站位進(jìn)行分類討論：①當(dāng)乙、丙站在“第1與2號”或“第6與7號”位置時，丁不在兩端，符合要求的排列法有C12×A22×C13×A33=72(種)；②當(dāng)乙、丙站在“第2與3號”或“第5與6號”位置時，丁不在兩端，符合要求的排列法有所以不同的排法共有48+72=120(種)。

素養(yǎng)：排隊問題常用的思維方法：(1)元素分析法，以元素為主體，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。(2)位置分析法，以位置為主體，先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。(3)間接法，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。

四、錯位排列中的“多種思維方法”

例4有五雙不同的鞋，從中任取4只，至少有2 只配成一雙的可能取法種數(shù)是多少?

解析1：直接分類研究，一類是4只中恰有2只配對，一類是4只鞋正好配成兩雙。

(1)若4只鞋正好是兩雙，直接從五雙鞋中任取兩雙，共有取法種數(shù)為

(2)取出的4 只鞋子有且只有2 只能配成一雙，分兩步完成：第一步，從五雙鞋子中任取一雙，有種取法。第二步再分為3類，第1類，從余下的穿在左腳的4只鞋子中任取2只，有種取法；第2類，從余下的穿在右腳的4 只鞋子中任取2 只，有種取法；第3類，從余下的左(或右)腳的4只中任取1只，再在余下的右(或左)腳和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只，有種取法，故共有取法?；蛉绻『糜? 只配成一雙，先從五雙中取出一雙，然后在剩下的四雙中取出兩雙，兩雙中各取1 只不配對，共有取法由分類計數(shù)原理，可知所有符合要求的取法為10+120=130(種)。

解析2：間接法研究，至少有2只配成一雙的對立事件就是4只均不配對，先從10只鞋中任取4只，有種取法，其中4只鞋都不成對可以看成從五雙鞋中取四雙，每雙取出1只，共有取法種。用間接法得所有符合條件的取法種數(shù)為

素養(yǎng)：n 個不同元素a1，…，an排成一排(簡稱第k 個位置為ak的本位)，有且僅有m(m≤n)個元素不排在本位的排列稱為錯位排列。特別地，如果n 個元素都不在本位，即m=n 時，稱這樣的排列為“全錯位排列”。對于這種配對問題，我們先處理好成對的元素，再按要求處理其他元素，這實(shí)際上也是在遵循特殊元素優(yōu)先處理的原則。

五、“至多”、“至少”問題用間接法或直接分類法

例5 從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有____種不同的選法。

解析1：元素自然分組間接法求解，先選4人，再在所選4人中選出隊長1人，副隊長1人，其選擇方法為種方法，其中服務(wù)隊中至少有1名女生的對立事件為先選4個男生，再在所選4人中選出隊長1人，副隊長1 人，其選擇方法為于是服務(wù)隊中至少有1 名女生的選法為

解析2：直接法分兩步完成，第一步，8名學(xué)生中選4人(至少有1名女生)，其中1女3男有種選法；第二步，分配職務(wù)：4 人里選2 人擔(dān)任隊長和副隊長有種選法。所以不同的選法共有=(2×20+1×15)×12=660(種)。

素養(yǎng)：含有“至多”、“至少”的排列組合問題，可直接先分類后分步求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立事件用間接法求解，若用間接法，即排除法，但這種方法僅適用于反面情況明確且易于計算的情況，可以提高解題速度和準(zhǔn)確率。