○朱 宇

編者按：基本思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“四基”的重要組成部分，數(shù)學(xué)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。學(xué)生通過“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際意義，在培養(yǎng)形象思維能力的同時(shí)，促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。

《數(shù)與形》是人教版六年級(jí)上冊(cè)第八單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容。本單元包括兩個(gè)例題和10道習(xí)題，借助一些特殊的算式與圖形的相互對(duì)照，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的直觀性，自主探索圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，深化數(shù)形結(jié)合解題方法的學(xué)習(xí)，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。

一、教材變化點(diǎn)

新教材用“數(shù)與形”取代了原來的“雞兔同籠”問題，“雞兔同籠”問題被前移到四年級(jí)下冊(cè)。

一方面，“雞兔同籠”的學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于突出嘗試的策略，在嘗試過程中不斷調(diào)整思路，逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，側(cè)重于在嘗試與枚舉中培養(yǎng)歸納推理能力。很顯然，這種目標(biāo)定位滯后于六年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平。而且，學(xué)生在五年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程，如果用列方程解決“雞兔同籠”問題，雖然正確，但是偏離了“數(shù)學(xué)廣角”教材編排“方法更一般，適用范圍更廣泛，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想”的理念。

另一方面，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多數(shù)與形相結(jié)合的例子，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，到了六年級(jí)需要安排專門的課時(shí)進(jìn)行回顧與整理。讓學(xué)生體會(huì)形中有數(shù)、數(shù)中有形，進(jìn)而以形助數(shù)、以數(shù)解形，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際意義。

二、年段銜接點(diǎn)

在本單元學(xué)習(xí)之前，學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中與“數(shù)形結(jié)合”都有廣泛接觸。例如，低年級(jí)借助直線認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，高年級(jí)畫線段圖幫助理解數(shù)量關(guān)系，還有位置、正反比例關(guān)系圖像、統(tǒng)計(jì)圖等內(nèi)容，都是用“形”作為直觀工具幫助學(xué)生分析和解決問題，領(lǐng)悟代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。圖形與幾何領(lǐng)域，學(xué)生進(jìn)行角度、周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算，都是從量化的角度研究圖形的特征，用“數(shù)”解決“形”的問題。這些內(nèi)容是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。

到了中學(xué)階段，數(shù)與形的結(jié)合更是得到了廣泛應(yīng)用，例如實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)，函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)軸上表示不等式的解集，解決最值、值域問題，以及在解析幾何方面的應(yīng)用等等。

三、疑難問題與策略建議

1.本單元課時(shí)內(nèi)容怎樣設(shè)置比較合理？

本單元包括例1、例2、“做一做”及練習(xí)二十二的8道練習(xí)題，分2課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。在課時(shí)內(nèi)容安排上，存在兩種觀點(diǎn)。

第一種觀點(diǎn)主張將兩個(gè)例題集中在一課時(shí)內(nèi)學(xué)習(xí)，第二課時(shí)則用來集中練習(xí)。理由是：兩個(gè)例題都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，例1為用數(shù)表示形的規(guī)律，即“以數(shù)解形”；例2則用形解決了數(shù)的問題，即“以形助數(shù)”，兩個(gè)例題集中學(xué)習(xí)能充分體現(xiàn)數(shù)與形的緊密結(jié)合。

第二種觀點(diǎn)則認(rèn)為，兩個(gè)例題分屬不同層次，應(yīng)當(dāng)分兩課時(shí)教學(xué)。例1是通過數(shù)與形的對(duì)照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)表示數(shù)的規(guī)律，即利用正方形直觀地理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點(diǎn)。例2則是借助圖形解決一些比較抽象的、學(xué)生不易接受而且難以解釋的問題，即根據(jù)分?jǐn)?shù)意義，利用圓的模型，直觀理解“極限”的概念。

本單元的教學(xué)目標(biāo)，重在感知“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)與形各自的價(jià)值，所以，相比較而言，第二種安排更為合理。將兩個(gè)例題分開新授，每一課時(shí)都采用“例題+配套習(xí)題”的方式設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，能夠使抽象的數(shù)學(xué)形象化的過程充分展開，又能夠保證探索、體驗(yàn)、理解、應(yīng)用的時(shí)間，有助于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。例如，“極限”思想的滲透，需要從“有限”向“無限”的延伸，沒有充足的體驗(yàn)經(jīng)歷，學(xué)生很難體會(huì)推理和極限思想。

2.例1的教學(xué)：如何讓“數(shù)”“形”間的規(guī)律探索更有效？

（1）針對(duì)學(xué)情細(xì)化目標(biāo)。

學(xué)生知道“從1開始，連續(xù)的若干個(gè)奇數(shù)相加的和，等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方”這一規(guī)律，而且能運(yùn)用規(guī)律計(jì)算連續(xù)若干個(gè)奇數(shù)相加的和，但在數(shù)形對(duì)照的過程中，卻不能確切描述算式與圖形之間的聯(lián)系。因此，我們要在“感受數(shù)形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”總目標(biāo)下，將“數(shù)形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”細(xì)化為“項(xiàng)數(shù)與正方形邊長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，末項(xiàng)與圖形最外層的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，既要從算式本身發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加），又要從正方形中發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（連續(xù)的正方形數(shù)）。

（2）遵循規(guī)律優(yōu)化素材。

例1中“形”的問題包含著“數(shù)”的規(guī)律，“數(shù)”的問題也可以用“形”來幫助解決，為了讓學(xué)生有個(gè)性的思考和清晰的表述，可以先出示圖形，探究圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)。因?yàn)橛^察角度的不同，匯報(bào)交流時(shí)能出現(xiàn)不同的表達(dá)規(guī)律的方式，例如“1，4，9，16”，“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。接下來再探究算式對(duì)應(yīng)的圖形，體會(huì)數(shù)中有形。由此，學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)與形”的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化和結(jié)合，逐步抽象，形成“計(jì)算從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和等于加數(shù)個(gè)數(shù)的平方”模式。

（3）著眼應(yīng)用拓展視野。

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決問題的重要方法。在解決問題環(huán)節(jié)，可以設(shè)計(jì)“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”等變式練習(xí)。第一題可以看成1+3+5+7+9（52）和7+5+3+1（42），第二題是“1+3+5+7+9”與“1+3”的差，也就是52減去22，借助圖形可以描述為一個(gè)邊長(zhǎng)是5的正方形里面減去一個(gè)邊長(zhǎng)是2的正方形，讓學(xué)生進(jìn)一步感受“數(shù)”與“形”之間的密切聯(lián)系。“正方形數(shù)”學(xué)生會(huì)了，那么“三角形數(shù)”呢？“五邊形數(shù)”“六邊形數(shù)”呢？可以帶領(lǐng)學(xué)生感受三角形數(shù)和正方形數(shù)之間有趣的聯(lián)系，領(lǐng)略五邊形數(shù)、六邊形數(shù)、多面體數(shù)的神奇，再次擴(kuò)大探究的領(lǐng)域。

3.例2的教學(xué)：怎樣實(shí)現(xiàn)從“和越來越接近于1”到“和等于1”的跨越？

這是一道無窮遞縮的等比數(shù)列求和問題。雖然學(xué)生借助圖形能夠推理出“和越來越接近于1”，但是對(duì)“和等于1”并不認(rèn)同，因?yàn)橹庇^圖顯示，無論怎么平均“分割”，圖中好像總有“剩余部分”。

（1）觀察算式特點(diǎn)，初步體會(huì)無限。

（2）展開畫圖活動(dòng)，體會(huì)以形助數(shù)。

單純從“數(shù)”的角度看算式，算式中無窮項(xiàng)累加求和，超越了學(xué)生的認(rèn)知，因此需要設(shè)置“畫圖”任務(wù)（在線段、正方形、圓等圖形中表示這一算式），借助這些直觀的“形”，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式的結(jié)果應(yīng)該與“1”有關(guān)。形象直觀的圖形幫助學(xué)生感知這個(gè)數(shù)列的整體趨勢(shì)，例如每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的，這些加數(shù)的和無限接近1。直觀圖為求解算式結(jié)果指引了方向。

（3）借助模式直觀，體會(huì)以數(shù)解形。

畫圖表征算式之和，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到和越來越接近1，但是不能準(zhǔn)確地表示結(jié)果是否等于1。這時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度，借助數(shù)來分析。出示，以這些熟悉的算式為支撐，想象，進(jìn)而推理得出：1可以無限分解，表示為若干個(gè)分?jǐn)?shù)相加，而且數(shù)列中后一個(gè)分?jǐn)?shù)是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半。再借助等式的性質(zhì)，完成推理：因?yàn)椤?，所以?！靶巍睘閷W(xué)生提供問題解決的方向，“數(shù)”幫助學(xué)生找到準(zhǔn)確結(jié)果，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)和形各自的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)形關(guān)系的理解得到升華。

（4）回顧已有經(jīng)驗(yàn)，感悟極限思想。

關(guān)于無限數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生做出“無限個(gè)加數(shù)相加，和可能是無窮大，也可能是逼近某個(gè)確定的常數(shù)”這兩種猜想，接下來可以回顧圓面積推導(dǎo)過程中涉及的“割圓術(shù)”，幫助學(xué)生猜想“極限”：當(dāng)這個(gè)和無限地逼近某個(gè)常數(shù)時(shí)，會(huì)不會(huì)就等于這個(gè)常數(shù)呢？最終認(rèn)可例2的結(jié)果等于1。如果時(shí)間允許，也可以從算式本身入手進(jìn)行證明，設(shè)，那么2a=1+，把兩式相減，就可以得到2a-a=a=1。這些措施能夠幫助學(xué)生跳出“有限”的圈子，更深刻地感悟極限思想。

資料存盤

1.《數(shù)學(xué)廣角──數(shù)與形》課標(biāo)要求。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出：初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號(hào)和幾何直觀的作用；在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果；在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程內(nèi)容”的“第二學(xué)段”中提出：探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)。

2.關(guān)于“極限思想”的幾個(gè)注意點(diǎn)。

（1）極限思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量變化趨勢(shì)的思想，包含兩個(gè)要素：變化的量是無窮多個(gè)；無限變化的量趨向于一個(gè)確定的常數(shù)。

（2）當(dāng)我們面對(duì)關(guān)于無限的問題時(shí)，要用無限的觀點(diǎn)來思考，比如0.999…=1。

（3）極限方法只關(guān)注一個(gè)無限的變化過程的確定趨勢(shì)是什么，如果某個(gè)變化的量“無限逼近”于一個(gè)確定的數(shù)值，那么這個(gè)定值就叫做變量的極限。例2中隨著加數(shù)越來越多，和就越來越接近于確定的數(shù)1，所以，當(dāng)加數(shù)個(gè)數(shù)無限多時(shí)，和就是1。