周雅

摘?要：數(shù)學(xué)中解決問題常常有多種方法，教師的課堂也因?yàn)閷W(xué)生思維的多元化顯得生動(dòng)精彩，但是思維的發(fā)展往往伴隨著刪繁就簡、由形象向抽象等過程，因此豐富精彩的課堂思維更需要教師的精心設(shè)計(jì)與引導(dǎo)，一步步發(fā)展學(xué)生的思維能力。本文以《解決問題的策略——一一列舉》真實(shí)教學(xué)片斷為例，生動(dòng)展示如何尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，步步引導(dǎo)學(xué)生從思維“多樣化”到方法“最優(yōu)化”的過程，提煉其中有利于學(xué)生思維發(fā)展的小細(xì)節(jié)，以提高學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：一一列舉;方法;多元化;最優(yōu)化

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ????文章編號：1992-7711（2019）23-057-2

《解決問題的策略（一一列舉）》一課，是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊的內(nèi)容。所謂一一列舉，即把事情發(fā)生的各種可能逐個(gè)羅列，并用某種形式進(jìn)行整理，從而得到問題的答案。生活中有許多實(shí)際問題，列式計(jì)算往往比較困難，如果聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，用一一列舉的方法能比較容易地得到解決。因此，一一列舉是解決問題的常用策略之一。而且在一一列舉的時(shí)候要有序地思考，做到不重復(fù)、不遺漏，這對發(fā)展思維也很有價(jià)值。實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)基于《課標(biāo)》理念，充分理解教材，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，積極發(fā)揮課堂中學(xué)生的主體性，精心設(shè)計(jì)并生動(dòng)實(shí)施教學(xué)過程，處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系，使學(xué)生充分經(jīng)歷“獲得一一列舉”這一解題策略的思維過程，使學(xué)生既學(xué)習(xí)知識，也發(fā)展思維，全面實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的目標(biāo)。

一、基于發(fā)散思維，感悟“算法多樣化”

教學(xué)片段1：

【分析問題，感悟策略】

出示問題：王大伯用22根1米長的木條圍一個(gè)長方形花圃（木條不能折斷），怎樣圍面積最大？（學(xué)生自主讀題）

師：你是怎樣理解這些條件以及問題的？

生1：長和寬都是整米數(shù);

生2：長方形的周長是22米，長+寬=11（米）。

師：問題是怎樣圍面積最大，說明了什么？

生：既然面積要最大，說明不止一種情況，有許多種可能的圍法。

引導(dǎo)：只有列找出所有可能的情況，才能選出面積最大的長方形。

師：下面就請同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來探究一下到底有多少種符合條件的長方形。先獨(dú)立嘗試再小組交流。

本部分思維的多元化表現(xiàn)為以下：首先，對于一部分學(xué)生來說，直觀形象更符合他們的思維發(fā)展，因此選擇直接畫圖操作的方法，通過畫圖列舉，直接觀察面積大小關(guān)系;也有部分學(xué)生的思維發(fā)展已經(jīng)超過具體形象階段，向抽象思維靠近，他們會選擇抓住題目中數(shù)量之間的關(guān)系來直接列算式計(jì)算列舉;還有同學(xué)使用老師提供的表格工具直接列表列舉。其次，學(xué)生在列舉的過程中，又存在不同的列舉順序，有從中間開始列舉、逐漸向兩邊擴(kuò)散，也有按順序一一列舉的，本質(zhì)上這些方法都是平等的，給學(xué)生創(chuàng)造了充分自由的思維環(huán)境。

在本節(jié)課的這一個(gè)環(huán)節(jié)，教師允許學(xué)生選擇自己喜歡或者適應(yīng)的方式來探究列舉出可能的結(jié)果并在小組交流展示，鼓勵(lì)并尊重不同學(xué)生的不同思考方法，多角度思考問題有利于培養(yǎng)思維開闊性，讓各個(gè)階段的孩子獲得過程性體驗(yàn)，初步感受列舉策略的多樣性和層次性。

二、優(yōu)化思維品質(zhì)，提煉“算法最優(yōu)化”

教學(xué)片段2：

【自主比較，建構(gòu)策略】

師：剛剛同學(xué)們選擇了不同的方法列舉了許多符合條件的長方形，老師想請問一下，畫圖列舉和列表列舉，哪個(gè)方法更好？表達(dá)的更準(zhǔn)確？

教師分別出示三種列舉方法，請學(xué)生自主評價(jià)。

生1：我覺得畫圖好，畫圖能直接看出面積大小;

生2：我不同意他的說法，如果只相差一兩個(gè)方格，有時(shí)候憑眼睛不一定能看得出來;

生3：我覺得列表列舉更好，因?yàn)楫媹D有點(diǎn)麻煩;

生4：我覺得計(jì)算也不錯(cuò)，好算。

生5：列算式確實(shí)看上去簡便，但是對于我們解決實(shí)際問題好像有些數(shù)字和符號是多余的，我覺得還是列表更清楚。

師：確實(shí)，在像這樣可能的情況比較多的時(shí)候，我們采用列表的方式能更簡潔清楚表達(dá)出可能的情況，即“用數(shù)字說話”。

接著教師出示收集的4種表格（A.遺漏?B.重復(fù)?C.完整但無序?D.有序）。

師：老師收集了幾份同學(xué)們以表格呈現(xiàn)的可能的情況，請大家比較一下，你覺得像這樣的列舉方式好不好？

學(xué)生評價(jià)：（1）有的沒有列舉完全，有遺漏;

（2）有的列舉的沒有順序，不是很清楚。

（3）有的按照順序列舉了，但是有重復(fù)的。

師：那你覺得怎樣做可以比較容易的避免這些錯(cuò)誤？

預(yù)設(shè)：按順序?qū)懗鏊锌赡艿慕Y(jié)果。

（教師出示正確有序的表格。）

完善表格：請完善好自己的表格。

追問：填表時(shí)是從幾米開始的？為什么？為什么列舉到長6寬5就停止了？

生：因?yàn)殚L+寬=11，長最大是10;接下來就重復(fù)了。

師：其實(shí)在解決這類情況比較多的問題時(shí)，我們采用有序列舉的方法往往能更容易的找出所有的情況，從而更好的解決問題，這種策略就叫一一列舉。

本案例中即體現(xiàn)為在方法多元化的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法最優(yōu)化的選擇。在這一片段，給學(xué)生創(chuàng)造了兩次優(yōu)化提升的機(jī)會：一是表達(dá)方式的優(yōu)化，畫圖和列表都是可以解決問題的方法，畫圖呈現(xiàn)是一種直觀體驗(yàn)，但是表格能夠更準(zhǔn)確的通過計(jì)算得出最終的結(jié)果，是一種更有利于學(xué)生發(fā)展的思維工具。通過學(xué)生自主表達(dá)與評價(jià)，得出“列表列舉更好的結(jié)論”;二是列舉順序的優(yōu)化，選取了4種典型的不同列舉順序，學(xué)生在對比評價(jià)中，自然得出了“一一列舉”的關(guān)鍵：有序能更好的保證不遺漏不重復(fù)的列舉出所有情況。緊接著又通過追問，即讓學(xué)生思考感悟：本題列舉思考‘序的起點(diǎn)在哪里？‘序到哪里終止？如何表達(dá)出的‘序？”，用列表的方法表達(dá)更容易將有序化落實(shí)，而畫圖和計(jì)算則容易產(chǎn)生干擾。利用表格找準(zhǔn)“序”的起點(diǎn)和終點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性的內(nèi)在邏輯起點(diǎn)，用合適的方式把有序思考的過程表達(dá)出來是思維縝密性的外在表現(xiàn)形式，也是有序思考、一一列舉的思維起點(diǎn)。

到此，算法最優(yōu)化在學(xué)生比較、否定、選擇等一系列思考過程中體現(xiàn)出來了，是學(xué)生自主思辨的產(chǎn)物，同樣符合以學(xué)生為主體的新課程的基本理念。

三、知識再現(xiàn)，完善策略理解

學(xué)生經(jīng)歷上述感悟和自主建構(gòu)之后，需要在教師的引導(dǎo)下進(jìn)一步完善對策略的理解。

教學(xué)片段3：

【豐富體驗(yàn)，加深認(rèn)識】

師：我們已經(jīng)用一一列舉的策略解決了實(shí)際問題，并且發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律。那現(xiàn)在回憶一下，在以前的學(xué)習(xí)中，我們有沒有用過這樣一一列舉的策略呢？

生1：比如給你1、2、3和小數(shù)點(diǎn)，問能夠組成多少種不同的兩位小數(shù)，我們也用過一一列舉的策略。

生2：一年級的時(shí)候我們學(xué)過的數(shù)的分與合。

通過這個(gè)問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生陷入到回憶以前學(xué)過的知識漩渦中去，體會到在以前的學(xué)習(xí)過程中，雖然課本和教師沒有有意識地提出策略的名稱，但是學(xué)生已經(jīng)在不由自主地使用一一列舉的策略。此時(shí)讓學(xué)生在回顧之前的知識，是讓學(xué)生從邏輯情感上體會到其實(shí)我們在各個(gè)階段都有運(yùn)用一一列舉的策略來解決問題，進(jìn)一步深化對一一列舉策略的思想認(rèn)知。

四、感悟核心思想，把握策略本質(zhì)

本案例中學(xué)生經(jīng)歷從“各顯神通”的方法選擇到之后的自主對比篩選，選擇最優(yōu)化列表來一一列舉，到后來的回顧反思完善策略，都是遵循兒童思維認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律的完整體現(xiàn)，目的是引導(dǎo)學(xué)生向邏輯思維進(jìn)一步發(fā)展，訓(xùn)練相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，最終形成學(xué)生的思維能力。

兒童思維的特點(diǎn)、過程、方法以及品質(zhì)，是兒童思維發(fā)展規(guī)律的重要內(nèi)容。學(xué)生是靈動(dòng)的生命體，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的思維水平，遵循兒童思維認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，并努力給他們創(chuàng)造有延伸的課堂。

（作者單位：南京市天景山小學(xué)，江蘇 南京211100）