謝艷平

[摘 要]

如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，是我們數(shù)學教師的教學根本。以中考復習旋轉(zhuǎn)類解題分析為例，深入淺出地總結歸納了解好此類問題的方法技巧，啟迪學生發(fā)散性思維，強化建立映射關系的能力，為學生學科思維的養(yǎng)成提供了很好的途徑。

[關鍵詞]

初中數(shù)學;數(shù)學思維;知識模型

學生的數(shù)學思維是需要教師的培養(yǎng)才能得到更好的發(fā)展。反觀現(xiàn)實，一些教師鮮有“思維教學”這個概念，還局限于“知識教學”之中，認為把知識學好了能力自然就有了。所以很多教師常講：“該教的知識都教了，該做的題目都做了，學生還不會，那就是學生的事了?！边@種意識還停留在教學的最低層次。布魯姆提出的認知目標六個層級是：識記、理解、應用、分析、評價、創(chuàng)造。后三個是思維的高層次發(fā)展目標，越是高層次的目標就越抽象，越難以把握，越需要長期才能見成效，但這恰恰是教師作用的發(fā)揮所在之處，教師對此應該有自己的思考和方案。

不管是為學生的終身發(fā)展著想，還是為提高考試成績服務，思維教學是學科教學的核心，這一點已是大家的共識。下面我用一節(jié)專題復習課來闡述其中的道理。

旋轉(zhuǎn)類問題是中考試題當中比較難的一類題目，常常出現(xiàn)在填空題壓軸題或解答題壓軸題中，那么如何破解這類壓軸題呢？我們應根據(jù)問題的不同特點來研究應對策略。

首先復習知識點：旋轉(zhuǎn)后能夠重合的線段相等，能夠重合的角相等，旋轉(zhuǎn)前后對應的三角形全等或者相似。

在復習知識點的基礎上舉例說明：

例1.已知：如圖1，在等邊△ABC中，AD=3，BD=5，求CD的最小值.

看到此類問題，我們采用歸納法為學生總結如下規(guī)律，并在解題中加以運用。如果題目中出現(xiàn)長度相等且有公共端點的兩條線段，我們采用的方法就是旋轉(zhuǎn)。這個公共的端點就是旋轉(zhuǎn)中心，兩條線段之間的夾角就是旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)時，往往是一條線段要綁定一個三角形，旋轉(zhuǎn)方向是朝著另一條線段旋轉(zhuǎn)，一般情況就會將已知條件和問題集中在特殊圖形當中，然后根據(jù)圖形的性質(zhì)解決。旋轉(zhuǎn)后，如果有動點，就會產(chǎn)生最值問題。

通過此題，我們要培養(yǎng)學生一種數(shù)學思維模式：看到長度相等且有公共端點的兩條線段，立即聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，在頭腦中形成一種映射關系，固化為解題思路。

出示例2（如圖2）.平面內(nèi)兩定點A、B之間的距離為8，D為一動點。且DB=2，連接AD，并且以AD為斜邊在AD的上方作等腰直角三角形ACD，如圖連接BC。求BC的最大值與最小值的差。

分析：點D到點B的距離為2，以AD為斜邊作等腰直角三角形ACD，那么點C會隨著點D的運動而運動，點C可以看作是由點D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，再伸縮[2]/2而得到，那么點C也可以看作是繞著某一點作圓周運動，這點應該是點D所在的圓的圓心B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，再伸縮[2]/2而得到。即以AB為斜邊作等腰直角三角形ABB′，點B′為圓C運動的圓心，圓B′的半徑為圓B的半徑的[2]/2倍，所以圓B′的半徑為[2]，所以BB′-B′C≤BC≤BB′+B′C即：3[2]≤BC≤5[2]，因此最大值與最小值的差為2[2]。

主從聯(lián)動是旋轉(zhuǎn)類問題中較為難理解的題目，我們首先要在題目中找到主動點和從動點，然后要分析從動點和主動點的關系，根據(jù)從動點的性質(zhì)確定從動點的軌跡，從而解決問題。

例3（如圖3）.Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=[35]，AD=3，CD=4，BD的取值范圍為 ? ?.

分析：（1）△ABC形狀確定，但大小不確定。AD、CD大小確定，但不在確定的三角形中.

（2）要求的線段BD所在三角形只有一邊確定，且無法利用已知條件建立有效聯(lián)系.

問題的關鍵找到了，條件無法有效利用，說明模型不完整，它讓我們根據(jù)條件積極地聯(lián)想尋找相關的可用的數(shù)學模型并進行構造.

由條件知BC∶AC∶AB=3∶4∶5，我們可以聯(lián)想到相似模型，題中的關鍵線段是AD、BD、CD，那么我們要做的事自然就是構造含AD、BD、CD的三角形使之與△ABC相似，也可以看成構造與△ACD、△BCD、△ABD相似的三角形，到最后你會發(fā)現(xiàn)一件既神奇又合理的事：它們是一致的、等價的，異曲而同工，殊途而同歸！

既然△ABC的形狀已確定，我們就以AD為邊添補構造一個與之相似的三角形△AED。AD長已定，則△AED三邊皆定。還要注意△AED的方向位置與△ABC要一致，為什么呢？因為這樣才可以進行下一步推理，得到另一對相似三角形△ADC∽△AEB，這就是很常用的“旋轉(zhuǎn)相似”模型，如下圖4.

從構造的角度看，是在AD處構造一個以其為邊的與△ABC相似的△AED;從運動變換的角度看，是把△ABC旋轉(zhuǎn)縮放至△AED，或把△ADC旋轉(zhuǎn)縮放至△AEB.

簡要推理過程：作∠ADE=90°，DE=[94]，得△ADE∽△ACB，得AD∶AE=AC∶AB=4∶5，且∠DAC=∠EAB，得△ADC∽△AEB，CD∶BE=4∶5，所以BE=5，得5-[94]≤BD≤5+[94]，即[114]≤BD≤[294]。

上述方法可抽象概括為：以AD與AC為對應邊構造三角形與△ABC相似，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABC使AC與AD重合，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ADC使AC與AB重合.

抽象具有強大的作用是因為它可以作為規(guī)律重復使用，我們把它作為一般方法再使用，把上面的邊或三角形進行同類置換：

以AD與AB為對應邊構造三角形與△ABC相似，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABC使AB與AD重合，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABD使AB與AC重合.如下圖5：

推理過程與前圖類同，這里是先在△CED中求CE的取值范圍，再根據(jù)BD=[54]CE求BD的取值范圍.

圖中的AD、BD、CD所處地位是等價的，根據(jù)對稱原理，可以把三條線段任意一條作邊構造3∶4∶5的相似三角形，每條線段有兩種對應方式可作兩種圖形共有六種作法，或把三個三角形分別繞A、B、C三點順逆旋轉(zhuǎn)各一次共六種構造方法，另四種構造方式如下圖6、圖7、圖8、圖9：

上面六種構造方法從本質(zhì)上來說是一種方式，可抽象為：以已知或所求線段為邊構造相似三角形，最終把所求線段或其相關線段轉(zhuǎn)化到一個有兩邊確定的三角形中，從而得到所求線段的取值范圍.

我們在上面的問題解決中所用的都是基本的知識模型：旋轉(zhuǎn)、相似、兩點之間線段最短。

“一題多解，解法優(yōu)化;一題多變，變中求同;多題一法，同模通法”是數(shù)學解題與習題教學中非常重要的教學方法，也是學生學習的方法。對各個數(shù)學知識模塊，進行這三個維度的探究教學，非常有益于學生的數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。

一道數(shù)學題中蘊含著豐富而深刻的數(shù)學思想，從一道題中充分反思，就可以獲得思維方法，領悟數(shù)學思想，這才是解題的真正價值所在。教師在教學中常問的是：“你還能想到什么？”“你還有什么辦法？”學生在老師的追問和鼓勵下，逐漸學會從不同角度思考和聯(lián)想，對一個問題形成多種解決方案，并辨析各種方法的優(yōu)劣。

[參 考 文 獻]

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

（責任編輯：張華偉）