殷 爍，于梅菊，叢玉華，陳衍峰，許 晶，張洪為，葛金輝

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程，也是其他理工科專業(yè)學(xué)生的必修課程，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)十分重要.但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程理論知識(shí)難度較大，學(xué)生學(xué)習(xí)吃力，學(xué)習(xí)興趣不高，如何在這種情況下提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣尤為重要，翻轉(zhuǎn)課堂的引入是解決這一問題的“密鑰”.

1 運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的可行性分析

目前各高校配有專業(yè)的計(jì)算機(jī)機(jī)房，各二級(jí)學(xué)院也擁有自己的實(shí)訓(xùn)室等場所.移動(dòng)、聯(lián)通光纖網(wǎng)在校園內(nèi)全面覆蓋，為學(xué)生順利進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂學(xué)習(xí)提供了硬件設(shè)備保障，學(xué)生在教室和宿舍都能夠使用電腦、手機(jī)隨時(shí)上網(wǎng)學(xué)習(xí).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程多在大學(xué)二年級(jí)開設(shè)，這一階段的學(xué)生已經(jīng)適應(yīng)了大學(xué)的學(xué)習(xí)生活，自主學(xué)習(xí)能力在不斷地提升中，已經(jīng)能夠接受在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中應(yīng)用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方式［1］.實(shí)用性和應(yīng)用性強(qiáng)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的突出特點(diǎn).通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握概率、統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)思維，提升學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，一直是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的目標(biāo).筆者結(jié)合現(xiàn)代教育理論和相關(guān)學(xué)習(xí)理論，發(fā)現(xiàn)對(duì)于像概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這種實(shí)踐應(yīng)用性很強(qiáng)的課程，將理論與實(shí)踐結(jié)合的“學(xué)做結(jié)合”是非常理想的學(xué)習(xí)方式.在該課程中實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，可以結(jié)合討論式教學(xué)、問題式教學(xué)，在制作教學(xué)視頻時(shí)，做好相關(guān)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在學(xué)中做，在做中學(xué)，通過視頻制作增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

綜上，高校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)主客觀條件兼?zhèn)?，同時(shí)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的實(shí)用性和應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)也決定了在該課程教學(xué)中實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂是切實(shí)可行的.

2 翻轉(zhuǎn)課堂在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要研究課題之一，是從已知的簡單事件的概率來推算未知的復(fù)雜事件的概率.對(duì)于一個(gè)復(fù)雜事件，有時(shí)不能直接求出它的概率，這就需要將其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)易于計(jì)算的簡單事件，由加法和乘法公式得到復(fù)雜事件的概率，全概率公式正好起到這個(gè)作用.全概率公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要公式，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).如果在教學(xué)過程中直接給出全概率公式，學(xué)生往往無法接受，更不會(huì)分析求解.要使學(xué)生深刻理解全概率公式，教師就要下功夫講明白公式的來龍去脈，適當(dāng)展開［2］.文章以人民大學(xué)出版社2016年出版的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第二版）［3］一書中的“全概率公式”為例，就如何運(yùn)用翻轉(zhuǎn)課堂進(jìn)行全概率公式教學(xué)設(shè)計(jì)展開探索.

2.1 課前預(yù)習(xí)階段

（1）教學(xué)視頻的制作.先將要在課堂上講授的內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，分解出本節(jié)課要講授哪些內(nèi)容.全概率公式教學(xué)中需要選取恰當(dāng)?shù)睦?，從?shí)例分析中掌握全概率公式，在視頻設(shè)計(jì)時(shí)要注意引入實(shí)例的邏輯順序［4-5］.任何一門學(xué)科或新知識(shí)的教學(xué)，引入都是非常重要的.在全概率公式教學(xué)中，如果直接介紹樣本空間的劃分及全概率公式，學(xué)生不能理解公式的本質(zhì)內(nèi)涵，所以要用生活中淺顯易懂的取球和擲骰子實(shí)例引出樣本空間的構(gòu)成及劃分，將其制成教學(xué)視頻，供學(xué)生課前預(yù)習(xí)使用.選取案例見例1、例2.

例1一袋中有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球（取后不放回），求第二次取到黑球的概率.

分析：不放回的取兩次，求第二次必須取到黑球的概率，而第一次可能取到黑球，也可能取到白球，是兩個(gè)互不相容的事件.若設(shè)B表示“第二次取到的是黑球”，A表示“第一次取到的是黑球”，則表示“第一次取到的是白球”，要求P(B)，由題意知上例中事件B的發(fā)生受到第一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果（兩個(gè)）的影響，也即是第一次實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果構(gòu)成了整個(gè)樣本空間.

由此引出樣本空間的劃分（或完備事件組），即任一樣本空間Ω總能被一事件組A1,A2,…,An所劃分，且這個(gè)事件組恰為一完備事件組，即，且AiAj=?(i≠j,i,j=1,2,…,n).需要強(qiáng)調(diào)樣本空間的劃分并不是唯一的.

例2拋擲一枚骰子，觀察其朝上的點(diǎn)數(shù)，則樣本空間Ω={1，3，4，5，6}.對(duì)于樣本空間的劃分可以取A1={1點(diǎn)朝上}={1}，A2={大于等于2且小于等于3的點(diǎn)數(shù)朝上}={2，3}，A3={大于等于4的點(diǎn)數(shù)朝上}={4，5，6}，從而A1,A2,A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組.同樣也可以選取A1={奇數(shù)點(diǎn)朝上}={1，3，5}，A2={偶數(shù)點(diǎn)朝上}={2，4，6}，則A1,A2構(gòu)成一個(gè)完備事件組.每一組事件都是互不相容且其和構(gòu)成整個(gè)樣本空間.

本視頻制作可以在網(wǎng)上下載視頻進(jìn)行后期加工，也可以利用錄屏軟件+PPT制作，還可以用攝像機(jī)和手機(jī)錄制.學(xué)生通過視頻學(xué)習(xí)，很容易理解樣本空間的構(gòu)成及劃分，并加深對(duì)全概率公式的理解.

（2）學(xué)習(xí)卡的編制.學(xué)生的學(xué)習(xí)卡是與教學(xué)視頻配套使用的，應(yīng)包含學(xué)習(xí)指南、“我的問題”、預(yù)習(xí)檢測三個(gè)組成部分.學(xué)習(xí)指南的作用是幫助學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行有針對(duì)性的自主學(xué)習(xí).全概率公式學(xué)習(xí)卡的編制，要體現(xiàn)公式的引入及分析過程，應(yīng)能夠?qū)W(xué)生分析、綜合、判斷、推理思維活動(dòng)過程進(jìn)行引導(dǎo)和記錄，對(duì)其中涉及的結(jié)論性問題進(jìn)行歸納和總結(jié).“我的問題”是引發(fā)學(xué)生對(duì)視頻中相關(guān)問題進(jìn)行思考并大膽質(zhì)疑.編制學(xué)習(xí)卡時(shí)，要預(yù)留空白處供學(xué)生提出質(zhì)疑問題或其他相關(guān)問題.預(yù)習(xí)檢測的作用是確定學(xué)生的原有基礎(chǔ)，檢測學(xué)生對(duì)視頻內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況.教師在設(shè)定檢測題時(shí)要圍繞教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行，控制好試題的難度和數(shù)量，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

（3）課前學(xué)習(xí).教師在進(jìn)行新課教學(xué)的前幾天上傳教學(xué)視頻，發(fā)放學(xué)習(xí)卡，并對(duì)課前預(yù)習(xí)提出要求.學(xué)生課前預(yù)習(xí)的總體情況記入平時(shí)成績.學(xué)生利用課余時(shí)間觀看教學(xué)視頻，完成學(xué)習(xí)卡.遇到弄不清楚的問題，要填寫在學(xué)習(xí)卡的空白處，上課時(shí)由老師和同學(xué)共同討論，共同學(xué)習(xí).最后，完成學(xué)習(xí)卡上“預(yù)習(xí)檢測”部分的題目.

2.2 課堂學(xué)習(xí)階段

（1）課堂教學(xué)的設(shè)計(jì).處理各類問題.學(xué)習(xí)卡納入學(xué)生考核評(píng)價(jià)中，既可以激勵(lì)學(xué)生課前預(yù)習(xí)，又可以讓教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.教師需要檢查、批改學(xué)生的學(xué)習(xí)卡，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題，并對(duì)收集到的問題進(jìn)行分類處理，歸納提煉出課堂教學(xué)時(shí)要解決的問題.對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)卡中提出的與本節(jié)課關(guān)系不大的問題或現(xiàn)階段暫不需要解決的問題，留待以后解決.而與課堂教學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān)的，如“第一次取球的結(jié)果是否是第二次取球發(fā)生的全部原因”這一問題，則是課堂教學(xué)中真正需要解決的問題.對(duì)于個(gè)別學(xué)生提出的很簡單的問題，在學(xué)習(xí)卡上給予答復(fù)即可.而大多數(shù)學(xué)生關(guān)注的問題則需要在課堂教學(xué)中解決.

（2）課堂教學(xué)活動(dòng).教師在進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以將課前預(yù)習(xí)中提煉出來的問題納入鞏固深化教學(xué)內(nèi)容，重新整合，整體規(guī)劃教學(xué)活動(dòng)安排.教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，確定一兩個(gè)重點(diǎn).課堂教學(xué)基本按照情景導(dǎo)入、獨(dú)立思考、協(xié)作探索等環(huán)節(jié)進(jìn)行，即根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要安排相適應(yīng)的教學(xué)組織方式.學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中要進(jìn)行課堂合作學(xué)習(xí)，以最大限度地發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和學(xué)生潛能.但在學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)時(shí)，切記在提出問題后，讓學(xué)生獨(dú)立思考，給學(xué)生預(yù)留思考時(shí)間.

①情境導(dǎo)入.教師創(chuàng)設(shè)具體的學(xué)習(xí)環(huán)境，生成一系列任務(wù).學(xué)生通過完成這些任務(wù)，解決課前預(yù)習(xí)中存在的問題.比如前面提到的樣本空間的劃分標(biāo)準(zhǔn)，可以讓學(xué)生理清任一事件B與完備事件組A1,A2,…,An的關(guān)系.

任一事件總是由樣本空間Ω中若干個(gè)基本事件構(gòu)成，而當(dāng)Ω被A1,A2,…,An劃分時(shí)，所有的基本事件無一例外地被歸類于A1,A2,…,An中，所以B中的基本事件也必然屬于完備事件組A1,A2,…,An，這樣A1,A2,…,An劃分樣本空間時(shí)也劃分了事件B.如上所述拋擲一枚骰子，取事件B={2，4，5}，則事件B被第一組中的A2,A3劃分了，被第二組中的A1,A2劃分了，從中我們也發(fā)現(xiàn)，B中的元素不一定是劃分者的全部元素，所以B不能用它們的和表示，只能用積表示.比如，被第一組劃分的情況下B=BA1?BA2?BA3，這里BA1=?.被第二組劃分的情況下B=BA1?BA2.

課本上都有關(guān)于樣本空間的劃分的圖形，復(fù)雜事件B的發(fā)生與一系列互不相容的事件有關(guān)，需要說明的是，互不相容事件本身并不一定完全構(gòu)成樣本空間Ω，往往需要添加某些事件后才能構(gòu)成樣本空間Ω，而添加的這些事件對(duì)復(fù)雜事件B被完備事件組中的部分事件劃分了，可以廣義地認(rèn)為是被全部事件劃分了，只是沒參與劃分的事件沒分著B的任何元素，與B的積為不可能事件.

②獨(dú)立思考.獨(dú)立思考是合作學(xué)習(xí)的前提，只有大家集思廣益，積極努力，才能在互助學(xué)習(xí)中獲得最大的收獲.能力強(qiáng)的同學(xué)針對(duì)課前的視頻學(xué)習(xí)，情境導(dǎo)入的問題分析，可以總結(jié)出一些規(guī)律性的結(jié)論.能力差的同學(xué)很難從總體上把握所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，只可能有一個(gè)大致的思路，但是具體問題不知道如何解決，合作學(xué)習(xí)可以使他們?cè)谕瑢W(xué)那里得到啟發(fā)，學(xué)會(huì)解決問題的方法.

③協(xié)作探索.首先，學(xué)生們經(jīng)過思考之后，小組討論，分工合作，共同完成教師布置的任務(wù).然后，教師拋出學(xué)生們?cè)谡n前預(yù)習(xí)時(shí)錯(cuò)誤率較高的題目，請(qǐng)學(xué)生再次嘗試解決.最后，教師拓展這部分內(nèi)容，提出更高要求的任務(wù)，即引出全概率公式，強(qiáng)化應(yīng)用.

理清事件B與完備事件組A1,A2,…,An的關(guān)系后，可由加法和乘法公式引出全概率公式P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)，P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)，從而得經(jīng)過理論分析之后，學(xué)生對(duì)公式有了初步的認(rèn)識(shí)，要熟練應(yīng)用公式，還需要加大練習(xí)，教師在舉例時(shí)要注意由易到難，選取例題的難易度要適當(dāng)拉開，考慮到授課對(duì)象的基礎(chǔ)，在課堂上選講的題型都是較容易的，要求的事件與已知事件之間的關(guān)系也是明了的，對(duì)于稍微復(fù)雜的題型，選作練習(xí)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手解決，基礎(chǔ)好的學(xué)生很快解決，基礎(chǔ)不好的學(xué)生可能解答不出來，可以和老師、學(xué)生互相討論，經(jīng)過提示，大多數(shù)學(xué)生還是迎刃而解的.少部分基礎(chǔ)太差的，對(duì)其要進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，這樣可以保證每位學(xué)生都有所學(xué).這部分內(nèi)容要求對(duì)問題進(jìn)行求解并推廣到一般情形，強(qiáng)調(diào)化整為零、化繁為簡的思想.學(xué)生通過學(xué)習(xí)，強(qiáng)化了對(duì)全概率公式的理解，完備事件組A1,A2,…,An中的任一原因都有可能導(dǎo)致事件B的發(fā)生，事件B發(fā)生的概率是完備事件組A1,A2,…,An中各原因引起事件B發(fā)生概率的總和，實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.

2.3 課后學(xué)習(xí)階段

課后學(xué)習(xí)階段主要包括自主作業(yè)、交流討論、反饋評(píng)價(jià)三個(gè)環(huán)節(jié).

（1）自主作業(yè)和交流討論.當(dāng)解決完課前預(yù)習(xí)、課堂教學(xué)中的所有問題后，教師要精心編制課堂作業(yè)——注意事件描述的準(zhǔn)確性（見例3），讓學(xué)生完成，鞏固全概率公式的全部內(nèi)容.

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生使用全概率公式時(shí)，對(duì)于事件的表示描述不確切，思路混亂，只會(huì)將數(shù)據(jù)代入公式，沒有真正理清事件間的關(guān)系，遇到稍微復(fù)雜的問題無從下手.

例3已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性概率.有的學(xué)生設(shè)B1={男性色盲}，B2={女性色盲}，A={此人是色盲}，這樣的話，代入公式后解釋不清，說明沒有領(lǐng)會(huì)如何選取完備事件組.為解決這個(gè)問題，在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)事件描述的準(zhǔn)確性.我們可以選取B1={男性}，B2={女性}，這樣B1，B2構(gòu)成一個(gè)完備事件組，問題迎刃而解.學(xué)生在完成這個(gè)作業(yè)時(shí)遇到困惑，可以和小組內(nèi)的同學(xué)商量，也可以和老師討論.并針對(duì)此類題型進(jìn)行專門的練習(xí)，重點(diǎn)練習(xí)用字母表示各事件的描述方法.

交流討論的主題還可以是：全概率公式在軍事方面的應(yīng)用，全概率公式在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用等.

（2）反饋評(píng)價(jià).教師對(duì)學(xué)生在課堂活動(dòng)中的表現(xiàn)進(jìn)行歸納和總結(jié)，結(jié)合課前預(yù)習(xí)中存在的問題，肯定學(xué)生的進(jìn)步.翻轉(zhuǎn)課堂中的評(píng)價(jià)方式是多維的，評(píng)價(jià)內(nèi)容包括：針對(duì)性練習(xí)的成績，提出問題的情況，課堂獨(dú)立解決問題的表現(xiàn)，在小組協(xié)作中的表現(xiàn)等多方面，教師要及時(shí)給予評(píng)價(jià).

3 結(jié)論

翻轉(zhuǎn)課堂是一種新型的教學(xué)方式，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方式，學(xué)生在課堂上，目的明確，思路清晰，對(duì)前面的理論內(nèi)容有了更加深刻的理解和體會(huì)，真正成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)習(xí)興趣明顯增強(qiáng).翻轉(zhuǎn)課堂拉長了課程學(xué)習(xí)的時(shí)間跨度，學(xué)生在參與課堂活動(dòng)時(shí)有比較充分的準(zhǔn)備，教師在教學(xué)視頻中有充分的時(shí)間使學(xué)生理解所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中參與度加深，有較多的時(shí)間進(jìn)行師生、生生之間的交流，針對(duì)難度較大的知識(shí)模塊，學(xué)生都能很快完成，討論熱烈，能夠開展高階思維的交流，學(xué)習(xí)氛圍濃厚，課堂學(xué)習(xí)效率明顯提高.