徐長節(jié)， 丁海濱， 童立紅， 王 寧， 郭生根

(1.華東交通大學(xué) 江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗室，南昌 330013；2. 浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058； 3. 江西省港務(wù)管理局，南昌 330000)

工程施工引起的振動(如：強(qiáng)夯、打樁等)對鄰近建筑物及地下管線等周圍環(huán)境的危害不容忽視。實(shí)際工程中采用較多的隔振屏障有空溝、填充溝、排樁等，這些隔振屏障施作方便且減震效果較為明顯。

針對此類問題國內(nèi)外已經(jīng)取得了較為豐富的研究成果。Stoll等[1]基于Biot多孔彈性介質(zhì)理論，建立了波由飽和土入射至水層的計算模型，研究了滲透系數(shù)及波的入射角對波的反射及透射系數(shù)的影響。Wang等[2-4]建立了深水作用下飽和多孔介質(zhì)及基巖的計算模型，研究了飽和度、滲透性及入射角對動水壓力的影響。陳煒昀等[5]給出了非飽和土中不同彈性波的傳播方程，研究了入射剪切波在不同飽和度界面上的反射與透射問題。徐平等[6]考慮了土顆粒及孔隙流體的壓縮性，研究了P波由準(zhǔn)飽和土入射到彈性土層時在界面上的反射及透射系數(shù)的變化情況，并分析了飽和度對反射及透射系數(shù)的影響。葉陳江等[7]從實(shí)際工程出發(fā)推導(dǎo)出了不同邊界條件下S波由飽和土入射到彈性波時，界面上反射與透射的一般計算公式。俞縉等[8]基于節(jié)理非線性位移不連續(xù)模型，分析了不同彈性縱波正向入射多條節(jié)理時的透射規(guī)律。Woods[9]對混凝土板的主動及被動隔振效果進(jìn)行了現(xiàn)場實(shí)驗研究，并提出填充溝屏障隔振設(shè)計的基本原則。Haupt等[10]通過實(shí)驗研究了填充溝的幾何尺寸、材料等參數(shù)對隔振效果影響。朱兵見等[11]提出了一種適用于彈性波問題的有限元-無限元法對飽和土地基中空溝主動隔振效果進(jìn)行了探究，并分析了空溝深度對隔振效果的影響。時剛等[12]基于飽和多孔介質(zhì)頻域邊界元法，推導(dǎo)出了填充溝對Rayleigh波散射的二維邊界元方程，并對剛性填充溝的隔振問題進(jìn)行了詳細(xì)的分析。袁萬[13]采用2.5維有限元法建立了飽和土地基中空溝分析模型，研究了空溝的隔振效果。徐平等[14]運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的保角映射法及波函數(shù)展開法，求解出多排樁屏障對壓縮波隔離的解析解，并分析了單排、雙排及三排樁的隔振效果。以往在單層同一材料的隔振屏障研究較多，而在復(fù)合隔振屏障中的研究較少。

本文建立了飽和土中夾水混凝土復(fù)合隔振屏障計算模型，通過引入勢函數(shù)并考慮飽和土與混凝土及混凝土與水交界面的連續(xù)性條件，從理論上對隔振屏障的隔振效果進(jìn)行了研究，得出一般性結(jié)論，以期為工程中隔振屏障的設(shè)計提供參考。

1 計算模型及入射波函數(shù)

如圖1所示，飽和土層中的復(fù)合隔振屏障由兩層層厚為a的混凝土及夾在兩層混凝土層中寬度為b的充滿水的水溝組成，混凝土、水溝深度遠(yuǎn)大于入射波波長。飽和土中復(fù)合隔振屏障為無限長連續(xù)結(jié)構(gòu)，因此，本文問題可簡化為平面問題。

假設(shè)平面P1波以角度θa入射到左邊混凝土層的左邊界，入射波函數(shù)如下[15]

φi=φ0Exp[i(ωt-kxx-kp1yy)]

(1)

圖1 計算模型簡圖

2 介質(zhì)中波場求解

2.1 飽和土中波場求解

由Biot[16]飽和多孔介質(zhì)理論可知，飽和土中土骨架和流體波動方程為

(2)

式中：u，w分別為飽和土中土骨架位移和流體相對于土骨架位移；ρ=(1-n0)ρs+ρf，ρ為飽和土平均密度，ρs為土顆粒密度，ρf為流體密度，n0為孔隙率；η為空隙間流體的黏滯系數(shù)；k滲透系數(shù)；μ，λ為土骨架的Lame常數(shù)；α，M為Biot參數(shù)。

根據(jù)Helmholtz分解定律可知，位移可表示成如下形式

u=▽φs1+▽×Ψs1，w=▽φs2+▽×Ψs2

(3)

式中：φs1，φs2分別為土骨架和流體中標(biāo)量勢函數(shù)；Ψs1，Ψs2分別為土骨架和流體中矢量勢函數(shù)。

由文獻(xiàn)[2]可知，反射波勢函數(shù)通解為

反射P1波φs1a=An1Exp[i(ωt-kxx+kp1yy)]

反射P2波φs1b=An2Exp[i(ωt-kxx+kp2yy)]

反射SV波Ψs1=Bn1Exp[i(ωt-kxx+ksyy)]

因此，飽和土中總波場表達(dá)式為

(1) 土骨架中

φs1=φs1a+φs1b+φi

Ψs=Ψs1

(4a)

(2) 流體中

φf1=ξ1(φs1a+φi)+ξ2φs1b

Ψf=ξ3Ψs

(4b)

式中：ξ1，ξ2，ξ3分別為流體中勢函數(shù)與土骨架中勢函數(shù)的比值

同理可得出右邊飽和土中，透射波場勢函數(shù)表達(dá)式如下

透射P1波φs2a=Hn1Exp[i(ωt-kxx-kp1yy)]

透射P2波φs2b=Hn2Exp[i(ωt-kxx-kp2yy)]

透射SV波Ψs2=In1Exp[i(ωt-kxx-ksyy)]

(1) 土骨架中

φs2=φs2a+φs2b

Ψs=Ψs2

(5a)

(2) 流體中

φf2=ξ1(φs2a+φi)+ξ2φs2b

Ψf=ξ3Ψs

(5b)

式中：ξ1，ξ2，ξ3同式(4)。

2.2 混凝土中波場求解

由文獻(xiàn)[17]可知，彈性介質(zhì)中波動方程為

σij=2μcεij+λcδijε

(6)

式中：uc為混凝土介質(zhì)位移；ρc為混凝土密度；λc，μc為混凝土結(jié)構(gòu)的拉梅常數(shù)。

同樣，襯砌中位移可用勢函數(shù)表示為

uc=▽Φc+▽×Ψc

(7)

式中：Φc，Ψc分別為混凝土中標(biāo)量勢函數(shù)及矢量勢函數(shù)。

由此可得左邊混凝土及右邊混凝土中勢函數(shù)表達(dá)式如下

(1) 左邊混凝土中

界面1的透射P波及界面2的反射P波勢函數(shù)

透射P波Φc1a=Cn1Exp[i(ωt-kxx-kcpyy)]

反射P波Φc1b=Cn2Exp[i(ωt-kxx+kcpyy)]

界面1的透射SV波及界面2的反射SV波勢函數(shù)

透射SV波Ψc1a=Dn1Exp[i(ωt-kxx-kcsyy)]

反射SV波Ψc1b=Dn2Exp[i(ωt-kxx+kcsyy)]

由此可知，混凝土1中勢函數(shù)為

Φc1=Φc1a+Φc1b

Ψc1=Ψc1a+Ψc1b

(8)

(2) 混凝土2中

界面3的透射P波勢函數(shù)Φc2a及界面4的反射P波勢函數(shù)Φc2b

透射P波Φc2a=Fn1Exp[i(ωt-kxx-kcpyy)]

反射P波Φc2b=Fn2Exp[i(ωt-kxx+kcpyy)]

界面3的透射SV波勢函數(shù)Ψc2a及界面4的反射SV波勢函數(shù)Ψc2b

透射SV波Ψc2a=Gn1Exp[i(ωt-kxx-kcsyy)]

反射SV波Ψc2b=Gn2Exp[i(ωt-kxx+kcsyy)]

Φc2=Φc2a+Φc2b

Ψc2=Ψc2a+Ψc2b

(9)

2.3 水中波場求解

由文獻(xiàn)[17]可知，理想流體的波動方程為

(10)

引入勢函數(shù)Φw，則位移可表示為

uw=▽Φw

(11)

式中，Φw為水中P波勢函數(shù)。

由此可知，界面3的透射P波勢函數(shù)Φw1及界面4的反射P波勢函數(shù)Φw2

透射P波Φw1=En1Exp[i(ωt-kxx-kwpyy)]

反射P波Φw2=En2Exp[i(ωt-kxx+kwpyy)]

由此可知水中勢函數(shù)為

Φw=Φw1+Φw2

(12)

3 邊界條件及待定系數(shù)求解

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

假設(shè)飽和土與混凝土邊界處為不透水邊界，即在邊界處的孔隙水壓力在y方向的水力梯度為0[18]，因此：

當(dāng)y=0和y=2a+b時，?Pf/?y=0

(13e)

式中：σs1y、σc1y、σs2y、σc2y、σs1xy、σc1xy、σs2xy、σc2xy分別為飽和土及襯砌法相和切向應(yīng)力；us1y、uc1y、us2y、uc2y、us1xy、uc1xy、us2xy、uc2xy分別為飽和土及襯砌法向及切向應(yīng)力；σwy、uwy為水中y方向應(yīng)力及位移。

依據(jù)飽和土、混凝土及水的本構(gòu)方程，可以得出飽和土、混凝土及水中位移及應(yīng)力與勢函數(shù)的表達(dá)式如下

(1) 飽和土中

(14a)

(2) 混凝土中

(14b)

(3) 水中

(14c)

將飽和土、混凝土及水內(nèi)勢函數(shù)表達(dá)式，代入式(14)中，并利用邊界條件(13)，即可得出勢函數(shù)中16個待定系數(shù)的表達(dá)式形式

AXT=Y

(15)

式中：A=[aij]為16×16的系數(shù)矩陣(具體表達(dá)形式見附錄)。X為1×16的待定系數(shù)矩陣，Y為16×1的矩陣(表達(dá)式見附錄)。

通過求解矩陣即可得出勢函數(shù)表達(dá)式中各待定系數(shù)值。

4 計算結(jié)果與分析

采用振幅衰減系數(shù)η來衡量屏障隔振效果，其定義為

(16)

式中：u1x為未設(shè)置隔振屏障時，僅由入射波引起的豎向位移幅值；u2x為設(shè)置隔振屏障后豎向位移幅值；η為豎向位移比值，η越小說明屏障的隔振效果越好。

為研究隔振屏障隔振效果時，混凝土厚度及水寬采用無量綱參數(shù)表示，即：混凝土無量綱厚：R=a/λc(λc為飽和土中P入射波波長)；水寬無量綱：W=b/λc。

飽和土及水參數(shù)如下：土骨架密度ρs=2 650 kg/m3，流體密度ρf=1 000 kg/m3，孔隙率n0=0.3，泊松比ν=0.3，彈性模量20 MPa，滲透系數(shù)k=1.0×10-8，流體黏滯系數(shù)η=2.0×10-3Pa·s，Biot參數(shù)α=0.978，M=6×108Pa，水體積模量Kf=2.15×109Pa?；炷敛牧蠀?shù)如下：密度ρsd=2 700 kg/m3，彈性模量30 GPa。

圖2為分別改變W及R時，振幅衰減系數(shù)隨入射波入射角的變化，由圖可知，在入射角較小時，振幅衰減系數(shù)有先增后減的趨勢；入射角在14°左右隔振屏障的隔振效果最差，隨入射角的增大振幅衰減系數(shù)在小區(qū)域內(nèi)有增加的趨勢，但總體處于逐漸減小狀態(tài)，屏障隔振效果逐漸變好，且R及W越大隔振效果越好。由此可知，隔振屏障的隔振效果與入射波的入射角及混凝土無量綱厚度與水層無量綱寬度有關(guān)，且入射波垂直入射時屏障的隔振效果達(dá)到95%以上。

圖3為入射波以入射角為0°(垂直入射)及30°入射到混凝土邊界時，振幅衰減系數(shù)隨R及W的變化曲線，由圖3(a)可知，垂直入射時屏障的隔振效果隨R及W的增加，隔振效果先變?nèi)鹾笤鰪?qiáng)，整體隔振效果在96%以上。由圖3(b)可以看出，在R及W較小時，振幅衰減系數(shù)隨R及W的增加而增加，當(dāng)R及W達(dá)到一定值后，振幅衰減系數(shù)會逐漸減小，直至趨向于0，入射角為30°時，屏障整體隔振效果70%以上，且R=1及W=0.3時，振幅衰減系數(shù)已基本趨向于0。

(a) 混凝土無量綱厚度R相同

(b) 水層無量綱寬度W相同

(a) 入射角θα=0°

(b) 入射角θα=30°

Fig.3 The variation ofηwith non-dimensional thickness of concrete and non-dimensional width of water-course

圖4為入射角為0°及30°時振幅衰減系數(shù)隨混凝土彈性模量及泊松比的變化，由圖4(a)可知，垂直入射時隔振屏障隔振效果達(dá)到97%以上，且隨彈性模量的增加隔振效果減弱；圖4(b)可以看出，屏障隔振效果在85%以上，隨混凝土彈性模量及泊松比的增加隔振效果逐漸增強(qiáng)，且混凝土的彈性模量對振幅衰減系數(shù)影響較大，而泊松比對振幅衰減系數(shù)的影響很小，由此可知，采用彈性模量較大的混凝土隔振效果更為明顯。

(a) 入射角θα=0°

(b) 入射角θα=30°

圖5分別為入射角為30°時改變W及R時，振幅衰減系數(shù)隨入射波頻率的變化曲線，由圖5(a)可知，R不變情況下，振幅衰減系數(shù)隨入射波頻率的增加而減小，且W越大則振幅衰減系數(shù)越小；圖5(b)可以看出，W不變情況下，振幅衰減系數(shù)在R=0.4、0.6時，隨入射波頻率的增加而減小，R=0.2時，隨入射波頻率的增加振幅衰減系數(shù)先增大后逐漸減小。由此可知，隨入射波頻率的增加振幅衰減系數(shù)基本呈現(xiàn)下降的趨勢，混凝土層厚及水層寬度越大，則振幅衰減系數(shù)越小。

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了飽和土中夾水混凝土復(fù)合隔振屏障計算模型，通過引入勢函數(shù)并利用飽和土與混凝土及混凝土與水交界面的連續(xù)性條件，求解了隔振屏障隔振效果的解析解，并分析了混凝土無量綱厚度、水層無量綱寬度、混凝土彈性模量和泊松比及入射波頻率對隔振效果的影響，得出如下結(jié)論：

(1) 屏障的隔振效果與入射波的入射角有關(guān)，且入射角在14°左右時，屏障的隔振效果最差，之后隨入射角的增大，隔振效果總體越來越好。

(2) 入射角為0°時，屏障的隔振效果隨混凝土無量綱厚及水層無量綱寬度的增加，隔振效果先變?nèi)鹾笤鰪?qiáng)，整體隔振效果在96%以上。入射角為30°時，隨混凝土無量綱厚及水無量綱寬的增加，隔振效果先增加后減小，在混凝土無量綱厚為1及水無量綱寬0.3時，振幅衰減系數(shù)已基本趨向于0。

(a) 混凝土無量綱厚度R相同

(b) 水層無量綱寬度W相同

(3) 入射角為0°時，隨混凝土彈性模量及泊松比的增加，屏障隔振效果降低，而入射角為30°時，隨混凝土彈性模量及泊松比的增加，屏障隔振效果增強(qiáng)，且彈性模量對振幅衰減系數(shù)影響更為明顯，因此建議選擇彈性模量較大的材料作為隔振屏障。

(4) 隨入射波頻率的增加，振幅衰減系數(shù)基本呈現(xiàn)下降的趨勢，混凝土層厚及水層寬度越大則屏障隔振效果越好。