丁美玲，劉丙友，王力超

（安徽工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

球桿系統(tǒng)是常用的研究現(xiàn)代控制理論和傳統(tǒng)控制理論的非線性系統(tǒng)平臺，也是驗證控制策略和控制性能好壞的實驗平臺，它的非線性對于實際環(huán)境中的非線性分析具有重要意義。因此，關(guān)于球桿系統(tǒng)中小球的位置控制研究受到了廣泛關(guān)注，PID控制、根軌跡控制和頻率響應(yīng)等方法經(jīng)常用于球桿系統(tǒng)的研究。劉陽等［1］通過對球桿系統(tǒng)的建模和設(shè)計，把非線性球桿系統(tǒng)做了線性化處理。J.Sharma等［2］通過定量反饋理論（QFT）對球桿系統(tǒng)進(jìn)行控制和跟蹤。 Jo N.H.等［3］將非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器應(yīng)用于球桿系統(tǒng)，提高了球桿系統(tǒng)的控制性能。 宋志偉等［4］、N.B.Hui等［5］和朱堅民等［6］分別用傳統(tǒng)的PID控制、模糊PID控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等控制策略研究了球桿系統(tǒng)。

自20世紀(jì)80年代以來，自抗擾控制已得到很大的發(fā)展，并在工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。陳增強(qiáng)等［7］介紹了自抗擾控制的基本思想、基本原理及其研究進(jìn)展，指出了進(jìn)一步研究的方向。王麗君等［8］把自抗擾控制器應(yīng)用在永磁同步電機(jī)中，解決了永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)存在的超調(diào)與快速之間的矛盾。周凱等［9］把自抗擾控制器用于熱連軋活套系統(tǒng)，消除了擾動對系統(tǒng)的影響。Zhang N.等［10］把自抗擾控制器用于無人機(jī)防撞系統(tǒng)，解決了傳感器噪聲、未知障礙加速度和風(fēng)擾動下無人機(jī)避免碰撞問題。劉丙友等［11］將一種改進(jìn)的自抗擾控制方法用于永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子位置角的控制，為轉(zhuǎn)子的位置角控制系統(tǒng)設(shè)計了改進(jìn)型擴(kuò)張狀態(tài)觀測器和非線性誤差反饋律，使得永磁同步電機(jī)的位置角控制得到了進(jìn)一步優(yōu)化。在本文中，我們運(yùn)用拉格朗日運(yùn)動學(xué)方程建立了球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，給出一種新型的非線性函數(shù)，基于該函數(shù)設(shè)計了一種控制球桿系統(tǒng)位置的改進(jìn)型自抗擾控制器，設(shè)計了基于改進(jìn)型自抗擾控制的球桿系統(tǒng)位置控制系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實驗，驗證了改進(jìn)型ADRC控制器的抗干擾性和快速性。

1 球桿系統(tǒng)建模

球桿系統(tǒng)是一種典型的具有單輸入輸出的非線性系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)簡單緊湊、安全性較高、工作原理表達(dá)直觀。球桿系統(tǒng)作為一個控制對象，已被廣泛用于控制策略的研究。球桿系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)形式多樣，但是原理基本相同。球桿系統(tǒng)的機(jī)械部分包括底座、橫桿、小球、支撐部分、減速皮帶輪和馬達(dá)等，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 球桿系統(tǒng)的原理圖

從圖1可以看出，小球在橫桿上來回滾動，橫桿的左端通過轉(zhuǎn)軸固定，右端連接支撐桿可以繞固定點(diǎn)上下轉(zhuǎn)動。球桿系統(tǒng)的基本控制思想是：通過直流伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)動帶動皮帶輪轉(zhuǎn)動，再通過傳動機(jī)構(gòu)控制橫桿傾斜角，以實現(xiàn)通過直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動位置角達(dá)到控制小球位置的目的。控制部分由計算機(jī)、增量式編碼器、線性電阻傳感器等組成。線性電阻傳感器檢測和反饋小球的實際位置，并和預(yù)期的目標(biāo)位置進(jìn)行比較，得到位置誤差，然后經(jīng)過控制器的精確控制，確定電動機(jī)的轉(zhuǎn)角。直流伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動，帶動減速皮帶輪轉(zhuǎn)動，改變連線（連桿和皮帶輪的連接點(diǎn)與齒輪中心的連線）和水平線的夾角 θ ，進(jìn)而改變橫桿與水平線的夾角 α ，使小球達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)位置。

為了建立球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，作以下假設(shè)：1）小球在橫桿上滾動時忽略小球與橫桿之間的摩擦力；2）忽略電動機(jī)的力學(xué)特性，將電機(jī)模型看成一個純比例增益k；3）忽略電機(jī)動力學(xué)和小球動力學(xué)的耦合作用；4）當(dāng) α 很小時，取利用拉格朗日運(yùn)動學(xué)方程，建立球桿系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

即

小球位置的模型結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 小球位置的模型結(jié)構(gòu)

2 自抗擾控制器

改進(jìn)型自抗擾控制器由四個部分組成，分別是：跟蹤微分器（tracking differentiator,TD）、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extended state observer,ESO）、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律 （nonlinear state error feedback control low,NLSEF）和擾動補(bǔ)償裝置（disturbance compensation device,DCD）。

2.1 新型非線性函數(shù)設(shè)計

傳統(tǒng)的非線性函數(shù)在原點(diǎn)是不可導(dǎo)的，且存在高頻振顫現(xiàn)象，因此傳統(tǒng)的自抗擾控制器的抗干擾能力較差，而在本文中我們給出的非線性函數(shù)為

將式（5）代入式（4），求解可得

2.2 跟蹤微分器（TD）設(shè)計

跟蹤微分器不僅有跟蹤輸入信號、安排過渡過程的作用，還有微分和濾波的作用。跟蹤微分器用來實現(xiàn)對系統(tǒng)輸入信號的快速無超調(diào)跟蹤，并能對其給出良好的微分信號

2.3 ESO設(shè)計

擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）用來觀測內(nèi)部狀態(tài)和估計系統(tǒng)的不可測狀態(tài)，實現(xiàn)模型和外部干擾的前饋補(bǔ)償。

連續(xù)非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的形式為

其中，e為觀測誤差，b0為補(bǔ)償因子估計值，和α3為非線性因子，是ESO的增益。

2.4 NLSEF設(shè)計

NLSEF實現(xiàn)對跟蹤微分器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的非線性組合，與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器檢測綜合擾動共同作為被控對象的控制量，用來提供穩(wěn)定有效的輸出信號

2.5 DCD設(shè)計

擾動補(bǔ)償裝置（DCD）用來補(bǔ)償擾動，把系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成積分串聯(lián)型的裝置。球桿系統(tǒng)的補(bǔ)償表達(dá)式為

2.6 球桿系統(tǒng)的改進(jìn)型ADRC設(shè)計

把改進(jìn)型ADRC應(yīng)用于球桿系統(tǒng)的控制，相應(yīng)的改進(jìn)型自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖3所示。

圖3 改進(jìn)型ADRC的控制電路結(jié)構(gòu)

3 仿真結(jié)果分析

為了驗證改進(jìn)型ADRC的控制效果，將改進(jìn)的ADRC控制策略與PID控制策略、傳統(tǒng)的ADRC控制策略進(jìn)行比較，通過階躍響應(yīng)、正弦響應(yīng)、方波響應(yīng)和階躍信號加入干擾的仿真結(jié)果進(jìn)行比較，驗證改進(jìn)型ADRC具有更好的魯棒性、抗干擾性、無超調(diào)和響應(yīng)速度快的特性。在進(jìn)行仿真實驗時，我們?yōu)閭鹘y(tǒng)的ADRC和改進(jìn)型的ADRC設(shè)置了相同的參數(shù)，具體的參數(shù)見表1。

表1 ADRC的參數(shù)

仿真實驗的內(nèi)容包括以下4個方面：

1）輸入的信號為階躍信號時，取信號為0.25 m，響應(yīng)時間為5 s，可得如圖4所示的響應(yīng)曲線。

2）輸入的信號為正弦信號時，取正弦周期為2 s，響應(yīng)時間為10 s，波峰為0.3 m，波谷為0.1 m，可得如圖5所示的響應(yīng)曲線。

3）輸入的信號為方波信號時，取周期為10 s的零正方波，正值為0.2 m，可得如圖6所示的響應(yīng)曲線。

4）輸入的信號為方波信號時，取周期為10 s的零正方波，正值為0.2 m，同時加入強(qiáng)度為1 m的白噪聲干擾信號，可得如圖7所示的響應(yīng)曲線。

從圖4看，改進(jìn)型ADRC的調(diào)節(jié)時間為0.434 s，傳統(tǒng)的ADRC控制器的調(diào)節(jié)時間為0.849 s，PID的調(diào)節(jié)時間為2.265 s?？梢钥闯?，改進(jìn)型ADRC比傳統(tǒng)的ADRC的調(diào)節(jié)時間快大約1倍，比PID控制器的調(diào)節(jié)時間快了4.2倍，且ADRC控制器無超調(diào)。

分析圖5和圖6，可以得到相似的結(jié)論。

圖7是白噪聲干擾下的方波響應(yīng)曲線。從圖7可以看出，PID控制器在有干擾的情況下波動較大，傳統(tǒng)的ADRC控制器同PID控制器相比波動有所改善，而改進(jìn)型ADRC控制器在加入干擾后幾乎無波動。

以上分析結(jié)果表明：改進(jìn)型ADRC控制器與PID控制器相比，具有更強(qiáng)的抗干擾能力、更快的調(diào)節(jié)速度，并解決PID的超調(diào)問題；改進(jìn)型ADRC與傳統(tǒng)的ADRC相比，提高了響應(yīng)速度和抗干擾的能力。

圖4 階躍響應(yīng)曲線

圖5 正弦響應(yīng)曲線

圖6 方波響應(yīng)曲線

圖7 白噪聲干擾下的方波響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

球桿系統(tǒng)是開環(huán)上的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，為了使小球能夠快速精準(zhǔn)地到達(dá)指定位置，我們利用自抗擾控制器對小球的位置進(jìn)行控制，并利用自抗擾控制技術(shù)解決了快速性和超調(diào)性之間的矛盾，保證了系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性。為了驗證自抗擾控制策略的優(yōu)良特性，在同樣參數(shù)的條件下，我們通過仿真實驗證明了改進(jìn)型ADRC的良好特性，證明了改進(jìn)型ADRC控制策略比傳統(tǒng)的ADRC控制策略、PID控制策略具有更好的魯棒性、快速性和抗干擾性，驗證了改進(jìn)型ADRC對球桿系統(tǒng)控制的可行性以及對非線性系統(tǒng)控制的可控性。