李 暾 ，肖志豪 ，楊雄偉

（1.廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.西南交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，四川 成都 611731）

斜拉橋由于其諸多優(yōu)點(diǎn)得到越來越廣泛的應(yīng)用，但斜拉橋的拉索質(zhì)量小、阻尼小、柔度大，很容易發(fā)生風(fēng)致振動(dòng)，這就給橋梁的運(yùn)營(yíng)和安全帶來了隱患，因此，研究斜拉索的振動(dòng)就顯得十分必要。目前，斜拉索振動(dòng)方面的研究已由線性振動(dòng)階段進(jìn)入了非線性振動(dòng)階段。 H.M.Irvine［1］、I.A.Hassan［2］和 H.Yamaguchi等［3］研究了斜拉索的三維線性振動(dòng)理論和有關(guān)參數(shù)對(duì)斜拉索振動(dòng)頻率的影響。左曉寶等［4］建立了斜拉索在平面內(nèi)發(fā)生橫向振動(dòng)的非線性自由振動(dòng)方程，但沒有考慮抗彎剛度。吳曉等［5］研究了斜拉索的非線性固有振動(dòng)特性。高永強(qiáng)等［6］研究了彎曲剛度的斜拉索的固有振動(dòng)特性。姜健等［7］研究了拉索平面內(nèi)自由振動(dòng)的影響因素。趙躍宇等［8］研究了斜拉索面內(nèi)振動(dòng)和面外擺振的耦合。以上研究涉及的都是拋物線型拉索。隨著斜拉索長(zhǎng)度的增加，拋物線型拉索的計(jì)算精度越來越低。劉志軍等［9］考慮了抗彎剛度和垂度對(duì)斜拉索的影響，建立了在平面內(nèi)發(fā)生橫向振動(dòng)的非線性自由振動(dòng)方程，但該方程是斜拉索靜止時(shí)的無量綱化曲線方程，與真實(shí)情況有一定的差距。袁從森等［10］考慮了斜拉索重量的弦向分量對(duì)斜拉索非線性振動(dòng)產(chǎn)生的影響，建立了非線性自由振動(dòng)方程，并采用更精確的函數(shù)來逼近垂度懸鏈線，但這和實(shí)際情況仍有一定的差距。在本文中，我們先在拉索質(zhì)量沿軸向均勻分布的條件下給出懸鏈線型表達(dá)式，在考慮拉索抗彎剛度和拉索垂度的基礎(chǔ)上建立拉索面內(nèi)的非線性自由振動(dòng)微分方程，通過Galerkin法將此微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，并通過龍格-庫塔法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，再分析拋物線型拉索與懸鏈線型拉索產(chǎn)生自由振動(dòng)的差異，研究拉索長(zhǎng)度、線質(zhì)量、張力和傾角分別與兩種線型拉索的自振頻率、垂度影響系數(shù)的關(guān)系。

1 懸鏈線型拉索的自由振動(dòng)微分方程

在不考慮拉索軸向振動(dòng)的條件下，拉索在y軸方向上的平衡方程和振動(dòng)微分方程分別為在式（1）和式（2）中：為拉索質(zhì)量；和分別為拉索軸向靜態(tài)和動(dòng)態(tài)張力；為拉索沿y軸方向的阻尼系數(shù)；E為拉索彈性模量；I為拉索截面慣性矩；為拉索傾角；g為重力加速度；v為拉索單元沿y軸方向的動(dòng)位移；x軸為過拉索兩端的直線；y軸為拉索面內(nèi)振動(dòng)方向，向下為正。

根據(jù)Green-Lagrange應(yīng)變-位移關(guān)系，通過適當(dāng)簡(jiǎn)化可以得出拉索的軸向應(yīng)變

和懸鏈線的靜態(tài)線型表達(dá)式［11］

其中，L為拉索長(zhǎng)度，H0為靜力平衡狀態(tài)下的拉力水平分量。

對(duì)式（7）求導(dǎo)，可得

根據(jù)Galerkin法，可設(shè)

將式（8）和式（9）代入式（3）中，可得

對(duì)式（10）沿拉索軸向積分，可得

拉索軸向動(dòng)態(tài)張力 τ 近似為時(shí)間t的函數(shù)，故有

其中A為拉索界面面積。

將式（8）和式（9）代入式（2），整理后可得

將式（12）代入式（14）中，整理后可得

2 單模態(tài)分析

為了對(duì)懸鏈線型和拋物線型進(jìn)行比較，由以拉索風(fēng)雨激振理論模型［12］為基礎(chǔ)的拋物線型拉索的自由振動(dòng)微分方程可知，懸鏈線型和拋物線型拉索的自由振動(dòng)微分方程均是多模態(tài)耦合的。若將方程中的各模態(tài)對(duì)第n階模態(tài)自振頻率影響系數(shù)和各模態(tài)對(duì)第n階模態(tài)影響系數(shù)去掉，即得到拉索單模態(tài)自由振動(dòng)微分方程

在式（25）和式（26）中，兩種線型下拉索單模態(tài)自由振動(dòng)的各階模態(tài)的自振頻率為

式（25）~式（28）中符號(hào)含義及表達(dá)式與前文的一致。

3 算例及分析

3.1 拉索參數(shù)

以白沙洲長(zhǎng)江大橋上的拉索為例進(jìn)行分析，該拉索為大橋2號(hào)墩上的C20號(hào)拉索，其長(zhǎng)度為331.013 6 m，橫截面積為6.273×10-3m2，線質(zhì)量為51.8 kg/m，彈性模量為 1.95×105MPa，截面慣性矩為 3.5×10-6m4，初始張力為2 002 kN，拉索傾角為24.397 6°。

3.2 懸鏈線型與拋物線型的差異

從式（27）和式（28）可以看到，在采用懸鏈線型和拋物線型建立的模型中，拉索的固有頻率是相同的，抗彎剛度對(duì)拉索各階頻率影響系數(shù)也是相同的，各階自振頻率之間的差異是由拉索垂度的不同造成的，而影響拉索垂度的因素包括拉索長(zhǎng)度、拉索線質(zhì)量、拉索張力以及拉索傾角。無論采用哪種線型，對(duì)于偶數(shù)階模態(tài)，垂度對(duì)拉索振動(dòng)頻率的影響系數(shù)都為0，因此只需比較奇數(shù)階模態(tài)自振頻率。

拉索的長(zhǎng)度范圍非常大，短的只有十幾米，長(zhǎng)的可達(dá)600 m［13］。表1為當(dāng)拉索長(zhǎng)度發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時(shí)，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計(jì)算結(jié)果。表2為當(dāng)拉索線質(zhì)量發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時(shí)兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計(jì)算結(jié)果。通常情況下，拉索承受的張力很大，單根拉索的張力可達(dá)30 000 kN［14］，實(shí)際上拉索的張力沒有這么大。表3為當(dāng)拉索張力發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時(shí)，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計(jì)算結(jié)果。表4為當(dāng)拉索傾角發(fā)生變化，其他參數(shù)保持不變時(shí)，兩種線型拉索各階模態(tài)自振頻率的計(jì)算結(jié)果。

表1 不同長(zhǎng)度下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表2 不同線質(zhì)量下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表3 不同張力下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

表4 不同傾角下兩種線型拉索的各階模態(tài)的自振頻率

從表1~表3可以看出，當(dāng)采用不同線型拉索時(shí)，只有第1階自振頻率的差異相對(duì)較大，其他各階自振頻率值雖然不完全相同，但它們差異可以忽略不計(jì)，而且階數(shù)越高，差異越小。另外，拉索越長(zhǎng)，單位拉索質(zhì)量越大，拉索張力越小，兩種線型的自振頻率差異就越大。

從表4可以看出，隨著拉索傾角的增大，這兩種線型拉索自振頻率的差異也在逐漸增大。與表1~表3中數(shù)據(jù)不同的是，雖然隨著拉索長(zhǎng)度的增加、單位拉索質(zhì)量增加及拉索張力減小，這兩種線型的自振頻率的差距不斷增大，但其變化趨勢(shì)是一致的。當(dāng)拉索傾角增大時(shí)，懸鏈線型的自振頻率逐漸增大，而拋物線型的自振頻率逐漸減小。

為了找出原因，分析一下兩種線型下拉索單模態(tài)自由振動(dòng)時(shí)第n階自振頻率和的表達(dá)式，即式（27）和式（28）。首先，從這兩個(gè)式子可以看出，拉索固有頻率以及彎曲剛度的影響是相同的，因此和之間的差異是由垂度項(xiàng)和的不同引起的。 其次，影響垂度項(xiàng)和的因素有拉索長(zhǎng)度L、拉索線質(zhì)量拉索張力和拉索傾角，而拉索參數(shù)L、Mc和T0對(duì)和也有影響，因此，雖然和的差異僅由垂度項(xiàng)引起，但差異的大小取決于拉索的參數(shù)。

圖1分別反映了拉索長(zhǎng)度、線質(zhì)量、張力、傾角與兩種線型拉索第1階自振頻率的關(guān)系。分析各參數(shù)對(duì)兩種線型拉索其他階自振頻率的影響，可以得出以下結(jié)論：兩種線型的拉索長(zhǎng)度、線質(zhì)量和張力對(duì)拉索自振頻率的影響趨勢(shì)基本一致，而兩種線型的拉索傾角對(duì)拉索自振頻率的影響的趨勢(shì)正好相反。

圖2分別反映了拉索長(zhǎng)度、線質(zhì)量、張力和傾角與兩種線型第1階垂度影響系數(shù)的關(guān)系。分析拉索各參數(shù)對(duì)兩種線型的其他階垂度影響系數(shù)的影響，可以得出如

圖1 各參數(shù)與兩種線型拉索的第1階自振頻率的關(guān)系

3 結(jié)論

在本文中，我們導(dǎo)出了基于懸鏈線型連續(xù)拉索的自由振動(dòng)微分方程，并對(duì)拉索自由振動(dòng)特性做了單模態(tài)分析。拋物線型作為懸鏈線型的近似線型，自振頻率與懸鏈線型的非常接近，但又有差異。通過算例分析，我們得出以下結(jié)論：1）采用懸鏈線型和拋物線型所得到的拉索各階模態(tài)的自振頻率非常接近，但還存在一定的差異，模態(tài)階數(shù)越高，差異越小，且差異是由垂度項(xiàng)引起的。2）懸鏈線型拉索和拋物線型拉索各階模態(tài)的自振頻率除第1階略有差異外，高階自振頻率差異很小。拉索越長(zhǎng)、張力越小、線質(zhì)量越大以及傾角越大，兩種線型的自振頻率差異也就越大。3）兩種線型的垂度影響系數(shù)隨拉索長(zhǎng)度、線質(zhì)量和張力的變化具有相下結(jié)論：低階垂度影響系數(shù)隨拉索長(zhǎng)度的增加而變大，高階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索長(zhǎng)度變化的影響。低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索線質(zhì)量的增加而變大，高奇數(shù)階垂度影響系數(shù)和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索線質(zhì)量變化的影響。低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索張力的增大而變小，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索張力變化的影響。對(duì)于懸鏈線型拉索，低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的增大而變大，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索傾角變化的影響；對(duì)于拋物線型拉索，低奇數(shù)階垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的增大而變小，高奇數(shù)階和偶數(shù)階垂度影響系數(shù)基本上不受拉索傾角變化的影響。同的變化趨勢(shì)。這兩種線型的垂度影響系數(shù)隨拉索傾角的變大變化趨勢(shì)正好相反。拉索傾角相同時(shí)，懸鏈線型垂度影響系數(shù)要比拋物線型垂度影響系數(shù)大。

圖2 各參數(shù)與兩種線型的第1階垂度影響系數(shù)的關(guān)系