普粉麗 文萍

【摘要】平行四邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中的一個(gè)非常重要內(nèi)容，通過對兩個(gè)版本教材的比較，給出教學(xué)時(shí)注重方格紙的使用，體現(xiàn)“等積變換”思想;注重“割補(bǔ)法”推導(dǎo)，滲透“轉(zhuǎn)化”思想，注重課后習(xí)題的使用，積累學(xué)生的“基本活動經(jīng)驗(yàn)”，從HPM視角下穿插數(shù)學(xué)史，增強(qiáng)學(xué)生的情感體驗(yàn)，從而高效獲取數(shù)學(xué)知識.

【關(guān)鍵詞】平行四邊形的面積;HPM視角;啟示

【基金項(xiàng)目】云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（2019J0857）——HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對云南邊疆民族地區(qū)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響研究.

數(shù)學(xué)史如何融入中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，是許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的話題，它也是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）領(lǐng)域的重要內(nèi)容，教師要深刻認(rèn)識數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值.平行四邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中的一個(gè)非常重要內(nèi)容，平行四邊形面積的計(jì)算方法是從長方形的面積計(jì)算方法通過“轉(zhuǎn)化”思想推導(dǎo)得出;而這種“轉(zhuǎn)化”思想方法又為后續(xù)內(nèi)容三角形、梯形、圓等面積及立體圖形的體積計(jì)算方法打下基礎(chǔ).本文通過比較人教版和滬教版兩個(gè)版本的數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)它們的教學(xué)內(nèi)容素材選取、內(nèi)容編排存在差別，因此，探究推導(dǎo)平行四邊形的面積公式，理清平行四邊形面積的算理，從HPM的視角下設(shè)計(jì)本節(jié)課，將有助于落實(shí)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

一、“人教版”和“滬教版”教材中“平行四邊形的面積”的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

（一）人教版的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

“平行四邊形的面積”是單元“多邊形的面積”教學(xué)時(shí)的第一課，是從主題圖中一個(gè)長方形花壇和一個(gè)平行四邊形花壇的面積大小引出了怎么樣計(jì)算平行四邊形的面積，突出平行四邊形與長方形的內(nèi)在聯(lián)系，從而達(dá)到從原有的知識中探索新知識的學(xué)習(xí).教材接著給出用數(shù)方格的方法求出平行四邊形和長方形的面積.在數(shù)方格環(huán)節(jié)，教材給出表格，讓學(xué)生數(shù)出圖形的面積并填寫，并且要求學(xué)生先單獨(dú)操作，再全班討論和交流.接著教師提出不數(shù)方格，能不能計(jì)算平行四邊形的面積呢？從而引出研究割補(bǔ)法推導(dǎo)平行四邊形的面積這一重要內(nèi)容，教材最后給出一道例題.

（二）滬教版的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

“平行四邊形的面積”這節(jié)課是安排在剛剛學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念、底、高及它的不穩(wěn)定性后來學(xué)習(xí)的.教材先給出一個(gè)平行四邊形的圖形，在圖形中標(biāo)出底和高這兩個(gè)數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)平行四邊形的面積是多少？接下來，教材給出了兩種方法：一種是通過數(shù)格子的方法，數(shù)出這個(gè)平行四邊形的面積;另一種是通過“剪與拼”的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生探究出將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形.隨后，教材呈現(xiàn)出觀察平行四邊形與長方形面積的變化情況，再推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式.最后教材安排計(jì)算出該平行四邊形的面積.

二、導(dǎo)入方式的不同

通過閱讀不同版本的數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)在“平行四邊形的面積”導(dǎo)入方式通常有兩種.第一種是通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境來導(dǎo)入新知的;第二種是直接從平面圖形導(dǎo)入新知的.人教版的導(dǎo)入方式屬于第一種，創(chuàng)設(shè)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活情境：學(xué)校門口的長方形花壇和平行四邊形花壇中，哪個(gè)面積大？這樣的現(xiàn)實(shí)生活情境來導(dǎo)入新課.滬教版采用的方式是第二種，開門見山，給出底為6厘米、高為4厘米的平行四邊形的圖形直接從圖形引入，并追問它的面積是多少.

三、推導(dǎo)“平行四邊形的面積”計(jì)算公式的異同

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積計(jì)算公式”.兩套教材均采用“利用方格紙和割補(bǔ)方法”兩種方法來推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式，但在方格紙的呈現(xiàn)方式上有所不同.

對數(shù)方格方法，人教版教材利用方格紙把平行四邊形、長方形兩種圖形呈現(xiàn)在方格紙上，并且在采用數(shù)方格方法計(jì)算面積時(shí)，強(qiáng)調(diào)一個(gè)方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計(jì)算，通過數(shù)方格的方法把平行四邊形的底、高和面積及長方形的長、寬和面積填寫在表格中.教材的編寫意圖就是要讓學(xué)生在數(shù)的過程中找出長方形長、寬和平行四邊形底、高之間的聯(lián)系.滬教版教材把一個(gè)平行四邊形圖形放在方格紙上，教材中并沒有像人教版教材一樣指出一個(gè)方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計(jì)算這句話.教材的編寫意圖是讓學(xué)生通過數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積，但在數(shù)的過程中出現(xiàn)不完整的方格時(shí)，則需要兩個(gè)不完整的方格拼成一個(gè)完整的方格，這樣的編排無形中已滲透了“割補(bǔ)”的思想.

對割補(bǔ)法求面積，人教版教材通過學(xué)生動手剪一剪，拼一拼，通過剪、移、拼的過程把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)長方形，在這個(gè)過程中并沒使用方格紙.而滬教版教材中剪、移、拼這個(gè)過程是在方格紙上呈現(xiàn)的.

雖然方格紙?jiān)趦蓚€(gè)版本的教材中，推導(dǎo)公式的編排方式不同，卻都滲透了“割補(bǔ)法”的思想.

兩個(gè)版本的教材在平行四邊形面積公式的探究過程中，都是利用割補(bǔ)法來呈現(xiàn)的，都把一個(gè)平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形或者兩個(gè)直角梯形的兩種方法.兩套教材都呈現(xiàn)了把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形的推演過程，而分割成兩個(gè)直角梯形的推演過程并沒有給出.不管是把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形，還是兩個(gè)直角梯形，在推導(dǎo)過程中學(xué)生可以感受到平移、旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，這都有利于發(fā)展學(xué)生的空間幾何直觀和積累學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn).

四、兩套教材的比較研究對平行四邊形的面積的教學(xué)啟示

（一）教學(xué)時(shí)注重方格紙的使用，體現(xiàn)“等積變換”思想

在古代，兩河流域測量土地面積時(shí)，就用單位面積的方法度量物體，現(xiàn)在我們通常借用邊長為1厘米的小正方形的方格紙來度量面積的大小.人教版教材在三年級時(shí)推導(dǎo)長方形、正方形面積計(jì)算公式就安排了用數(shù)方格的方法.到了五年級學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時(shí)，教材同樣也安排方格紙推導(dǎo)平行四邊形面積.所以，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要突出兩點(diǎn)，首先在判斷平行四邊形的面積計(jì)算是不是鄰邊相乘時(shí)，方格紙的量化作用就體現(xiàn)出來;其次借助方格紙?zhí)骄科叫兴倪呅蔚拿娣e時(shí)，通過對比數(shù)的結(jié)果與底乘高計(jì)算的結(jié)果，可能猜想底乘高是計(jì)算平行四邊形面積的方法，再通過數(shù)面積單位來驗(yàn)證.滲透“等積變換”的割補(bǔ)法，為學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)通過數(shù)方格的過程加深了平行四邊形與長方形數(shù)法上的聯(lián)系.并且，在學(xué)生利用方格紙“數(shù)面積”的過程（不足一格）無形中滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊[1].