沈葉華

科學(xué)家們一直在猜想，在無邊無涯的宇宙，說不定存在另一個(gè)與地球一樣的行星，居住著與人類一樣的高等動物。說不定他們也渴望認(rèn)識萬里之遙的我們?？墒侵v什么語言才能彼此溝通呢？總不會他們都懂中文或英文吧。美國科幻小說《接觸》中有一處情節(jié)，地球人接收到一串信號：“59、61、67、71……”這些數(shù)全是質(zhì)數(shù)，循環(huán)往復(fù)，原來是外星人在向地球人打招呼：“你們好！”

無獨(dú)有偶。1974年11月16日，美國宇航局通過設(shè)在波多黎各的阿雷西博射電望遠(yuǎn)鏡，向宇宙中的球狀星團(tuán)M13發(fā)射無線電信息，期盼M13里生活著外星人，能收到地球人的問候。此信息是一幀圖案，介紹我們這個(gè)藍(lán)色星球上的人物及風(fēng)光，如地球人的形態(tài)、地球人的DNA、地球總?cè)丝?、太陽系等?/p>

但怎樣才能確保外星人準(zhǔn)確閱讀該信息呢？經(jīng)科學(xué)家們精心設(shè)計(jì)，此信息共有1679個(gè)數(shù)字。1679是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積：1679=73×23，不可再分解。也就是說，只有當(dāng)1679分解成這兩個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)，才能拼出一個(gè)長方形。只有把它們排成73橫行、23豎列時(shí)，才呈現(xiàn)此圖案。如果分解錯(cuò)了或排列錯(cuò)了，出現(xiàn)的將是一堆亂碼，無法解讀。也就是說，我們發(fā)給外星人的信息只有唯一一種解讀方式（信息的內(nèi)容用二進(jìn)制編碼）。

那么，M13里的外星人聽到我們的呼喚了嗎？還早著呢。地球距離M13約25 000光年，此時(shí)此刻，這則無線電信息還在跑去M13的路上呢！

球狀星團(tuán)M13

這就奇怪了，在科幻小說里，在現(xiàn)時(shí)的太空科學(xué)中，質(zhì)數(shù)都被選為“星際語言”，這是為什么呢？第一，數(shù)學(xué)是一種客觀規(guī)律，無論何時(shí)、何地、對于任何人，它亙古不變。把它用作交流的語言，大家都懂;第二，質(zhì)數(shù)既是數(shù)學(xué)里的基礎(chǔ)元素，又是數(shù)學(xué)語言里的a、b、c。

我們有必要簡單回顧一下，什么是質(zhì)數(shù)？在大于1的自然數(shù)中，除了1和該數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如2、3、5、7（7÷1=7、7÷7=1、7÷2=3 、7÷3=? ）稱作質(zhì)數(shù);反之，可以被其他自然數(shù)整除的數(shù)，如4、6、8、9（4÷2=2、9÷3=3）稱作合數(shù)。

合數(shù)可以被整除，除數(shù)最終必定是質(zhì)數(shù)，如6÷3=2，8÷2÷2=2;反過來看，合數(shù)皆是質(zhì)數(shù)的乘積。下表僅以2-30為例：它們?nèi)绶琴|(zhì)數(shù)，即為質(zhì)數(shù)的乘積（合數(shù)），大于1的自然數(shù)都是這樣。1既非質(zhì)數(shù)，也非合數(shù)，下文再談。

合數(shù)是兩個(gè)以上的質(zhì)數(shù)的乘積，而且對于每個(gè)合數(shù)，其相乘的質(zhì)數(shù)不可替換，比如2×2×3=12，只有兩個(gè)2、一個(gè)3相乘才能得到12，多一個(gè)少一個(gè)都不行，換了其他質(zhì)數(shù)也不行——質(zhì)數(shù)個(gè)個(gè)都是“金不換”。

1既非質(zhì)數(shù)也非合數(shù)。因?yàn)?對乘積不起作用：1×2×2×3=12，1×1×2×2×3=12，有它沒它都一樣，所以1不夠格成為質(zhì)數(shù)。

有了質(zhì)數(shù)、合數(shù)，才能組成正整數(shù)，然后才有分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)……數(shù)字不斷擴(kuò)大，數(shù)學(xué)內(nèi)容隨之豐富?？纯矗|(zhì)數(shù)像不像建筑的沙石？有了沙石，才有房屋;有了質(zhì)數(shù)，才有數(shù)學(xué)。

公元前3世紀(jì)，古希臘人就注意到質(zhì)數(shù)的重要性，并開始研究。他們的研究成果在數(shù)千年后的今天仍為我們使用，經(jīng)久不衰。數(shù)學(xué)家歐幾里得是第一位證明了質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)的人。他的證明被譽(yù)為“簡潔、漂亮”的典范：論證只有簡單幾步，結(jié)論卻無懈可擊。

歐幾里得分析：數(shù)個(gè)質(zhì)數(shù)相乘再加1，得數(shù)必不能被其中的質(zhì)數(shù)整除，比如“E=2×3+1”，E不能被2或3整除，必有余數(shù)1;又比如“E=2×3×5+1”，E不能被2、3或5整除，必有余數(shù)1。接著，歐幾里得假設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有限：從2、3、5……到P為止，再沒有質(zhì)數(shù)了，并寫下：

E=2×3×5×…×P+1

E等于所有質(zhì)數(shù)相乘再加1?，F(xiàn)在，E是大于1的自然數(shù)：它要么是質(zhì)數(shù)，要么是合數(shù)。但E不能被從2、3、5……到P中任何一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，E有兩種可能：

（一）E是一個(gè)大于P的新質(zhì)數(shù)，E只能被1和自身整除;

（二）E是一個(gè)合數(shù)，它能被大于P的質(zhì)數(shù)整除。

無論假設(shè)多大的質(zhì)數(shù)P，歐幾里得的算式E=2×3×5×…×P+1總能得出它不是最后一個(gè)質(zhì)數(shù)，還有比P更大的質(zhì)數(shù)。由此反證了：質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)無窮多，寫不盡。已知的最大質(zhì)數(shù)：282 589 933-1=14889444574204132554……37951210325217902591，共有24 862 048位。如果中間不省略，這個(gè)已知的最大質(zhì)數(shù)要寫多長？可足足寫滿9000頁紙，約九套《紅樓夢》那樣厚。當(dāng)然，還有無窮多個(gè)比它更大的質(zhì)數(shù)。

無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)與合數(shù)拼成了正整數(shù)，那怎么把質(zhì)數(shù)分辨出來呢？與歐幾里得同時(shí)期的另一位古希臘人埃拉托斯特尼想出了“篩法”：篩掉合數(shù)，留下質(zhì)數(shù)——稱作“埃拉托斯特尼篩法”。以100之內(nèi)的自然數(shù)為例：首先將1拿走，剩下的非質(zhì)數(shù)即合數(shù)。第一個(gè)2是質(zhì)數(shù)，留下。把2的倍數(shù)（4、6、8……98、100）全刪去（見表1），因?yàn)?的倍數(shù)當(dāng)然可以被2整除——它們皆為合數(shù)。

回到開頭?，F(xiàn)在輪到3，3是質(zhì)數(shù)，留下。把3的倍數(shù)（9、15、21……93、99）全刪去（見表2）。

現(xiàn)在輪到4，4是合數(shù)已刪去，接下來5是質(zhì)數(shù)，留下。把5的倍數(shù)（25、35……85、95）全刪去（見表3）。

輪到7（6已刪去），7是質(zhì)數(shù)留下。把7的倍數(shù)（49、77、91）全刪去（見表4）。

至此，現(xiàn)在留下的就全是質(zhì)數(shù)了。100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)共25個(gè)（見表5）。

埃拉托斯特尼篩法非常好用。你想找出n以內(nèi)的質(zhì)數(shù)嗎？只需把以內(nèi)的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)篩掉，留下的便是。比如=10，10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)就4個(gè)：2、3、5、7，把它們的倍數(shù)篩掉就行。500以內(nèi)的質(zhì)數(shù)呢？≈22.3606，22以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有8個(gè)：2、3、5、7、11、13、17、19，把它們的倍數(shù)篩掉，留下的便是500以內(nèi)的質(zhì)數(shù)了。只是當(dāng)n越來越大時(shí)，要篩掉的合數(shù)越來越多，埃拉托斯特尼篩法就變得笨拙，不好使了。

從古希臘至今，人類鍥而不舍地研究質(zhì)數(shù)2000多年了，可惜遠(yuǎn)未能透徹了解它。人類甚至仍搞不懂它最基本的情況，比如質(zhì)數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律。我們來橫向比較一下：奇數(shù)（2k+1）、偶數(shù)（2k;k為整數(shù)）在數(shù)軸上一前一后，互相穿插，一目了然;平方數(shù)（n2）我們能毫厘不差地算出其分布：1（12）、4（22）、9（32）、16（42）……但質(zhì)數(shù)在數(shù)軸上看似毫無組織性，愛蹦出來就蹦了出來，讓人捉摸不透。

人類也弄不明白在一定范圍內(nèi)質(zhì)數(shù)的準(zhǔn)確個(gè)數(shù)。奇、偶數(shù)在一定范圍內(nèi)，其個(gè)數(shù)各占一半（100以內(nèi)的正整數(shù)中50個(gè)是奇數(shù)，50個(gè)是偶數(shù)）;正整數(shù)的平方數(shù)的個(gè)數(shù)，可以用開平方算出（=10，即100以內(nèi)有10個(gè)正整數(shù)的平方數(shù)）;但100以內(nèi)有多少個(gè)質(zhì)數(shù)，人們只得用最原始的辦法：一個(gè)個(gè)去數(shù)。

質(zhì)數(shù)的無規(guī)律可循，無公式可代入計(jì)算，把人類的探索遠(yuǎn)遠(yuǎn)擋在門外。

這就是數(shù)學(xué)大廈的沙石——質(zhì)數(shù)，表面看似簡單，小學(xué)生都懂，內(nèi)里乾坤卻很大，艱深晦澀，難倒世界頂尖數(shù)學(xué)大師。因此，有關(guān)質(zhì)數(shù)的哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、黎曼猜想成為數(shù)學(xué)中的頭等難題——多少數(shù)學(xué)家窮盡畢生精力參與接力賽，卻依然未能到達(dá)終點(diǎn)。人類何時(shí)才能破解質(zhì)數(shù)之謎？當(dāng)代偉大的數(shù)學(xué)家保羅·愛多士說：“至少還需1000年?！?/p>

親愛的讀者們，你們這下明白了吧？本文開頭的那張圖——1974年美國宇航局向球狀星團(tuán)M13發(fā)射無線電信息里——這封給外星人的信，看似簡單，實(shí)際飽含了多少科學(xué)智慧啊！

（編輯 文 墨）