牛 騰

(中國(guó)財(cái)政科學(xué)研究院，北京 100142)

開方法是中國(guó)古代重要且復(fù)雜的算法，古人最初使用算籌進(jìn)行開方，后來(lái)發(fā)展為用算盤作為主要開方用具。元明時(shí)代基本完成了從籌算開方到珠算開方的過渡，此后珠算開方法逐漸發(fā)展完善，這主要體現(xiàn)在《算法統(tǒng)宗》(以下簡(jiǎn)稱《統(tǒng)宗》)這一珠算著作中。在此之后的很多珠算著作大多以《統(tǒng)宗》為底本完成，如清代李長(zhǎng)茂(1)李長(zhǎng)茂，字拙翁，號(hào)睡足軒強(qiáng)恕居士，山東章丘縣人。據(jù)高峰和馮立昇[1]考證，李長(zhǎng)茂于順治十六年(1659)，開始編纂算書，是年四月，寫成《算海說詳》九卷，順治十八年(1661)付梓刊行。康熙元年(1662)李長(zhǎng)茂對(duì)原書加以挖補(bǔ)修改，請(qǐng)沈世奕作序，再次印行?，F(xiàn)存兩種版本分別為1661年蕭維樞作序的初刻本，和1662年沈世奕作序的修補(bǔ)本。所著《算海說詳》(以下簡(jiǎn)稱《說詳》)就是其中一部比較典型的珠算著作。華印椿([2]，頁(yè)86—88)、勞漢生[3]等認(rèn)為，《說詳》是以程大位的《算法統(tǒng)宗》(以下簡(jiǎn)稱《統(tǒng)宗》)為藍(lán)本，刪繁就簡(jiǎn)，壓縮而成。李培業(yè)[4]稱，《說詳》第一卷為匯法章，介紹各種珠算法，多系《統(tǒng)宗》內(nèi)容，但所論甚詳；以下各章，多為“九章”內(nèi)容?！妒澜缰樗阃ǖ洹穂5]、《中華珠算大辭典》[6]等稱，《說詳》內(nèi)容仍不出《統(tǒng)宗》范圍，而所論較詳。前述說法并不完全符合事實(shí)，該書確實(shí)以《統(tǒng)宗》為藍(lán)本編纂而成，但不止“刪繁就簡(jiǎn)”，還增加了不少新內(nèi)容，如對(duì)原有內(nèi)容的解釋說明，以及新增加了一些歌訣、算法等。

以《說詳》開方法為例，該書突破了以往算書“九章”的編排，其“算法九章名義”稱：“開方章，萬(wàn)法不離方，求諸算多用開方，故次勾股”([7]，頁(yè)565)，認(rèn)為開方法是比較基礎(chǔ)且重要的運(yùn)算方法，故單列一章專講開方，即第四卷開方章，對(duì)應(yīng)《統(tǒng)宗》卷六少?gòu)V章。在《統(tǒng)宗》基礎(chǔ)上，《說詳》對(duì)開方問題進(jìn)行了新的編排，除了包含《統(tǒng)宗》已載解法，還刪減了一些例題，并新增了與之不同的解法。且每例解后，《說詳》還設(shè)有“解義”，對(duì)解法算理、解題過程或幾何含義等進(jìn)行詳細(xì)闡釋，《統(tǒng)宗》則沒有此類說明。最重要的是，明代以前的珠算開方法基本都是借助開方作法本源中的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，而《說詳》新增的大部分開方法已沒有這一特征。因此，《說詳》開方法能很好地展示珠算開方的發(fā)展歷程，對(duì)其開方法的研究對(duì)數(shù)學(xué)史和珠算史都具有重要意義。

現(xiàn)有研究中，對(duì)《說詳》中珠算開方問題的關(guān)注少之又少，華印椿([2]，頁(yè)385—388，449—451)等進(jìn)行過簡(jiǎn)要介紹，高峰[8]對(duì)《說詳》進(jìn)行了校注，但鮮有人對(duì)《說詳》所載珠算開方法進(jìn)行過系統(tǒng)研究。本文以《說詳》1661年初刻本為底本，以《說詳》開方新增法為中心，通過與《統(tǒng)宗》中開方法的對(duì)比，從算盤的具體操作及開方的代數(shù)和幾何含義著手，重點(diǎn)研究《說詳》新增珠算開平方、開立方和開三乘方法的特點(diǎn)和創(chuàng)造性。鑒于珠算開方法有商除開方和歸除開方兩類，《說詳》所載歸除開方法與《統(tǒng)宗》基本相同，所以本文只分析兩算書中珠算商除開方法之異同，并以此分析珠算商除開方的發(fā)展歷程。

1 珠算開平方法的特點(diǎn)分析

1.1 《算法統(tǒng)宗》珠算開平方法

《統(tǒng)宗》首先介紹了“開平方法認(rèn)商歌”和“開平方初商定首位訣”，然后對(duì)開平方法有一般性解釋：“法曰：置積為實(shí)，別置一算名曰下法，于實(shí)數(shù)之下自末位至首常超一位，約實(shí)一下定一，千百下定十，萬(wàn)下定百，百萬(wàn)下定千，實(shí)上商置第一位得若干，下位亦置上商若干，名曰方法……”([9]，頁(yè)1308)，其中仍使用“別置一算”“實(shí)數(shù)之下”“實(shí)上”等用語(yǔ)，且在實(shí)數(shù)之下借一算用以定商位，“借算”有進(jìn)位變化，可見布算上是將各項(xiàng)從上至下排列，很大可能屬于籌算開方法。但傳統(tǒng)籌算開方法中又有“借算”的退位變化，或方廉隅的進(jìn)位或退位等變化，此方法中卻沒有，應(yīng)當(dāng)是一種簡(jiǎn)化后的新的籌算開平方法[10]。之后《統(tǒng)宗》先載有“開方求廉率作法本源圖”(2)《統(tǒng)宗》將“開方求廉率作法本源圖”置于開平方法的介紹之中，《說詳》也載有此圖，稱為“開方求廉率舊圖”([7]，頁(yè)628)，并將之置于對(duì)開方章的總體介紹之中。可見，《說詳》此處的調(diào)整更為合理。([9]，頁(yè)1309)，隨后列舉六例具體展示其珠算開平方法。其珠算商除開平方基本繼承自已有籌算開平方法，以“今有方田積七萬(wàn)一千八百二十四步，問平方一面若干”為例，用算盤展示其開平方運(yùn)算過程(表1)；用字母a，b，c分別代表初商、次商、三商(3)下文中的a，b，c均指代此含義，且文中a，b，c均不指代例解中的具體數(shù)字。，并用代數(shù)語(yǔ)言說明相應(yīng)的運(yùn)算程序(表2)。

①原文似因排版問題,最后部分皆為小字,今按其行文習(xí)慣改之。

圖1 賈憲“開方作法本源”

表2 程大位商除開平方法運(yùn)算程序

序號(hào)商實(shí)方法(廉法)隅法1aN-a2=N1a2a+bN1-(2a+b)b=N22ab3a+b+cN2-(2a+2b+c)c2a+2bc

根據(jù)表1和表2，其開平方法布算分商、實(shí)、方法(廉法)、隅法四項(xiàng)，按從左至右順序排列；使用了方法、廉法、隅法等術(shù)語(yǔ)；初商根據(jù)口訣求出，沒明確說明次商(或三商)如何求得，根據(jù)其算理，應(yīng)該是以2a(或2a+2b)為法數(shù)求出。其珠算開平方法對(duì)應(yīng)的代數(shù)式為：

(a+b+c)2=a2+(2a+b)b+(2a+2b+c)c

其中所使用系數(shù)2，實(shí)際是取自“開方求廉率作法本源圖”之平方率，最早可追溯至賈憲“開方作法本源”([11]，頁(yè)1416)(圖1)，即賈憲三角。在此之前的開平方法基本都采用此類方法，即借助開方作法本源中“平方”的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

結(jié)合術(shù)文作圖2展示《統(tǒng)宗》商除開平方法的幾何含義，其中圖2-(1)與《統(tǒng)宗》所載“一方四廉兩隅演段圖”基本相同。在此之前的商除開平方法也基本能用圖2展示其幾何含義，只是中間減去各項(xiàng)的順序不盡相同。

圖2 分解正方形展示《統(tǒng)宗》商除開平方法的幾何含義

1.2 《算海說詳》珠算開平方新增法

《說詳》在介紹具體開平方法之前，載有“開方算盤定位之圖”云：“左商位；積實(shí)居中，自左而右；右法位”([7]，頁(yè)629)，其后解釋中雖有“積實(shí)之下”的說明，但其實(shí)明確了在算盤中將商置于左，實(shí)置于中，法置于右。且沒有使用“借算”，沒有明顯籌算開方布算之特點(diǎn)。在這之后，《說詳》選取了《統(tǒng)宗》商除開平方例題中的兩例進(jìn)行介紹，例解中“舊法”與《統(tǒng)宗》所載基本相同，除此外，還新增了“商除本位開方法”，有歌訣如下：

商除本位開方法歌

商位開方法尤精，不用雙廉一隅稱。初商自呼除方積，次商呼初除積行。又用次商呼初次，除完廉隅皆在中。三商四商同一理，惟此省便易為功。([7]，頁(yè)630)

歌訣中明確此法不用“雙廉一隅”用語(yǔ)，且基本說明了其運(yùn)算程序。其后有一例與前引《統(tǒng)宗》開平方例題相同(此處略)，但解法不同。根據(jù)原術(shù)文，用算盤展示其開平方運(yùn)算過程，并用代數(shù)式表示出相應(yīng)的運(yùn)算程序(表3)。

表3 用算盤和代數(shù)式展示《算海說詳》“商除本位開方法”

續(xù)表3

根據(jù)表3，《說詳》開平方新增法布算分商、實(shí)兩項(xiàng)，盤面比較簡(jiǎn)潔；其術(shù)文與歌訣相對(duì)應(yīng)，沒有使用廉法和隅法兩用語(yǔ)，也沒有使用方法等用語(yǔ)，敘述比較簡(jiǎn)潔；初商根據(jù)口訣求得；沒明確說明次商(或三商)如何求出，根據(jù)其算理，或許是以a(或a+b)為法數(shù)求出。且此法與之前的開平方法在運(yùn)算程序上均有很大不同，乘減過程中需多次減去商數(shù)與相關(guān)項(xiàng)的乘積，對(duì)應(yīng)的代數(shù)式為：

(a+b+c)2=a2+ab+(a+b)b+(a+b)c+(a+b+c)c

運(yùn)算過程中沒有商數(shù)加倍，或在原數(shù)基礎(chǔ)上再加商數(shù)的步驟，不再借助開方作法本源中“平方”的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，在此之前未曾見過《說詳》新增珠算開平方法，也未見有類似的籌算開平方法。而且也不能以圖2解釋其開平方法的幾何含義，今另作圖3說明其幾何含義。

圖3 分解正方形展示李長(zhǎng)茂“商除本位開方法”的幾何含義

2 珠算開立方法的特點(diǎn)分析

2.1 《算法統(tǒng)宗》珠算開立方法

《統(tǒng)宗》共介紹了兩種珠算開立方法，介紹開立方法一之前首先載有“開立方法歌”：

自乘再乘除實(shí)積，三因初商方另列。次商遍乘名為廉，方法乘廉除次積。次商自再乘名隅，依數(shù)除積方了畢。初次三因又為方，三商徧乘仿此的。([9]，頁(yè)1321)

從歌訣判斷布算有商、實(shí)、方、廉、隅五項(xiàng)，其后“解曰”對(duì)口訣進(jìn)行了解釋和說明。書中同樣著有開立方初商口訣，還有對(duì)開立方法的一般說明：“法曰：置積為實(shí)，別置一算名曰下法，于實(shí)數(shù)之下自末位至首常超二位，約實(shí)千至九十余萬(wàn)俱定十。百萬(wàn)后俱定百。實(shí)上商置第一位得若干……”([9]，頁(yè)1322)，仍是從上至下排列各項(xiàng)，有“借算”，且“借算”有進(jìn)位變化，沒有方廉等的進(jìn)位或退位變化，可能也是一種新的籌算開立方法。其后共有四則例題，以“今有積一百九十五萬(wàn)三千一百二十五尺，問立方面若干”為例，用代數(shù)語(yǔ)言展示其珠算開立方運(yùn)算程序(表4)(4)其算盤運(yùn)算圖詳見文獻(xiàn)[12]。。

表4 程大位商除開立方法一之運(yùn)算程序

根據(jù)表4，《統(tǒng)宗》開立方法一實(shí)際布算為商、實(shí)、下法、方法、廉法、隅法六項(xiàng)，這點(diǎn)與“歌訣”所示略有不同；初商根據(jù)口訣而得，沒有明確說明次商(或三商)如何求出，據(jù)其算理推測(cè)，次商很可能是用3a與余實(shí)相商而得(見步驟2)，而三商很大可能是用3(a+b)與余實(shí)相商而得(見步驟4)；運(yùn)算時(shí)，先在余實(shí)中減去方法與廉法的乘積，然后求隅法的值，再?gòu)挠鄬?shí)中減去隅法。

上述運(yùn)算對(duì)應(yīng)的代數(shù)式是：

(a+b+c)3=a3+3a(a+b)b+b3+3(a+b)(a+b+c)c+c3

借助開方作法本源中“立方”的常數(shù)3，3進(jìn)行運(yùn)算。作圖4展示《統(tǒng)宗》開立方法一的幾何含義。

圖4 《統(tǒng)宗》珠算商除開立方法一對(duì)應(yīng)的幾何圖(5)因《統(tǒng)宗》開立方法一對(duì)應(yīng)的幾何圖形較復(fù)雜，這里僅展示其中求初商a和次商b時(shí)對(duì)應(yīng)的幾何圖。

除此之外，《統(tǒng)宗》在“開立方帶縱法”一條最后一題(該例題的立方積是3375尺，方面為15尺)的例解中，介紹了與之不同的開立方法(法二)：

法曰：置積三千三百七十五尺為實(shí)，以開立方法除之。古法用三為廉率。約實(shí)定位，從實(shí)末位尺，十尺定尺，百尺、千尺定十尺。初商一十于左，下法亦置初商一十，自乘得一百，再乘得一千，除實(shí)訖。余實(shí)二千三百七十五尺。卻以下法初商一十自乘得一百，用三因?yàn)榉椒āＳ忠猿跎桃皇?，以三因得三十為廉。次商五尺于左初商之次，下法亦置次商五尺，自乘得二十五尺為隅法。又以次商五尺乘廉三十得一百五十為廉法。并方法三百，廉法一百五十，隅法二十五，共四百七十五尺。皆與次商五尺相呼，四五除二，五七除三十五，五五除二十五，恰盡。得方面一十五尺。合問。([9]，頁(yè)1327)

《統(tǒng)宗》稱之為“古法”，又用珠算完成，或許在這之前就已有這種珠算商除開立方法。其布算仍為商、實(shí)、下法、方法、廉法、隅法六段，但方、廉、隅法的含義與珠算開立方法一中的不同；初商根據(jù)口訣求出，沒有說明次商如何求出，根據(jù)其算理，應(yīng)該是以3a2+3a為法數(shù)與余實(shí)相商而得，此運(yùn)算對(duì)應(yīng)的代數(shù)式為：

(a+b)3=a3+(3a2+3ab+b2)b

仍是借助開方作法本源中“立方”的常數(shù)3，3進(jìn)行運(yùn)算。作圖5展示《統(tǒng)宗》開立方法二的幾何含義。

綜上，《統(tǒng)宗》珠算商除開立方法一相比法二似乎是新法，但法一估商所用的法數(shù)比法二估商所用的法數(shù)要小，這會(huì)影響估商的正確性。而且兩方法中廉隅等術(shù)語(yǔ)的含義、運(yùn)算程序及對(duì)應(yīng)的代數(shù)、幾何含義各不相同。但它們的共同之處是，都是借助開方作法本源中“立方”的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，且在此之前都能找到相似的籌算開方法。

圖5 《統(tǒng)宗》珠算商除開立方法二對(duì)應(yīng)的幾何圖

2.2 《算海說詳》珠算開立方新增法

《說詳》也載有“開立方法歌”云：

立方之法要推詳，自乘再乘始初商。三因自乘面方法，三因初商三廉長(zhǎng)。次商又乘全廉闊，次商自乘隅法當(dāng)。合并三法次商乘，積余再商依次商。([7]，頁(yè)635)

明顯與《統(tǒng)宗》中“開立方法歌”不同，但與其開立方法二相對(duì)應(yīng)。其后“立方商法一方三平廉長(zhǎng)廉一隅圖”、例題并解法也與《統(tǒng)宗》開立方法二之圖示、例解等基本相同?！墩f詳》載第二種方法為“又立方問面法”，無(wú)歌訣，解法與《統(tǒng)宗》開立方法一基本相同。即《說詳》繼承了《統(tǒng)宗》的兩種珠算商除開立方法，并稱它們?yōu)椤芭f法”，但對(duì)兩算法的順序進(jìn)行了重新整理。

除此之外，《說詳》新增了一種開立方法，并載有“開立方捷法歌”：

捷法可求開立方，不用廉隅費(fèi)思量。初商再乘除方積，就約余積定次商。合并初次自乘訖，又用初乘初次商。再置初商亦自乘，三數(shù)總合次乘良。得數(shù)除積知方面，三商四商依樣詳。([7]，頁(yè)636)

其后例題與前引《統(tǒng)宗》“今有積一百九十五萬(wàn)三千一百二十五尺”相同，但解法不同，用算盤展示其開立方運(yùn)算過程(表5)，并用代數(shù)語(yǔ)言表示出相應(yīng)的運(yùn)算程序(表6)。

表5 用算盤展示李長(zhǎng)茂開立方捷法

續(xù)表5

①原文作“一”,今據(jù)算理校改為“二”。
②原文作“次”,今校改為“數(shù)”。

表6 《說詳》開立方新增法運(yùn)算程序

據(jù)表5和表6，《說詳》開立方新增法布算最多有五段；沒有使用方廉隅等術(shù)語(yǔ)；初商根據(jù)口訣求得；沒有說明次商和三商如何得出；每次乘減完成后，下一步都重新計(jì)算需要乘減的數(shù)。華印椿說其布算只有商、實(shí)、下法三段([2]，頁(yè)468)，但其實(shí)只用到了商、實(shí)、下法三個(gè)名稱，除了商、實(shí)兩項(xiàng)以外，實(shí)數(shù)右側(cè)參與運(yùn)算的各項(xiàng)均稱作“下法”，包含三段。舊法與增法各有千秋，但李長(zhǎng)茂自認(rèn)為他的新法克服了舊法的缺點(diǎn)，可以少“費(fèi)思量”，故自稱捷法。但他沒有說明次商和三商如何求得，這使得其開立方增法并不容易掌握和理解。

另外，上述運(yùn)算對(duì)應(yīng)的代數(shù)式是：

(a+b+c)3=a3+[(a+b)2+(a+b)a+a2]b

+[(a+b+c)2+(a+b+c)(a+b)+(a+b)2]c

可見《說詳》開立方新增法并未借助開方作法本源中的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，且在此之前未見有類似的珠算開立方法及籌算開立方法，也不能以圖4和圖5說明其幾何含義，另作其開立方新增法對(duì)應(yīng)的立體幾何圖(圖6)。

圖6 《說詳》開立方新增法對(duì)應(yīng)的幾何圖(6)因《說評(píng)》開立方法新增法對(duì)應(yīng)的幾何圖形較復(fù)雜，這里僅展示其中求初商a和次商b時(shí)對(duì)應(yīng)的幾何圖。

3 珠算開三乘方法的特點(diǎn)分析

3.1 《算法統(tǒng)宗》珠算開三乘方法

《統(tǒng)宗》沒有關(guān)于開三乘及以上方的條目或?qū)ｉT的記載，或許是因?yàn)檫@種算法不常用，也或許是因?yàn)橹樗汩_三乘方法比較困難，還沒有過專門的說明。該書“開立方帶縱法”一條第四題“今有(二)[三]乘方積二千零一十五萬(wàn)一千一百二十一尺，問一面若干”為唯一一則開三乘方例題，以之為例，用算盤展示其開三乘方法(表7)，并用代數(shù)語(yǔ)言說明其運(yùn)算過程(表8)。

表7 用算盤展示《統(tǒng)宗》開三乘方法

表8 用代數(shù)語(yǔ)言說明《統(tǒng)宗》開三乘方法運(yùn)算過程

據(jù)表7和表8，《統(tǒng)宗》開三乘方法布算分商、實(shí)、方法、上廉、下廉和隅法六項(xiàng)，術(shù)文中“下法常超三位”仍然采用籌算開方的習(xí)慣性說明，根據(jù)字面意思，指的是下法從實(shí)數(shù)最末一位往前超三位，也就是前進(jìn)四位約實(shí)數(shù)。即步驟1中的“下法”是指借算，有進(jìn)位變化，但此后再無(wú)借算的其他說明。后續(xù)步驟中的“下法”是指方廉隅等項(xiàng)，沒有關(guān)于位置的說明，因是珠算開方，可能放置于算盤之右側(cè)；但又因項(xiàng)數(shù)較多，也可能另置算盤進(jìn)行運(yùn)算。文中沒有說明初商或次商如何求得，根據(jù)其算理，次商或許是以4a3+6a2+4a作為法數(shù)與余實(shí)相商估算而得。該解法對(duì)應(yīng)的代數(shù)式為：

(a+b)4=a4+(4a3+6a2b+4ab2+b3)b

借助開方作法本源中三乘方的常數(shù)4，6，4進(jìn)行運(yùn)算。

其實(shí)此法與周述學(xué)《神道大編歷宗算會(huì)》(以下簡(jiǎn)稱《歷宗算會(huì)》)(1558)的一例解相似，其文曰“置積為實(shí)，別置一算名曰下法，從實(shí)尾數(shù)至首，常超三位，于萬(wàn)下定一十。置初商一十于左上……”[13]，運(yùn)算過程中沒有下法、方廉隅等的退位變化，并將初商放置在左上，很大可能是珠算開三乘方法。說明在此之前已有類似解法，且《歷宗算會(huì)》和《統(tǒng)宗》中的珠算開三乘帶從法也很相似[14]，可見兩書有不小的淵源。

此外，程大位還介紹了開三乘方的第二種方法：

一法用二次開平方法除之亦得。初一次，置積數(shù)為實(shí)，以開平方法除之，商得四千四百八十九尺。第二次，就以此初商數(shù)為實(shí)，亦以開平方法除之，即得一面六十七尺，合問。此又捷徑。([9，頁(yè)1327])

也就是用兩次開平方法求得，而朱載堉求12次方是經(jīng)過兩次開平方、一次開立方求得，開24次方是通過三次開平方，一次開立方求得。這說明對(duì)于開高次方來(lái)說，不論是籌算還是珠算，人們采用將高次方法化成低次方法是比較普遍的做法。

3.2 《算海說詳》珠算開三乘方新增法

與《統(tǒng)宗》不同的是，《說詳》單列“開三乘立方法”一條介紹珠算開三乘方法，但只有例題并解法，例題與前引《統(tǒng)宗》“今有三乘方積二千零一十五萬(wàn)一千一百二十一尺”同，“舊法”與前引《統(tǒng)宗》第二種方法相同，“又法”與前引第一種方法相似。但“又法”中，《說詳》沒有“下法常超三位”的說明，稱“置積為實(shí)于中，初商六十于左，下法亦置六十于右……”([7]，頁(yè)638)，明確說明各項(xiàng)從左至右排列，卻又沒有說明開三乘方之定商方法。

除了對(duì)《統(tǒng)宗》珠算開三乘方法的繼承，《說詳》中還給出了兩種不同于上述解法的珠算開三乘方法，分別稱為“增法”和“又增法”。首先用算盤展示《說詳》開三乘方“增法”(表9)，并用代數(shù)式展示其運(yùn)算過程(表10)。

表9 用算盤展示李長(zhǎng)茂開三乘方法“增法”

表10 《說詳》開三乘方“增法”的運(yùn)算程序

據(jù)表9和表10，此開三乘方法布算分商、實(shí)、法三項(xiàng)，但法數(shù)一項(xiàng)最多時(shí)包含4段數(shù)字；沒有“下法常超三位”等籌算痕跡；除了使用“小立方”“平廉”“長(zhǎng)廉”“隅法”等用語(yǔ)外，還使用了“小方平廉”“小方長(zhǎng)廉”“小方隅法”“平廉立闊”“長(zhǎng)廉橫闊”“長(zhǎng)廉立闊”等用語(yǔ)；沒有說明初、次商如何求得，誤差很大。根據(jù)其原術(shù)文可知，該解法是以分解幾何圖形來(lái)說明開4次方的運(yùn)算方法，中間步驟中的(a+b)3是相當(dāng)于開立方，所以文中多次用到小立方，以及開立方中用到的各種術(shù)語(yǔ)，如平廉、長(zhǎng)廉、隅法等。

該解法對(duì)應(yīng)的代數(shù)式如下：

(a+b)4=(a+b)(a+b)3=a(a+b)3+b(a+b)3
=a(a3+3a2b+3ab2+b3)+b(a+b)3
=a4+(3a2b+3ab2+b3)a+(a+b)3b

也就是不用開方作法本源中三乘方的常數(shù)4，6，4進(jìn)行開三乘方運(yùn)算，而是借助于開方作法本源中“立方”各項(xiàng)常數(shù)3，3進(jìn)行運(yùn)算。

除此之外，《說詳》還新增了另一種開三乘方法，用代數(shù)語(yǔ)言解釋其運(yùn)算過程(表11)。

表11 《說詳》開三乘方“又增法”的運(yùn)算過程

據(jù)表11，布算仍分商、實(shí)、法三項(xiàng)，但法數(shù)一項(xiàng)最多時(shí)也包含4段數(shù)字；沒有“下法常超三位”等籌算痕跡，但也沒有說明初商位的定商方法；運(yùn)算過程中不使用廉隅等用語(yǔ)，文字較前一種方法更簡(jiǎn)潔；沒有說明初、次商如何求得。

該解法對(duì)應(yīng)的代數(shù)式如下：

其中

圖7 《歷宗算會(huì)》“開三乘方圖[13]”

對(duì)應(yīng)的是李長(zhǎng)茂不用廉隅開立方法的代數(shù)式。不借助開方作法本源中的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。在此之前，未見有類似的籌算開三乘方法和珠算開三乘方法。

求次商及其后各商是開方法特別是開高次方中的重中之重，李長(zhǎng)茂新增的兩則開三乘方法均沒有說明次商如何求得，而且運(yùn)算過程并不簡(jiǎn)捷，特別是第2種方法需要計(jì)算多個(gè)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法運(yùn)算，還需要進(jìn)行歸法(即除法)運(yùn)算，增加了運(yùn)算難度。

開平方可以用分割正方形的方法表示之，開立方可以用分割正方體的體積表示之，中國(guó)古代有些算學(xué)家也對(duì)四次方圖形進(jìn)行了描述，如楊輝《詳解九章算法》中稱“三度相乘，其狀匾直”([11]，頁(yè)1426)，然現(xiàn)存書中沒有此圖。周述學(xué)《歷宗算會(huì)》給出了開三乘方立體圖形(圖7)進(jìn)行說明。《說詳》則稱“三乘者，立方之上再加高，如窖深之類是也”，但都不能反映其真實(shí)情況。《統(tǒng)宗》介紹“三乘方”稱“其形不知如何模樣，只是取數(shù)而已?！?[9]，頁(yè)1309)其實(shí)在三維空間中，三乘方形不可能用類似圖7中的幾何體來(lái)表示，而開三乘方在現(xiàn)實(shí)生活中也難以找到直觀的原型[15]。清初梅文鼎就曾指出前人在乘方方面的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，并說：“三乘方以上不可為圖，諸書有強(qiáng)為之圖者，非也。[16]”可見中國(guó)古代有些算學(xué)家對(duì)此缺乏正確的認(rèn)識(shí)。

4 《算法統(tǒng)宗》與《算海說詳》珠算開方法的比較分析

為便于分析，將《統(tǒng)宗》珠算商除開方法分別與《說詳》新增法的特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比研究(表12)。

表12 《統(tǒng)宗》開方法與《說詳》開方新增法的特點(diǎn)分析

根據(jù)表12，我們得出：(1)《統(tǒng)宗》珠算商除開平方法與《說詳》新增相比，有以下共同點(diǎn)：皆為橫式排列；必有商、實(shí)兩項(xiàng)；初商依據(jù)口訣求出；沒有說明次商和三商如何求得。不同之處在于，《統(tǒng)宗》開平方法使用四段數(shù)字布算，《說詳》則使用兩段數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算；《統(tǒng)宗》開平方法使用方廉隅等用語(yǔ)，《說詳》新增法未使用此類用語(yǔ)；《統(tǒng)宗》開平方法借助開方作法本源中平方之常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，《說詳》新增法則沒有。(2)《統(tǒng)宗》珠算商除開立方法與《說詳》新增法相比，有以下共同點(diǎn)：皆為橫式排列，必有商、實(shí)、下法三項(xiàng)，初商依據(jù)口訣求得，沒有說明次商和三商如何求得。不同之處在于，《統(tǒng)宗》兩種開立方法使用六段數(shù)字布算，《說詳》則使用五段數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算；《統(tǒng)宗》兩種開立方法皆使用方廉隅等用語(yǔ)，而《說詳》新增法并未使用此類用語(yǔ)；《統(tǒng)宗》兩方法皆借助開方作法本源中立方各項(xiàng)常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，《說詳》則沒有。(3)《統(tǒng)宗》珠算商除開三乘方法與《說詳》新增法相比，有以下共同點(diǎn)：必有商、實(shí)、法三項(xiàng)，且最多有六段數(shù)字；沒有說明初、次商如何求得。不同之處在于，《統(tǒng)宗》開三乘方法布算時(shí)有借算，且借算有進(jìn)位、無(wú)退位變化，《說詳》新增兩種方法布算時(shí)都沒有借算一項(xiàng)；《統(tǒng)宗》開三乘方法使用方廉隅等用語(yǔ)，《說詳》“又增法”未使用此類用語(yǔ)；《統(tǒng)宗》開三乘方法借助開方作法本源中三乘方各項(xiàng)常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，《說詳》“增法”借助開方作法本源中立方各項(xiàng)常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，其“又增法”則未借助開方作法本源中常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

結(jié)合前文分析，我們還發(fā)現(xiàn)，《統(tǒng)宗》除載有珠算開方法外，還載有籌算開方新法，體現(xiàn)了籌算開方到珠算開方的過渡狀態(tài)，《說詳》則基本沒有籌算開方布算之特征?！墩f詳》新增法與《統(tǒng)宗》珠算開方法相比，其代數(shù)和幾何含義都與之不同，在《統(tǒng)宗》珠算開方法之前，都能找到與之相似的籌算開方法，但在《說詳》之前，未見與其珠算開方增法相似的籌算開方法?！墩f詳》中有些新增開方法，在布算和敘述上比《統(tǒng)宗》開方法簡(jiǎn)潔，當(dāng)是在《統(tǒng)宗》珠算商除開方法的基礎(chǔ)上，為簡(jiǎn)化運(yùn)算過程而對(duì)整個(gè)運(yùn)算程序進(jìn)行的改進(jìn)。但從代數(shù)含義以及該方法的操作性來(lái)分析，《說詳》有些新增法并不比《統(tǒng)宗》的便捷。

此外，從珠算開三乘方的發(fā)展可以看出，由于其復(fù)雜性，由籌算商除開高次方法到珠算商除開高次方法的過渡不如珠算開平方、開立方等容易。如《統(tǒng)宗》對(duì)開三乘方的運(yùn)算說明雖然明確各項(xiàng)從左至右排列，但是仍借用一算并以“下法常超三位”的方式定商數(shù)的位數(shù)?！墩f詳》則沒有說明開三乘方之定商方法，后來(lái)，梅瑴成在《增刪算法統(tǒng)宗》中對(duì)“下法常超三位”有“即合四位為一段，乃定位之法”[17]的注解，才比較清楚的說明了珠算開三乘方定初商之法。可見，珠算開三乘方法的發(fā)展更加緩慢。

5 結(jié)語(yǔ)

一般認(rèn)為，珠算開方由籌算開方發(fā)展而來(lái)，后又完成了從珠算商除開方法到珠算歸除開方法的過渡，這從《統(tǒng)宗》中能得到很好的印證。明代以前的珠算商除開方法基本都能找到與之對(duì)應(yīng)或相似的籌算開方法，且無(wú)論開方法如何發(fā)展，其共同點(diǎn)都是借助開方作法本源中的常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。但在以《統(tǒng)宗》為底本寫成的《說詳》一書中，卻新增了一些珠算商除開方法，它們?cè)谶\(yùn)算程序上發(fā)生了很大變化，且在這之前無(wú)法找到與之對(duì)應(yīng)或相似的籌算開方法。

通過對(duì)《統(tǒng)宗》與《說詳》中商除開方法的分析，我們發(fā)現(xiàn)，《說詳》在繼承《統(tǒng)宗》原有珠算開方法的基礎(chǔ)上，刪除了一些內(nèi)容，保留了具有代表性的例題，對(duì)開方章中的內(nèi)容進(jìn)行了新的總結(jié)、分類和研究，對(duì)其中一些開方內(nèi)容還進(jìn)行了重新編排，比《統(tǒng)宗》更有條理性。且《說詳》開方法已基本沒有籌算開方的特征?！墩f詳》新增開方法與《統(tǒng)宗》原有方法相比，前者有些方法在布算和敘述上更加簡(jiǎn)潔，如《說詳》開平、立方增法的布算項(xiàng)數(shù)都比《統(tǒng)宗》少，所置數(shù)字更少，因此盤面看起來(lái)更簡(jiǎn)潔；除了開三乘方“增法”，其他開方增法都不再使用方廉隅等用語(yǔ)。且其新增法在運(yùn)算方法上有大的改革和創(chuàng)新，即《說詳》創(chuàng)造了不借助開方作法本源中常數(shù)的開平方、開立方、開三乘方法，以及借助開方作法本源中立方之常數(shù)的開三乘方法。這些發(fā)明反映了開方法從借助開方作法本源中常數(shù)到不借助開方作法本源中常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的發(fā)展過程。

但需要說明的是，《說詳》新增開方法并非都是簡(jiǎn)便的，沒有運(yùn)算歌訣或通用的解法說明，從其運(yùn)算程序來(lái)看，不如借助開方作法本源中常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)有規(guī)律可循。其中很多方法沒有說明如何求得次商及以后各商。且依據(jù)其算理可以發(fā)現(xiàn)，有些方法在求次商或三商之時(shí)借助的法數(shù)太小，存在估商困難、容易造成很大誤差及影響運(yùn)算效率等缺點(diǎn)。另外，《說詳》對(duì)開方法的論述還有一大特點(diǎn)，即幾乎都是用分解幾何圖形的方式闡釋其運(yùn)算過程或算理，但對(duì)于開三乘方法來(lái)說，現(xiàn)實(shí)生活中并不存在他所描述的幾何圖形。

致 謝本文為筆者博士論文的一部分，承蒙導(dǎo)師鄒大海研究員的精心指導(dǎo)，謹(jǐn)此致謝！同時(shí)感謝審稿專家和編輯部老師提出的寶貴意見！