江 南 曲安京

(1.西北大學(xué)科學(xué)史高等研究院，西安 710127；2.西安石油大學(xué)理學(xué)院，西安 710065)

分形幾何的創(chuàng)立是繼非歐幾何誕生之后，幾何學(xué)發(fā)展史上的又一次重大革命。作為現(xiàn)代非線性科學(xué)的三大研究課題之一，分形幾何學(xué)亦被稱為真正描述大自然的幾何學(xué)。自相似性是分形幾何最本質(zhì)的特征，它在分形幾何乃至數(shù)學(xué)中均具有舉足輕重的地位。分形幾何學(xué)家法爾科內(nèi)(K.J.Falconer，1952—)在分形名著《分形幾何:數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和應(yīng)用》中專門用自相似性給出了分形的描述性定義。如他在書中描述道：

F(分形)通常有某種自相似性，可能是近似的或是統(tǒng)計(jì)的。([1]，頁20)

與自相似相關(guān)的一些問題和歷史研究，國內(nèi)外學(xué)者已有所涉獵[1—6]。例如，王世進(jìn)在論文“分形理論視野下的部分與整體研究”中，從分形的視角詳細(xì)論述了自相似性的哲學(xué)意義[2]；分形幾何創(chuàng)始人芒德勃羅(B.B.Mandelbrot，1924—2010)則在著作《大自然的分形幾何》中，簡要闡述了自相似思想的發(fā)展梗概([3]，頁73)。但對于自相似理論怎樣形成？如何發(fā)展？以及對分形幾何創(chuàng)立的影響？目前尚沒有系統(tǒng)的研究。有鑒于此，本文將以史實(shí)考據(jù)為基礎(chǔ)，對上述問題進(jìn)行深入探討，以期對自相似理論的形成和發(fā)展歷程給出較為系統(tǒng)的梳理。

1 自相似思想緣起

相似是一個(gè)古老的概念，作為經(jīng)典的數(shù)學(xué)名詞，它有著形象的幾何表征，即：如果兩個(gè)圖形形狀相同，大小不一定相等，則稱它們相似。相似思想產(chǎn)生較早，在美索不達(dá)米亞的楔形文字碑文里曾出現(xiàn)了許多關(guān)于三角測量問題，這些問題中已暗含著相似的思想。另外，所有圓在當(dāng)時(shí)被理所當(dāng)然地認(rèn)為是相似的([7]，頁21—39)。在中國古代，相似一詞最早出現(xiàn)在《易·系辭上》：“與天地相似”([8]，頁464)。意思是說(道理)和天地的規(guī)律相似。這里的相似主要側(cè)重于哲學(xué)意義上的相類或相像。相似主要是研究客觀物體之間的結(jié)構(gòu)和形式的特征，它要求客觀物體在結(jié)構(gòu)上相同且相應(yīng)量成比例。自相似作為相似的一種特殊情形，它則要求客觀物體的部分和整體在空間形態(tài)和結(jié)構(gòu)上存在某種相似性，側(cè)重于研究客觀物體自身的部分和整體之間的性質(zhì)。

部分和整體的關(guān)系是自相似思想的核心，整體由部分組成，部分是整體的組成要素。人類對宇宙和自然界的認(rèn)識一般也是從部分開始，然后通過部分認(rèn)識整體，整體的性質(zhì)和規(guī)律存在于各部分的相互聯(lián)系和相互作用中。自相似思想可追溯至遙遠(yuǎn)的古希臘時(shí)代，希臘哲學(xué)家德謨克利特(Democritus，460 BC—370 BC)在探討物質(zhì)結(jié)構(gòu)問題時(shí)，提出了原子論思想。他認(rèn)為萬物的本原是原子，原子是最后一種不可分割的物質(zhì)微粒，一切整體都由離散的原子組成，并以此為基礎(chǔ)提出“人是一個(gè)小宇宙”的命題。同為希臘哲學(xué)家的亞里士多德(Aristotle，384 BC—322 BC)在2000多年前也專門討論過部分和整體的關(guān)系，并得出“整體大于部分之和”的哲學(xué)論斷([2]，頁40)。亞里士多德和德謨克利特上述思想的萌發(fā)均蘊(yùn)含著樸素的自相似思想。

在中國古代也有關(guān)于自相似思想的詳細(xì)闡述。如《九章算術(shù)注》中，劉徽在對“陽馬”無限分割時(shí)指出：“雖方隨棋改，而固有常然之勢也”。這里的“而固有常然之勢”就是對分割后的部分“子棋”與整體“母體”之間自相似現(xiàn)象的精確論述。另外，在一些哲學(xué)和醫(yī)學(xué)書籍中也有關(guān)于自相似思想的介紹。如《周易》中的“無極而太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”；《道德經(jīng)》中的“天下萬物生于有，有生于無。道生一，一生二，二生三，三生萬物。萬物負(fù)陰而抱陽，沖氣以為和”；《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的“耳者，宗脈之所聚也，五臟六腑之津液盡上滲于目”；以及古代哲學(xué)中的“一沙一世界，一花一天國；袖里有乾坤，壺中有日月”等([9]，頁97)。上述例子中的整體和部分關(guān)系，體現(xiàn)了自相似思想的原始本真形態(tài)。

雖然在古代數(shù)學(xué)、哲學(xué)、醫(yī)學(xué)等問題中均論及了自相似思想，不過它們在論述上都比較含蓄婉約。萊布尼茨(G. W. Leibniz， 1646—1716)是第一個(gè)直接地給出自相似思想框架的數(shù)學(xué)家，他開啟了自相似思想理論化的進(jìn)程。17世紀(jì)末，他在試圖嚴(yán)格化歐幾里得公理時(shí)給出了如下表述：

我有直線的好幾個(gè)定義。直線是一條曲線，它的每一部分都與整體相似。不僅在曲線，而且在集合當(dāng)中，只有它有這個(gè)性質(zhì)。([3]，頁419)

萊布尼茨不僅從直線形狀的角度陳述了自相似性的本質(zhì)特征，他還在著作《單子論》中專門指出，世界的每一個(gè)小部分都精確地具有大部分的復(fù)雜程度和組織方式，這已和現(xiàn)今的自相似思想基本一致，但較為抽象。法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家拉普拉斯(P. S. Laplace， 1749—1827)也從物理學(xué)的角度給出過類似思想，他在1842年出版的《宇宙體系論》中寫道：

(牛頓)引力的一個(gè)重要性質(zhì)是，如果宇宙中所有物體之間的距離和速度大小成比例地增加或減小，則軌跡會與它們當(dāng)前的軌跡完全相似；因而，縮小到可以想象的最小空間中的宇宙，對于觀測者而言總是呈現(xiàn)出同樣的現(xiàn)象。([3]，頁420)

綜上可知，自相似思想已在古代和近代的數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。但由于這些應(yīng)用中所涉及的自相似思想大都較為抽象，萊布尼茨關(guān)于直線自相似性的描述雖然開啟了自相似思想理論化的進(jìn)程，但沒有改變自相似思想的抽象性，所以在理解和傳播上存在著一定困難，也難以形成統(tǒng)一的理論。為了將抽象的思想具體化，尋找更具體的自相似集來幫助理解就成了數(shù)學(xué)家們?yōu)橹Φ哪繕?biāo)。

2 幾種經(jīng)典的自相似集

自相似性是分形最本質(zhì)的特征，因此分形集在一定程度上也可稱為自相似集。自相似集和自相似理論一脈相承，自相似集是自相似理論形成的前提和基礎(chǔ)，自相似理論是自相似集的發(fā)展和延續(xù)。故而探討一些經(jīng)典自相似集的由來將有助于厘清自相似理論的形成和發(fā)展過程。

2.1 康托爾三分集

十九世紀(jì)后半葉，隨著分析嚴(yán)格化和實(shí)數(shù)完備化的逐漸深入，為了徹底弄清無限的本質(zhì)，德國數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor，1845—1918)率先創(chuàng)立了集合論。1883年，他在研究一個(gè)三角級數(shù)的不收斂點(diǎn)集時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)完備但處處不稠密的病態(tài)集合。這個(gè)集合構(gòu)造步驟如下：第一步，選取一個(gè)單位區(qū)間，將其三等分，去掉中間1/3部分，留下由2個(gè)長度為1/3的區(qū)間組成的集合；第二步，把留下集合的兩個(gè)區(qū)間繼續(xù)三等分，再分別都去掉中間的1/3部分，留下由4個(gè)長度為1/9的區(qū)間組成的集合；第三步，按照上述方法，重復(fù)n次后，得到由2n個(gè)長度為1/3n的區(qū)間組成的集合，將n取極限，最終得到的集合就是康托爾三分集[10]。

從康托爾三分集的構(gòu)造可知，這個(gè)完備但處處不稠密的病態(tài)集合由無窮多個(gè)非均勻分布的點(diǎn)組成，局部和整體彼此相似。作為分形早期的經(jīng)典例子，它是第一個(gè)呈現(xiàn)出顯著自相似特征的自相似分形集。但由于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們關(guān)注的重點(diǎn)集中在研究三角級數(shù)的不收斂點(diǎn)集和無限集理論，致使康托爾三分集的自相似性未受到應(yīng)有的重視。那么，什么集合的出現(xiàn)才使得自相似性受到關(guān)注呢？

2.2 科赫曲線

科赫曲線就是使得自相似性第一次受到關(guān)注的自相似集合。為了徹底搞清連續(xù)性和可微性之間的關(guān)系，魏爾斯特拉斯在黎曼等數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，利用無窮級數(shù)求和法構(gòu)造了一個(gè)病態(tài)函數(shù)——魏爾斯特拉斯函數(shù)[11]。這是一個(gè)連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，構(gòu)造上相當(dāng)復(fù)雜繁瑣。為了改進(jìn)這種構(gòu)造方式，瑞典數(shù)學(xué)家科赫(H.V.Koch，1870—1924)在1904年發(fā)表的論文“在初等幾何中構(gòu)造一條沒有切線的連續(xù)曲線”中，用較為簡潔的程序成功構(gòu)造了一條基于幾何直觀表示且處處不可微的連續(xù)曲線。構(gòu)造步驟如下：第一步，將單位區(qū)間三等分；第二步，以中間一段為底邊作等邊三角形，并將等邊三角形的底邊用它的另外兩邊代替，得到由四條邊組成的折線；第三步，對折線的四條邊再分別三等分，取中間一段為底邊，向上作等邊三角形，再去掉底邊，得到由八條邊組成的折線；按此步驟無限操作下去，所得折線的極限就是科赫曲線[12]。由于這條曲線的構(gòu)造極為簡單，而且具有很強(qiáng)的幾何直觀感，所以科赫在論文中評論道：

我所發(fā)現(xiàn)的曲線是這篇論文的主題，它通過一個(gè)非常簡單的幾何構(gòu)造來定義。我相信任何人都能夠通過“天真的直覺”看出它不可能有切線。([13]，頁681)

科赫曲線誕生后很快就引起了數(shù)學(xué)家們的興趣，意大利數(shù)學(xué)家切薩羅(E.Cesro，1859—1906)在論文發(fā)表后的第二年就專門撰文進(jìn)行了評論。在評論中他不僅對這條曲線大加贊賞，還第一次提煉出了整體與部分的相似性，亦即自相似性。如他所言：

這條曲線最使我注意的地方是任何部分都與整體相似。要想盡可能完全地想象它，必須意識到這個(gè)結(jié)構(gòu)中的每個(gè)小三角形包含著以一個(gè)適當(dāng)比例縮小的整體的形狀。這個(gè)形狀包含每一個(gè)小三角形的縮小形式，后者又包含縮得更小的整體形狀，如此下去以至無窮……，無論怎樣小的部分都保持相似特征，就是這個(gè)特征使曲線看上去如此奇妙。([14]，頁2)

2.3 其它經(jīng)典的自相似集

切薩羅的評論足以看出，這條曲線的產(chǎn)生給數(shù)學(xué)家們帶來了驚喜，然而更重要的是它讓我們能更形象直觀地了解了自相似的本質(zhì)特征。為了將科赫曲線的奇妙性質(zhì)由低維推廣到高維，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(W.Sierpiński，1882—1969)在1915年構(gòu)造了具有嚴(yán)格自相似性的謝爾賓斯基三角形[15]。因其形狀像地毯，所以又被稱為謝爾賓斯基地毯。1926年，維也納學(xué)派的澳大利亞籍?dāng)?shù)學(xué)家門格爾(K.Menger，1902—1985)在科赫和謝爾賓斯基的啟發(fā)下，從立體的視角構(gòu)造另一著名自相似分形集門格爾海綿[16]，這是一個(gè)內(nèi)部幾乎被掏空的自相似立方體。

事實(shí)上，除了這些經(jīng)典的自相似集之外，在現(xiàn)實(shí)生活中還存在著很多自相似現(xiàn)象。例如用斐波那契數(shù)列描述兔子繁殖、樹枝生長和花瓣數(shù)目等問題，黃金分割在晶體結(jié)構(gòu)、海浪漩渦和宇宙中行星間距離等自然現(xiàn)象中的表現(xiàn)，以及對數(shù)螺線的延申、海岸線的分布和黑夜中的閃電等等。上述例子均呈現(xiàn)了部分和整體之間的嚴(yán)格自相似或近似自相似特征，可見自相似性在大自然中有著極其廣泛的應(yīng)用。眾所周知，自相似只不過是相似的一種特殊類型，但它卻在分形的產(chǎn)生過程中扮演著重要的角色，這在很大程度上歸因于自相似理論的形成。

3 自相似理論形成

3.1 萊維對自相似性質(zhì)的系統(tǒng)剖析

康托爾集和科赫曲線是部分與整體相似的自相似集，但由于它們產(chǎn)生的初衷都是為了解決各自領(lǐng)域中的有關(guān)問題，因此數(shù)學(xué)家們均未意識到這種整體和部分相似特征的重要性。直到切薩羅撰文對科赫曲線進(jìn)行評論，自相似性才逐漸進(jìn)入了數(shù)學(xué)家們的視野。謝爾賓斯基和門格爾進(jìn)一步給出了基于二維平面和三維立體的兩個(gè)自相似集，不過尚未對自相似的本質(zhì)性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)研究。法國數(shù)學(xué)家萊維(P.Lévy，1886—1971)在這個(gè)問題的研究上做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，他在1938年發(fā)表的題為“由部分和整體相似組成的平面或空間的曲線和曲面”的論文中詳細(xì)探究了自相似的相關(guān)性質(zhì)[17]。

對于科赫曲線、謝爾賓斯基三角形和門格爾海綿的自相似性，萊維之前的數(shù)學(xué)家僅局限在現(xiàn)象的描述上，尚未觸及隱藏在現(xiàn)象后面的本質(zhì)，即自相似性的數(shù)學(xué)特征。萊維在回顧科赫和切薩羅等前人的工作后，從相似概念入手逐步對自相似的性質(zhì)加以剖析。他在論文第一部分首先引入?yún)?shù)，然后用數(shù)學(xué)語言給出了直接相似的精確概念，如他在論文中定義道：

對于相似概念，過去一般通過物體形狀進(jìn)行宏觀描述，而萊維則在這個(gè)定義中利用兩段弧中點(diǎn)和點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系給出了相似的微觀分析。在這個(gè)分析鋪墊下，他進(jìn)一步定義了自相似曲線C的階數(shù)。即如果任意一條曲線C能夠被分解成P段弧，且每一段弧都與整條曲線相似，則稱該曲線的階數(shù)為P。此外，他還將曲線C中的每一段弧再細(xì)分為與初始曲線相似的P段弧。循壞重復(fù)n次上述過程后，他得到了pn段與初始曲線均相似的更短弧。按照這個(gè)思路，他在論文中采用逆向思維方式對曲線C描述如下：

可以通過對有限值n取極限得到構(gòu)造曲線C的定義，折線段Γn來自于對(初始線段)的n次作用，……，曲線C存在的充要條件是它可以被描述為折線段族Γn的極限。([17]，頁185)

萊維隨后指出，如果曲線在上述定義中的相似是直接的，用C0表示；如果相似并不直接，但所有相似類型都相同，則用C'表示；另外，他還用C1表示在相似上保持方向不變的C'曲線。在這些理論的鋪墊下，他給出了科赫曲線基于階數(shù)的另一種全新刻畫：

科赫曲線是一條階數(shù)為2的C1曲線，它也可以被當(dāng)成是階數(shù)為4的C0曲線。([17]，頁203)

在科赫曲線原始構(gòu)造方式的啟發(fā)下，萊維通過引入?yún)?shù)和階數(shù)等數(shù)學(xué)概念，將自相似特征由宏觀的語言描述上升為微觀的數(shù)學(xué)分析。另外，他還明確指出曲線C任意小的部分都與整條曲線相似，這類曲線C在分形幾何中稱為萊維曲線(Lévy Curve)，這些工作使得自相似的數(shù)學(xué)本質(zhì)愈加清晰。討論完曲線C的一般性質(zhì)后，萊維還將研究拓廣到二維平面上和三維空間中。對于二維平面，他研究了曲線C上每一點(diǎn)的性質(zhì)及與其相關(guān)的面積測度，重點(diǎn)討論了由與整體相似的兩個(gè)對稱部分組成的特殊類型曲線。對于三維空間，他在參數(shù)化思想的指引下，將上述理論由曲線推廣到曲面，還給出了自相似曲面的一個(gè)簡單例子：

讓我們首先給出一個(gè)簡單例子，從一個(gè)等邊三角形Σ0開始，將它分解為四個(gè)相等三角形，用一個(gè)底部在中間三角形上的規(guī)則四面體的其它三個(gè)面替代這個(gè)中間三角形。因此三角形Σ0被一個(gè)均相似于Σ0的六個(gè)三角形組成的曲面Σ1取代，曲面以Σ0的邊界為界。按照這個(gè)方法循環(huán)重復(fù)，通過迭代Σ1中每一個(gè)三角形，可以得到一個(gè)極限曲面，它由相似于整體的六個(gè)部分組成。我們稱它為一個(gè)階數(shù)為六的自相似曲面。([17]，頁233)

在階數(shù)為六的自相似曲面的基礎(chǔ)上，萊維進(jìn)一步定義了階數(shù)為P的曲面S。曲面S由相似于整個(gè)曲面的P個(gè)部分組成，它在構(gòu)造上與前述曲線C完全類似。至此，萊維由曲線到曲面，由低維空間到高維空間，對自相似性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)剖析。借助數(shù)學(xué)思想和方法，他將自相似現(xiàn)象由具體演繹到抽象，由現(xiàn)象深化到本質(zhì)，由特殊推廣到一般。但仍留下了一些遺憾，如集合論在當(dāng)時(shí)已經(jīng)相當(dāng)成熟，但他卻沒有將集合論的思想融入自相似理論的研究。

此外，萊維作為“分形之父”芒德勃羅的老師，對芒德勃羅創(chuàng)立分形幾何有著直接的影響。1944—1947年，芒德勃羅在巴黎綜合工科學(xué)院師從萊維學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)理論和方法，自然對老師的工作爛熟于胸。他在深刻領(lǐng)悟老師的思想之后，進(jìn)一步將之發(fā)揚(yáng)光大，把分?jǐn)?shù)維數(shù)理論和自相似理論結(jié)合，從而最終創(chuàng)立了分形幾何學(xué)，并使自相似性成為分形幾何最基本的特征之一。

3.2 莫蘭對自相似集概念的嚴(yán)格定義

豪斯多夫測度存在的意義在于集合的測度值是正有限的，所以尋找使得集合的豪斯多夫測度大于零的充要條件就顯得尤為重要。澳大利亞數(shù)學(xué)家莫蘭(P.A.P.Moran，1902—1985)在1946年發(fā)表了一篇題為“積分的可加函數(shù)和豪斯多夫測度”的論文，在這篇論文的定理1中，他指出豪斯多夫測度大于零的充要條件由某一個(gè)可加函數(shù)積分的存在性決定，并給出了嚴(yán)格的證明。運(yùn)用這個(gè)定理，他還估計(jì)出了幾種不同類型集合的維數(shù)，其中最重要的一類集合就是他首次定義的自相似集，如在論文的定理2中所述：

由上述定理可知，所有部分Ei的和組成有界閉集E這個(gè)整體，并且每一個(gè)部分Ei均與整體E相似，因而該集合具有自相似性，集合E就稱為自相似集，這是運(yùn)用集合思想對自相似現(xiàn)象最早的數(shù)學(xué)描述。不難看出，這類集合是康托爾三分集、科赫曲線、謝爾賓斯基三角形的抽象和提煉。上述定理只給出自相似集最簡單的形式，為了增強(qiáng)它的普適性，莫蘭在論文的定理3中繼續(xù)沿用這一方法將它推廣至更復(fù)雜的情形：

在定理2的基礎(chǔ)上，定理3將自相似集的產(chǎn)生脈絡(luò)由有限推廣至無限，由簡單推廣至復(fù)雜，由特殊推廣至一般。莫蘭在研究區(qū)間的可加函數(shù)和豪斯多夫測度時(shí)，將集合論與自相似現(xiàn)象結(jié)合，給出了清晰的自相似集概念，從而初步形成了自相似理論的雛形。這比萊維在自相似理論的研究上又更進(jìn)了一步。不過，稍顯遺憾的是莫蘭只從純數(shù)學(xué)的角度提出了自相似集，還尚未將它與大自然界中的現(xiàn)象聯(lián)系，進(jìn)行更深入地分析。那么，誰將自相似理論與大自然中的現(xiàn)象結(jié)合？這個(gè)結(jié)合又會產(chǎn)生怎樣的影響？

4 自相似理論發(fā)展

4.1 統(tǒng)計(jì)自相似性

1967年，美籍法裔數(shù)學(xué)家芒德勃羅在權(quán)威期刊《科學(xué)》(Science)上發(fā)表了一篇題為“大不列顛的海岸線有多長”的劃時(shí)代論文。他在論文中以海岸線長度問題為突破口，引出了分?jǐn)?shù)維數(shù)和統(tǒng)計(jì)自相似性兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，并指出嚴(yán)格意義上的自相似圖形在大自然界中其實(shí)是很少見的，但統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性圖形卻可以經(jīng)常碰到，海岸線形狀就是這種特殊類型圖形的典型代表[19]。為此，他對統(tǒng)計(jì)自相似性描述如下：

如果曲線的每一部分可以被認(rèn)為是整體統(tǒng)計(jì)意義上縮小的像，這意味著曲線具有統(tǒng)計(jì)自相似性，描述海岸線形狀的曲線正是與這類曲線密切相關(guān)的一個(gè)例子。([20]，頁636)

這個(gè)對統(tǒng)計(jì)自相似性的描述從海岸線形狀模型中引申而出，相比經(jīng)典歐氏幾何的模型，它顯得更加貼近自然，并使得自相似理論又從純數(shù)學(xué)問題回新到了實(shí)際問題。對這個(gè)描述性定義理解的關(guān)鍵在于“統(tǒng)計(jì)”一詞，而要把它詮釋清楚，則需要借助一些數(shù)學(xué)工具。因此，芒德勃羅在論文中繼續(xù)分析道：

一個(gè)平面圖形的隨機(jī)選擇暗含著幾種定義。首先選取出一簇可能的形狀，通常用Ω來表示。當(dāng)這族圖形包含有限成員時(shí)，隨機(jī)選擇的規(guī)則是通過每一個(gè)圖形可能被選取的確切概率來指定。([20]，頁637)

概率和隨機(jī)性的引入使得統(tǒng)計(jì)自相似性的描述更加清晰，從而進(jìn)一步充實(shí)和完善了自相似理論。自相似理論作為分形幾何的核心內(nèi)容，對它進(jìn)行深入探究將有效地推動分形幾何的創(chuàng)立。事實(shí)證明，八年后芒德勃羅以這篇論文的思想為基礎(chǔ)，用法文出版了第一本分形幾何專著《分形對象：形、機(jī)遇和維數(shù)》，他在書中系統(tǒng)地闡述了包含自相似理論在內(nèi)的分形理論的內(nèi)容、思想、方法和意義，標(biāo)志著分形幾何的誕生[21]。

4.2 不變集理論和迭代函數(shù)系

如何精準(zhǔn)構(gòu)造一個(gè)分形，一直以來是數(shù)學(xué)家們努力解決的問題。能否用簡潔的數(shù)學(xué)語言描述分形，則是數(shù)學(xué)家們?yōu)橹畩^斗的目標(biāo)?？低袪柸旨?、科赫曲線和謝爾賓斯基三角形等一些典型的自相似分形均是先通過給出一個(gè)初步的模型，再按照這個(gè)模型進(jìn)行無限次重復(fù)迭代得到。由于這樣的構(gòu)造過程過于繁瑣，因此給數(shù)學(xué)家們帶來了巨大的麻煩。在集合論思想尚未引入之前，想要簡化步驟并用精煉的語言描述幾乎不可能，莫蘭在集合論思想的指引下定義了自相似集的初始概念，但他的研究重點(diǎn)是豪斯多夫測度的存在性，因而未對自相似理論深入研究。芒德勃羅從具體的海岸線長度問題出發(fā)，將自相似性應(yīng)用到實(shí)際問題中，他關(guān)注的重點(diǎn)則在模擬海岸線具體形狀上，也未對自相似理論進(jìn)一步探析。真正徹底解決這個(gè)問題的數(shù)學(xué)家是哈欽森(J.E.Hutchinson，1946—)，他在1981年發(fā)表了一篇題為“分形和自相似性”的論文。論文中，他通過引入壓縮映射集(Contraction Map Sets)，研究集合的不變測度(Invariant Measure)，最終得到了與之對應(yīng)的不變集(Invariant Set)，亦即自相似分形，成功運(yùn)用簡潔的數(shù)學(xué)語言描述了分形。

“分形和自相似性”這篇論文的核心在于如何構(gòu)造不變集，不變集的構(gòu)造又與嚴(yán)格的自相似集密切相關(guān)，而自相似集的嚴(yán)格化則需要借助更深刻的集合論思想。為了嚴(yán)格定義集合的不變性，哈欽森在自相似集的嚴(yán)格化過程中，借助緊集(Compact Set)和壓縮映射的數(shù)學(xué)思想，對集合的不變性定義如下：

哈欽森稱上述定義中的緊集K為不變集。通過定義可知，不變集K由有限集ζ來確定，而有限集ζ的組成元素是N個(gè)壓縮映射。事實(shí)上，若給定由N個(gè)壓縮映射元素組成的有限集ζ，則存在唯一對應(yīng)于ζ的不變緊集K。上述定義的核心思想確定了緊集K與它自身在N個(gè)壓縮映射Si作用下的像的關(guān)系，即若緊集K與N個(gè)壓縮映射Si作用它之后所成的像相等，則稱它是不變的。然而，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)并非易事，必須對壓縮映射Si具有的性質(zhì)和壓縮映射Si對應(yīng)的空間限定相應(yīng)的條件。為此，哈欽森在論文中限定道：

哈欽森在限定條件中明確指出，壓縮映射所對應(yīng)的空間必須是完備度量空間。隨后，他引入迭代思想嚴(yán)格證明了不變集K的存在性和唯一性。證明中，他強(qiáng)調(diào)不變集K是一些固定點(diǎn)組成的集合的閉包，這些固定點(diǎn)來自于從有限集ζ中選取p個(gè)壓縮映射作用于不變集K。哈欽森進(jìn)一步舉例說明，康托爾三分集可以由兩個(gè)壓縮映射元素組成的壓縮映射集來確定。類似地，科赫曲線、謝爾賓斯基三角形和門格爾海綿等一些自相似分形集也可以通過選取合適的壓縮映射集來確定。哈欽森通過與“壓縮映射集”對應(yīng)的不變集精確地描述了自相似分形集，解決了自相似分形集長期以來難以使用簡潔的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述的難題。至此，自相似理論在哈欽森的促進(jìn)下，繼續(xù)得到了完善和發(fā)展。

壓縮映射集是描述自相似分形集的關(guān)鍵，它由有限或無限多個(gè)壓縮映射元素組成。由于這些元素都是數(shù)學(xué)中的映射(函數(shù))，將這些函數(shù)作用到指定集合上，并進(jìn)行無限次迭代，最終就可以得到自相似分形集。上述壓縮映射集后來被巴恩斯利(M.Barnsley，1946—)等人在1985年發(fā)表的論文“迭代函數(shù)系和分形的整個(gè)構(gòu)造”中稱為迭代函數(shù)系(Iterated Function System)，并沿用至今。迭代函數(shù)系是構(gòu)造自相似分形集一個(gè)行之有效的方法[23]。正如巴恩斯利等人在描述自然界中一些植物和樹葉的模型時(shí)說道：

憑借在自然界中經(jīng)常出現(xiàn)的分支結(jié)構(gòu)中的自相似性，迭代函數(shù)系提供了某一種蕨類植物和樹葉的模型。([24]，頁2)

迭代函數(shù)系不僅是描述自相似分形集最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它還是分形圖像壓縮技術(shù)的基礎(chǔ)理論。巴恩斯利后來將計(jì)算機(jī)技術(shù)融入了迭代函數(shù)系理論的研究，創(chuàng)造了分形圖像壓縮技術(shù)，并取得巨大成功，推動了自相似理論在具體實(shí)際問題中的應(yīng)用。

5 結(jié)語

自相似性是分形理論中最重要的性質(zhì)，也是分形特征中最本質(zhì)的特征。它的核心思想是局部形態(tài)相似于整體形態(tài)，或者從整體中割裂出來的部分能夠完全體現(xiàn)出整體的基本性質(zhì)。自相似思想可追溯至遙遠(yuǎn)的古代，但一直未形成嚴(yán)格的理論體系。直到17世紀(jì)后半頁，萊布尼茨基于直線特征開啟了自相似思想理論化的進(jìn)程，康托爾、科赫和謝爾賓斯基等人則在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，從純數(shù)學(xué)的角度構(gòu)造了具體的自相似集。在參數(shù)思想的指引下，萊維在1938年通過引入曲線階數(shù)和面積測度等數(shù)學(xué)概念，對自相似性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)剖析。1946年，莫蘭在研究豪斯多夫測度時(shí)，將集合論融入自相似性研究，定義了清晰的自相似集，形成了自相似理論的雛形。受此啟示，芒德勃羅在1967年引入統(tǒng)計(jì)自相似性，模擬了復(fù)雜的海岸線形狀。他還在1980年利用計(jì)算機(jī)繪制了以他名字命名的集合，該集合完美呈現(xiàn)了局部和整體的相似特征，被譽(yù)為“上帝的指紋”。1981年，哈欽森在自相似集的基礎(chǔ)上定義了不變集，發(fā)展了自相似理論。1985年，巴恩斯利將壓縮映射集稱之為迭代函數(shù)系，并將迭代函數(shù)系與計(jì)算機(jī)技術(shù)融合，創(chuàng)造了分形圖像壓縮技術(shù)，進(jìn)一步推動了自相似理論的發(fā)展和應(yīng)用。