李 娜， 高雷阜， 王 磊

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 葫蘆島 125105；2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

0 引言

多屬性決策(MADM)是指具有多個(gè)屬性的有限方案排序和選擇問(wèn)題，其理論與方法在經(jīng)濟(jì)、管理、工程和軍事等諸多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[1]。趙萌等[2]利用相對(duì)熵替代經(jīng)典TOPSIS方法中距離，將其應(yīng)用到MADM領(lǐng)域，Navarrete等[3]提出了一種AQM(Alternative queuing method)決策方法。由于受客觀環(huán)境的復(fù)雜性、決策者的專(zhuān)業(yè)水平以及知識(shí)結(jié)構(gòu)等因素的影響，決策者難以給出精確的屬性值信息，往往用模糊數(shù)(FS)[4]，直覺(jué)模糊數(shù)(IFS)[5]或者區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)(IVIFS)[6]表示。IVIFS是對(duì)IFS的擴(kuò)展，在模糊不確定信息的表達(dá)和處理方面更具有實(shí)用性。王堅(jiān)強(qiáng)[7]給出了一種權(quán)系數(shù)信息不完全確定的區(qū)間直覺(jué)模糊決策方法，徐澤水[8]提出新的IVIFS的得分函數(shù)和精確函數(shù)，并應(yīng)用到區(qū)間直覺(jué)模糊MADM領(lǐng)域，衛(wèi)貴武[9]將經(jīng)典的TOPSIS決策方法擴(kuò)展到區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境，高建偉等[10]基于前景理論給出了一種區(qū)間直覺(jué)模糊決策方法，邵良杉等[11]在區(qū)間直覺(jué)模糊信息下提出了雙向投影決策方法。

考慮到實(shí)際決策過(guò)程中，受到環(huán)境的復(fù)雜和人的認(rèn)知等因素的影響，決策者可能給出方案滿足和不滿足一個(gè)屬性的程度之和大于1 的情況，例如：評(píng)價(jià)軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，對(duì)于技術(shù)可行性這個(gè)屬性，決策者給出具有這個(gè)屬性的程度為0.5，而不具有這個(gè)屬性的程度可能為0.6，由于，直覺(jué)模糊數(shù)無(wú)法描述，但0.52+0.62=0.61<1為此，Yager提出了Pythagorean模糊集[12,13]其特點(diǎn)是隸屬度與非隸屬度之和可以大于1，但隸屬度與非隸屬的平方和小于等于1，可見(jiàn)Pythagorean模糊集是對(duì)直覺(jué)模糊集的一種擴(kuò)展，因此，在處理模糊性和不確定性信息方面具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力。在Pythagorean模糊環(huán)境下，Zhang等[14]提出一種擴(kuò)展的TOPSIS決策方法，Garg[15]提出了基于Einstein集結(jié)算子的MADM方法，Ren等[16]提出了Pythagorean模糊TODIM多屬性決策方法，Zhang[17]提出了Pythagorean模糊層次QUALIFLEX決策方法，劉衛(wèi)鋒等[18]提出了一些廣義Pythagorean模糊信息集結(jié)算子(PFOWA算子、GPFOWA算子、PFOWG算子、GPFOWG算子)并將其應(yīng)用到的MADM領(lǐng)域。正如IVIFN是對(duì)IFN的擴(kuò)展，區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)(IVPFN)是對(duì)Pythagorean模糊數(shù)的擴(kuò)展。Peng等[19]提出了擴(kuò)展的區(qū)間Pythagorean模糊ELECTRE決策方法，Liang等[20]利用偏差最大化方法確定屬性權(quán)重，并提出了基于區(qū)間Pythagorean模糊加權(quán)平均算子的決策方法。

以上文獻(xiàn)研究表明，區(qū)間Pythagorean模糊MADM問(wèn)題研究還有待完善。鑒于此，本文研究屬性值為IVPFN，屬性權(quán)重不完全確定的MADM問(wèn)題。將相對(duì)熵與IVPFN結(jié)合，給出一種新的與理想方案的相對(duì)滿意度，進(jìn)而確定屬性權(quán)重。提出一種新的IVPFN得分函數(shù)，據(jù)此確定每一個(gè)屬性下方案間的優(yōu)序關(guān)系及0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣，結(jié)合屬性權(quán)重和AQM (Alternative Queuing Method)方法計(jì)算各方案的綜合度，給出排序結(jié)果。最后，將此方法應(yīng)用于軟件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目的選擇。

1 區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)及相對(duì)熵

1.1 區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)

1.2 相對(duì)熵

相對(duì)熵可以描述兩個(gè)系統(tǒng)的差別，設(shè)A,B為兩個(gè)系統(tǒng)，它們的狀態(tài)為xi和yi(i=1,2,…,l)，則兩個(gè)系統(tǒng)之間相對(duì)熵[21](Kullback-Leibler距離)為

M(A(xi),B(xi))

(1)

相對(duì)熵不滿足對(duì)稱性，它不是兩個(gè)系統(tǒng)間的真正距離。然而，將相對(duì)熵視為兩個(gè)系統(tǒng)間的距離可以解決TOPSIS法無(wú)法克服兩方案中垂線上點(diǎn)的排序問(wèn)題[2]。在(1)式的基礎(chǔ)上，下面給出IVPFN的相對(duì)熵。

(2)

2 基于相對(duì)熵的區(qū)間Pythagorean模糊信息下AQM決策方法

2.1 決策問(wèn)題描述

2.2 屬性權(quán)重的確定

實(shí)際決策過(guò)程中，往往屬性權(quán)重信息不完全已知。 借鑒TOPSIS思想，如果某個(gè)方案與正理想方案區(qū)別越小(或者與負(fù)理想方案區(qū)別越大)，則相應(yīng)的權(quán)重就應(yīng)該越大，反之則越小。由(2)式相對(duì)熵可視為兩者之間的距離，因此，依據(jù)方案與區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案的相對(duì)熵越小相應(yīng)權(quán)重越大的思想來(lái)確定屬性權(quán)重。

(3)

(4)

(5)

和

(6)

分別為方案Yi與Y+和Y-的加權(quán)相對(duì)熵。

H(Yi,Y+)反映了方案Yi與正理想方案Y+的差別，H(Yi,Y-)反映了方案Yi與負(fù)理想方案Y-的差別。由TOPSIS思想，某方案與正理想方案的相對(duì)熵越小，則該方案越優(yōu)。記

(7)

為方案Yi的相對(duì)滿意度。

相對(duì)滿意度越大的方案應(yīng)賦予越大的權(quán)重，反之亦然。為此，建立如下多目標(biāo)優(yōu)化模型

max (ξ1(ω),ξ2(ω),…,ξm(ω))

(8)

Ω為屬性權(quán)重信息不完全的數(shù)學(xué)表達(dá)式集合。根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化理論，模型(8)可轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)優(yōu)化模型

(9)

模型(9)為有約束的非線性優(yōu)化模型，由于目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的混合懲罰函數(shù)法或可行方向法均很難獲得非劣解，可采用軟件Matlab 7.0或Lingo 9.0求解獲得權(quán)重。

2.3 區(qū)間Pythagorean模糊信息下的AQM決策方法

AQM方法是Navarrete等于1979年提出的一種決策方法，其核心思想是利用0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣給出方案的排序[22]。

在確定方案集{Y1,Y2,…,Ym}在每一屬性下的0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣前，需要給出任意方案Yi與Yj的序。猶豫度也是IVPFN的重要指標(biāo)，已有的IVPFN的得分函數(shù)[19]沒(méi)有考慮猶豫度的影響，為此考慮猶豫度對(duì)排序的影響，提出一種新的IVPFN得分函數(shù)。

(10)

(11)

利用式(11)得分函數(shù)，可構(gòu)造方案間的0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣D=(dij)m×m，如果Yi?Yj，那么dij=1，且dji=0；如果Yi≈Yj，那么dij=dji=1；如果Yi與Yj不能比較，那么dij=dji=0。 于是，區(qū)間Pythagorean模糊信息下AQM決策步驟如下：

步驟3依據(jù)式(2)至式(9)確定屬性權(quán)重ω=(ω1,ω2,…,ωn)T。

步驟4計(jì)算每一屬性下方案Yi優(yōu)于Yj、Yj優(yōu)于Yi以及Yi與Yj無(wú)差別的權(quán)重：

對(duì)于方案Yi與Yj，在第k(k=1,2,…,n)個(gè)屬性下，令(Yi?Yj)k表示方案Yi優(yōu)于Yj，令(YiYj)k表示方案Yj優(yōu)于Yi，令(Yi≈Yj)k表示方案Yi與Yj無(wú)差異。由下式計(jì)算方案Yi優(yōu)于Yj的權(quán)重：

(12)

類(lèi)似的方法可計(jì)算方案Yj優(yōu)于Yi的權(quán)重ω(YiYj)和方案Yi與Yj無(wú)差異的權(quán)重ω(Yi≈Yj)。

步驟5計(jì)算所有方案對(duì)(Yi,Yj)的總體指示值

(13)

其中，σ表示Yi與Yj的重要度，且σ∈[0,1]。

步驟6給定閾值ε>1，計(jì)算方案{Y1,Y2,…,Ym}在所有屬性下的總序關(guān)系

(14)

由式(14)得到所有屬性下方案間的合成0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣D=(dij)m×m。

步驟7根據(jù)合成0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣D=(dij)m×m計(jì)算每個(gè)方案Yi(i=1,2,…,m)的綜合度

λi=ρi-θi

(15)

其中，ρi為D=(dij)m×m的第i行元素為1的個(gè)數(shù)，θi為第i行元素為0的個(gè)數(shù)。綜合度λi的值越大，方案Yi(i=1,2,…,m)越優(yōu)，依據(jù)λi得到所有方案的排序，從而得到最佳方案。

3 實(shí)例分析

步驟1區(qū)間Pythagorean模糊決策矩陣如表1所示。

表1 區(qū)間Pythagorean模糊決策矩陣

表2 得分函數(shù)矩陣

步驟2利用式(11)計(jì)算得分函數(shù)矩陣，如表2所示。

根據(jù)表2計(jì)算屬性Gj下方案{Y1,Y2,…,Y5}間的0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣Dj=(dkl)5×5(j=1,2,…,4),結(jié)果如下：

步驟3利用表1的數(shù)據(jù)，構(gòu)建形如式(9)模型，利用軟件Matlab 7.0求得屬性權(quán)重ω=(0.30,0.22,0.25,0.23)T。

步驟4利用式(12)計(jì)算方案Yi優(yōu)于Yj的權(quán)重ω(Yi?Yj)，以及權(quán)重ω(YiYj)和ω(Yi≈Yj)，結(jié)果如表3所示：

表3 方案間的序及對(duì)應(yīng)的權(quán)重

步驟5利用式(13)計(jì)算所有方案對(duì)(Yi,Yj)的總體指示值(取σ=0.5)，如表4所示：

表4 σ=0.5時(shí)的總體指示值

步驟6利用式(14)計(jì)算(取ε=1.11)所有方案間的合成0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣D=(dij)5×5。

步驟7根據(jù)式(15)計(jì)算每個(gè)方案的綜合度：λ1=5,λ2=-1,λ3=3,λ4=1,λ5=-3,由此可知，λ1>λ3>λ4>λ2>λ5,即方案排序結(jié)果為：Y1?Y3?Y4?Y2?Y5，表明電子郵件開(kāi)發(fā)項(xiàng)目Y1為最佳選擇。

為了分析決策過(guò)程中參數(shù)重要度σ和閾值ε對(duì)決策結(jié)果的影響，分別取(σ,ε)=(0,1.1),(0.2,1.1),(0.4,1.4),(0.6,1.6),(0.8,1.8),(1.0,2.0),通過(guò)計(jì)算方案的綜合度，并將綜合度和排序結(jié)果列入表5，如表5所示。

表5 6種參數(shù)組合下各方案的綜合度和排序結(jié)果

由此可知：

(1)按照文獻(xiàn)[20]中的區(qū)間Pythagorean模糊加權(quán)平均算子(IVPF-WAA)，假設(shè)屬性權(quán)重為ω=(0.30,0.20,0.25,0.23)T，并利用得分函數(shù)得到排序結(jié)果：Y1?Y3?Y4?Y2?Y5, 與表5中當(dāng)參數(shù)(σ,ε)=(0,1.1),(0.2,1.1),(0.4,1.4)時(shí)完全一致，說(shuō)明本文的決策方法是合理可行的；

(2)按照文獻(xiàn)[19]中的ELECTRE方法,得到的排序結(jié)果：Y1?Y3?Y4?Y5?Y2，與本文的排序結(jié)果略有不同，但最佳選擇都是項(xiàng)目Y1。其原因，文獻(xiàn)[19]是在屬性權(quán)重信息完全未知情形下，利用距離測(cè)度構(gòu)建偏差最大化模型求解權(quán)重，而本文是在屬性權(quán)重信息不完全已知情形下，利用相對(duì)熵測(cè)度構(gòu)建相對(duì)滿意度最大化模型求解權(quán)重，同時(shí)也說(shuō)明參數(shù)(σ,ε)的變化對(duì)決策結(jié)果具有重要影響。

4 結(jié)論

本文研究了屬性權(quán)重不完全確定的區(qū)間Pythagorean模糊多屬性決策問(wèn)題，提出了IVPFN的相對(duì)熵、區(qū)間Pythagorean模糊正理想方案及區(qū)間Pythagorean模糊負(fù)理想方案的概念，依據(jù)方案與區(qū)間Pythagorean模糊正理想的相對(duì)熵越小權(quán)重越大的原則，建立了基于方案相對(duì)滿意度優(yōu)化模型，以此獲得屬性權(quán)重；接著，提出了一種新的IVPFN得分函數(shù)，據(jù)此獲得了方案間的序關(guān)系以及每一個(gè)屬性下方案間的0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣，進(jìn)一步，對(duì)經(jīng)典AQM決策方法進(jìn)行擴(kuò)展得到方案間的合成0-1優(yōu)先關(guān)系矩陣，依據(jù)方案的綜合度獲得了方案的排序結(jié)果。最后用實(shí)例說(shuō)明了該方法的有效性和可行性。