江蘇省吳縣中學 (215151) 唐俊濤

利用函數(shù)圖像解決函數(shù)相關的值域、單調性、零點問題在高考和各地模擬考試中已經屢見不鮮，而解決這類問題的本質就應該是準確的畫出函數(shù)所對應的“草圖”.有了精確的“草圖”，函數(shù)中相應的問題就都能夠迎刃而解了.

但是在具體解題過程中，學生解題的受阻點往往就是在如何能夠“簡單精確”的畫出函數(shù)的“草圖”.我們的課堂教學有時因為受到教學進度的影響，在函數(shù)圖像教學環(huán)節(jié)可能不夠深入，講解的不夠透徹，導致學生對此類問題研究的不深入、不透徹、不全面.

在一次學校組織的月考中有一道填空題：“函數(shù)y=2x-1,x∈(-∞,2],則該函數(shù)的值域為.”本人執(zhí)教的兩個班級該題的得分并不是很理想，這樣的分數(shù)與出題者的原本預期有著很大的出入，深入了解后究其原因，發(fā)現(xiàn)問題出在多數(shù)學生在解決該問題時雖然都是從圖像作為切入點，但是作圖時往往畫的很“草”，沒有抓住函數(shù)圖像的“細節(jié)”—漸近線，導致從圖像上看函數(shù)值域時出現(xiàn)了偏差，本題其實就是將學生熟知的指數(shù)函數(shù)y=2x整體向下平移1個單位，但是指數(shù)函數(shù)y=2x本身是有一條漸進線，它與x軸重合了，平日作圖時學生不需要單獨再添加，可是在將該函數(shù)向下平移時，漸近線也應該同時向下平移，所以必須獨立添加，不可忽視.但是此時學生往往壓根兒沒有考慮到，所以最終得到了錯誤的結果(-∞,3],而非正確答案(-1,3].

既然發(fā)現(xiàn)了問題，找到了“惹禍”的根源，那么接下來就必須“痛定思痛”，反思我們的教學，幫助學生減少或者避免這些無謂的失分.可是在教材上雖然在反比例函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正切函數(shù)都已經涉及到了漸進線，但是并沒有真正意義上的完善漸進線的概念，究其緣由可能是由于現(xiàn)在的教材淡化了極限的內容，所以課堂上教師的教學與學生的學習基本上只是從圖像上去直觀的感受，這也就導致了學生對漸進線理解不到位，沒有達到“數(shù)形統(tǒng)一的境界”.可是在平時的練習、考試中、甚至在高考題中，都會有漸近線的出現(xiàn)，所以教師在教學中還是要對漸近線加以強化，從而避免在這一“細節(jié)”方面出現(xiàn)無謂的失分.

筆者將常見函數(shù)的漸近線做了一下匯總，希望能得到專家的指點：

一、反比例函數(shù)的漸近線

反比例函數(shù)是初中所熟知的基本初等函數(shù)之一，函數(shù)有兩條漸近線分別為x、y軸，而在高中階段所涉及的反比例函數(shù)往往會將其進行平移，在平移過程中學生就會將原有的漸近線忽略掉，從而導致在判斷值域或函數(shù)零點的時候出現(xiàn)問題.

例1 (2017年南京高三一模)設函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時,f(x)=

圖1

圖2

二、指對數(shù)函數(shù)的漸近線

這里所謂的“指對數(shù)型”函數(shù)其實是將指對數(shù)函數(shù)進行一系列的平移變換后得到的新的函數(shù)，在平移過程中同樣也一定要注意原函數(shù)中漸近線的變化.

圖3

三、含絕對值函數(shù)的漸近線

含絕對值的函數(shù)在平時練習中也是經常會出現(xiàn)的，模擬練習中含絕對值的函數(shù)往往需要學生更加認真的觀察，從而去畫出準確的“草圖”.

例4 已知f(x)=|xex|,g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=-1的x有四個值，則t的取值范圍為.

圖4

解析：g(x)=-1中可通過換元：f(x)=m，先將該方程轉化為二次方程：m2+tm+1=0，此二次方程的根m決定了最終能有幾個x，所以同時也需要做出函數(shù)f(x)=

|xex|的圖像，求導后易得

本題易錯點是在當x→-∞時，y→0，從而挖掘出漸近線，學生在解題過程中往往看到(-∞,-1)為單調減，函數(shù)圖像就是從-∞往下“走”.這樣處理本題就遇到了“易錯點”，而當x→-∞時，函數(shù)值涉及了極限的思想，教師可以讓學生代入具體的數(shù)據(jù)從而直觀感受函數(shù)值的趨勢，這樣就可以讓學生了解x軸其實就是該函數(shù)的漸近線.

同時解題過程中也可以讓學生自行概括函數(shù)漸近線的求法：(1)當x→-∞時，y→c(常數(shù))，則y=c就是函數(shù)的一條水平漸近線；(2)當x→c(常數(shù))時，y→±∞，則x=c是函數(shù)的一條垂直于x軸的漸近線.

四、分式函數(shù)的漸近線

分式函數(shù)在處理時必須遵循定義域先行的原則，把分母不為零作為研究函數(shù)的首要原則，分母為零反映到圖像上對應的是x=x0這樣的一條漸近線.

例5 (2016年全國卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(1)求a的取值范圍；(2)略.

解析：此題方法較多，筆者重點選擇介紹漸近線在這題中的應用：

圖5

(法二)令(x-2)ex+a(x-1)2=0,(x-2)ex=-a(x-1)2，令g(x)=(x-2)ex利用導數(shù)求得g(x)單調區(qū)間：(-∞,1)為減，(1,+∞)為增，且當x→-∞時，y→0，所以函數(shù)存在漸近線y=0.令函數(shù)h(x)=-a(x-1)2，如要使得f(x)有兩個零點，即g(x)與h(x)要有兩個交點，所以可得a∈(0,+∞).

類似的題目在我們平時考試過程中應該會常見，如：

例6 (2017年蘇州高二期末考試)對于函數(shù)f(x)，若其定義域內存在兩個不同的實數(shù)x1,x2,使得xif(xi)=1(i=1,2)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質P，若函數(shù)f(x)=aex具有性質P，則實數(shù)a的取值范圍為.

圖6

由上述這些練習可以知道，漸近線在我們平時的數(shù)學練習中反復出現(xiàn)，存在就有存在的意義、價值，所以我們要把它研究透徹，研究細致.從另一方面講，漸近線其實不可怕，可怕的是我們沒有具備發(fā)現(xiàn)、挖掘它的一雙“慧眼”，而這雙“慧眼”并不是與生俱來，是需要通過不斷的訓練而慢慢養(yǎng)成的.