三對角線型及其變形行列式的算法

張海濤

（山西大同大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山西大同 037009）

行列式的出現(xiàn)已有300余年歷史,它的大多數(shù)功能在當今線性代數(shù)中雖然已被矩陣運算代替,然而它的技巧性強,形式漂亮,所以在各類考試中屢有出現(xiàn)[1-3]。行列式的計算,尤其是各類特殊形式的n階行列式,難度偏大,不宜掌握。給出其中一類三對角線及其變化之后的形式的計算。

1 三對角線型行列式的算法

三對角線型行列式：行列式的主對角線線上元素與主對角線上方和下方第一條次對角線上元素不全為零,而其余元素全為零，稱其為三對角線型行列式。

此類行列式的計算通常有如下方法：

方法1：化為上（下）三角行列式，即把主對角線下（上）方的元素全部消為零。

例1計算

解化為上三角行列式

方法2：數(shù)學歸納法，首先介紹兩種數(shù)學歸納法。

第一數(shù)學歸納法：設有一個與自然數(shù)有關的命題，如果

1)當n=1時，命題成立；

2）假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

有時用第一數(shù)學歸納法證明命題，僅用歸納假設“n=k時命題成立”，還不能證明命題成立，它要求有更強的歸納假設，這就是第二數(shù)學歸納法。

第二數(shù)學歸納法：設有一個與自然數(shù)有關的命題，如果

1)當n=n0時，命題成立(n0具體定)；

2)假設n≤k時，命題成立，證明n=k+1時命題也成立。

應用第二數(shù)學歸納法證明三對角線型行列式時，困難在于第二步，解決的關鍵是靈活應用假設，一般常常按照某一行或列展開，求出遞推公式后計算。

例2用數(shù)學歸納法證明

證明當n=2時cos 2α,結論成立。

假設n≤k時結論成立，下面證明n=k+1時結論也成立。

記左端的行列式為Dn，按照最后一行展開，得到Dk+1=

2 cosα·Dk-Dk+1,由假設,Dk-1=cos(k-1)α,Dk=coskα得到Dk+1=2 cosαcoskα-(coskαcosα+sinkαsinα)=coskαcosα-sinkαsinα=cos(k+1)α。

由數(shù)學歸納法可知,對一切大于或等于1的自然數(shù)命題成立。

方法3:遞推法

大多數(shù)三對角型行列式，如果各行（列）所含元素結構相同，均可使用遞推法計算。先用展開式或拆項等方法，將原行列式表成兩個低階同型行列式的線性關系，再用遞推公式及某些低階行列式的值求出僅用一個相鄰的行列式表示原行列式的關系式，在此基礎上用遞推法求出或證明所需結果。

例3計算行列式

解按照第一列展開，有

所以

因此

所以

故A＝(n+1)an。

2 三對角線型變型變形行列式的計算

爪型或箭型都可歸為三對角型變形行列式。計算此類行列式的基本方法有化成上（下）三角形行列式，第一數(shù)學歸納法，遞推歸納法，展開法。

例4行列式

解當ai≠0(i=1,2,…,n)時，將新行列式的第i+1列乘以后都加到第一列，得到

當ai=0(i=1,2,…,n)時，顯然D=0。

三對角線型及其變形行列式的計算方法中，每道題的解法不唯一，仔細觀察，盡量選擇相對較簡單的解法。