劉惠籃 明浩

摘 要：《應用回歸分析》是統(tǒng)計專業(yè)本科生的必修課程，編程能力也是統(tǒng)計專業(yè)學生所需具備的一項專業(yè)技能。本文，基于統(tǒng)計軟件R，比較LS（最小二乘）與LPRE（最小乘積相對誤差）估計。一方面強調學生R編程能力，另一方面通過隨機模擬分析，讓學生進一步理解高斯馬爾科夫定理。

關鍵詞：LPRE估計 LS估計 R軟件 應用回歸分析

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2019）01-0016-02

1 引言

《應用回歸分析》是一門重要的本科生專業(yè)課，線性模型是一類重要的回歸模型。LS估計是線性模型中最重要的估計之一。同時高斯馬爾科夫定理保證了LS估計在一定的條件下（高斯馬爾科夫條件），是最小方差線性無偏估計。

R軟件是一種統(tǒng)計軟件，由于其完全免費性，及強大作圖能力，受到廣大統(tǒng)計工作者的喜愛。通過學習統(tǒng)計軟件，能讓學生更加靈活的處理實際問題。理論與實際相結合，能夠讓學生更好的理解課程中的知識點。

本文通過編寫函數(shù)，隨機模擬，比較LS估計與LPRE估計的表現(xiàn)。可以提高學生對R軟件的使用能力，加強學生對高斯馬爾科夫定理的理解。

2 模型簡介

線性模型是回歸分析中最重要的一類模型，其結構如下：

Y=Xβ+ε （1）

其中，Y是n×1維因變量，X是n×p維自變量樣本矩陣，β是p×1維未知參數(shù)，ε是n×1隨機誤差向量。

現(xiàn)實中，有些響應變量的取值范圍是非負的，此時如果仍用線性模型對數(shù)據(jù)進行分析，是不合理的。對模型可考慮使用乘積模型，形式如下：

Y=exp（Xβ）+ε （2）

其中，Y是n×1維非負因變量，X是n×p維自變量樣本矩陣，β是p×1維未知參數(shù)，ε是n×1維非負隨機誤差向量。

Chen等（2016）在最小化乘積相對誤差（LPRE）的思想下，考慮了乘積模型的參數(shù)估計問題。具體來說，需要求取，使得

達到最小。通過簡單計算可得：

LPRE（β）

由于最后一項與β無關，因此可以考慮最小化以下的目標函數(shù)：

LPRE（β）=Yiexp（-Xiiβ） +Yi-1exp（Xiiβ）-2

以上的LPRE函數(shù)是關于的非線性且無限次可微函數(shù)。R軟件中的nlm函數(shù)，可用于求解多元變量非線性函數(shù)的極小值點。編寫LPRE函數(shù)：

LPRE=function（X，Y）{

n=nrow（X）；p=ncol（X）

c=lm（log（Y）～X+0）$coeff

obj=function（t）{

sum（Y*exp（-X%*%t）+（1/Y）*exp（X%*%t））

}

beta=nlm（obj，c）$estimate

# Reporting

result = list（betahat=beta）

return（result）

}

觀察模型（2），兩邊同時取對數(shù)，可以得到如下線性模型：

logY=Xβ+logε （3）

該模型的響應變量為logY，隨機誤差為logε，其中ε是正的隨機誤差向量。對于線性模型（3），我們可以得到其LS估計：

=（XTX）-1XT（logY）

3 數(shù)值比較

我們考慮如下的乘積模型，設置樣本量為30，自變量的維數(shù)為3，參數(shù)β的真實值為（3，1.5，2），每一個自變量都來源于隨機產生的標準正態(tài)分布隨機數(shù)，且隨機誤差是來自于[0.5，1.608]上的均勻分布隨機數(shù)（保證E（ε）=E（ε-1），此條件為LPRE估計滿足漸近正態(tài)性所需條件）。有了以上的數(shù)據(jù)，就可以得到乘積模型中Y的值。

為了比較說明LPRE方法和LS方法的效果，我們重復試驗500次，記錄下兩種方法的MSE，相關代碼如下：

n=30；p=3；beta=c（3，1.5，2）

X=matrix（，n，p）；Y=rep（0，n）；epsion=rep（0，n）

MSE_LPRE=0；MSE_LS=0

BetaLPRE=matrix（，500，p）

BetaLS=matrix（，500，p）

for（a in 1：500）{

for（j in 1：p）{

X[，j]=rnorm（n）

}

epsion=runif（n，0.5，1.608）

Y=exp（X%*%beta）*epsion

BetaLPRE[a，]=LPRE（X，Y）$betahat

BetaLS[a，]=lm（log（Y）～X+0）$coeff

MSE_LPRE=as.vector（t（as.vector（BetaLPRE[a，]）-beta）%*%（as.vector（BetaLPRE[a，]）-beta））+MSE_LPRE

MSE_LS=as.vector（t（as.vector（BetaLS[a，]）-beta）%*%（as.vector（BetaLS[a，]）-beta））+MSE_LS

}

得到LPRE方法和LS方法500次模擬的平均MSE分別為：

> MSE_LPRE/500

[1] 0.01199179

> MSE_LS/500

[1] 0.01226336

通過比較可以發(fā)現(xiàn)， LPRE估計的MSE（0.01199）小于LS估計的MSE（0.01226），也就是說，在這種情況下，LPRE估計的效果比LS估計的效果好。

這是由于以上的例子中，隨機誤差是來自于[0.5，1.608]上的均勻分布，logε不滿足高斯馬爾科夫條件，在這種情況下，LPRE估計優(yōu)于了LS估計。

4 結語

通過在《應用回歸分析》課程中，介紹近年來統(tǒng)計學工作者的一些研究工作，通過R軟件實現(xiàn)相應結果，并和最小二乘方法相比較，讓學生提高編程能力，并認識到LS估計并不是在所有情況下都優(yōu)于其他方法。

參考文獻：

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[2] 何曉群.多元統(tǒng)計分析（第四版）[M].中國人民大學出版社， 2015.

[3] 薛毅，陳麗萍. 統(tǒng)計建模與R軟件[M].清華大學出版社，2007.

[4] Chen K. Lin Y. Wang Z. Ying Z. Least product relative error estimation[J].Journal of Multivariate Analysis，2016，144：91-98.

[5] 胡大海.基于乘積相對誤差準則的模型研究[D].中國科學技術大學，2017.

作者簡介：劉惠籃（1988-），貴州貴陽人，女，博士，貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院講師，研究方向：統(tǒng)計建模。

明浩（1997-），河南信陽人，男，貴州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院學生，研究方向：統(tǒng)計建模。