兒童數(shù)學(xué)抽象力形成的教學(xué)分析與提升策略

孫 欣 王乃濤

史寧中教授曾指出：人的基本思維能力就是想象能力和抽象能力，其他思維能力都是它們派生的。數(shù)學(xué)抽象最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、兒童數(shù)學(xué)抽象力形成的困惑

（一）對(duì)原初概念表征不清，抽象過程缺少思維基礎(chǔ)

我們通常用已知概念（原初概念）來定義新概念，如用因數(shù)來定義質(zhì)數(shù)、合數(shù)，用自然數(shù)來定義因數(shù)。學(xué)生對(duì)原初概念的理解直接影響他們的新概念形成。如學(xué)習(xí)蘇教版四下《三角形的高》一課時(shí)，由于學(xué)生對(duì)原初概念的表征與理解不清，往往會(huì)致使其新概念抽象過程模糊（如表1）。

（二）對(duì)問題解決機(jī)械模仿，抽象方法選擇運(yùn)用不當(dāng)

教師常結(jié)合生活情境來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的能力。但是，如果教學(xué)浮于表面，學(xué)生則會(huì)對(duì)方法理解不透、運(yùn)用不當(dāng)。如學(xué)習(xí)蘇教版一下《100以內(nèi)加減法》一課時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)如下頁表2所示的問題。兩道題題型相同，正確率卻相差較大。題1找回錢數(shù)很少，符合生活中找回錢少的現(xiàn)實(shí)暗示，學(xué)生會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)機(jī)械模仿解決題1的方法來解決題2。

表1 對(duì)原初概念表征不清示例

表2 對(duì)問題解決機(jī)械模仿示例

（三）對(duì)數(shù)學(xué)原理表達(dá)不清，抽象結(jié)論難以語義說明

學(xué)數(shù)學(xué)需探究數(shù)學(xué)原理。建構(gòu)數(shù)學(xué)原理時(shí)，可舉例、歸納、概括，也可以純數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)。受認(rèn)知能力限制，學(xué)生表達(dá)數(shù)學(xué)原理時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)不全面、不完整、不準(zhǔn)確等情況。如教學(xué)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》一課，在折紙、填等式、發(fā)現(xiàn)分子分母倍數(shù)關(guān)系等環(huán)節(jié)，學(xué)生能輕松應(yīng)對(duì)，但讓他們用語言概括規(guī)律時(shí)，他們的表達(dá)卻往往不如人意，有的只表達(dá)出了乘或除中的一種情況，有的考慮不到0除外。

（四）對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)把握不準(zhǔn)，核心要素難以深刻辨析

同一對(duì)象可用不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。同一概念處于不同上位概念之下，也以不同樹狀結(jié)構(gòu)引發(fā)下位概念。學(xué)生對(duì)交叉狀的概念體系結(jié)構(gòu)往往難以辨別。如教學(xué)蘇教版五下《因數(shù)與倍數(shù)》一課，不等于0的自然數(shù)可分為1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，也可分為奇數(shù)和偶數(shù)。但因?qū)W生對(duì)數(shù)學(xué)概念的核心要素把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致他們對(duì)兩種分類標(biāo)準(zhǔn)（是否2的倍數(shù)，因數(shù)有多少）和概念結(jié)構(gòu)難以深入辨析。

二、兒童數(shù)學(xué)抽象力的含義及學(xué)習(xí)特征

（一）兒童數(shù)學(xué)抽象力的含義

數(shù)學(xué)抽象力是在數(shù)學(xué)抽象過程中形成的理解力、判斷力、想象力、概括力等能力的總和。

（二）兒童數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)的典型特征

小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象主要指情境性抽象或經(jīng)驗(yàn)性抽象，具有兩重性，既表示從情境中提取的過程，又表示從過程中得出的經(jīng)驗(yàn)概念。

1.表達(dá)的直接性。兒童頭腦中的信息屬于“自然結(jié)構(gòu)”，加工起來相對(duì)困難，難以進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯解釋，而是一點(diǎn)一點(diǎn)地直接表達(dá)想法。

2.表征的直觀性。兒童表征數(shù)學(xué)概念從實(shí)物、圖形開始，尚不能完全脫離數(shù)學(xué)原型展開邏輯思考，抽象過程以具體形象和表象為支撐。

3.原理的探究性。兒童不滿足于接受現(xiàn)有的結(jié)論，喜歡從數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)猜想、追問、尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，具有一定的探究意識(shí)與能力。

4.思維的半邏輯性。兒童抽象能力的發(fā)展介于實(shí)物、圖形的形象認(rèn)知和原理、規(guī)律的抽象過程之間，具有一定的但不完全的邏輯性，我們

稱為“半邏輯性”的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

三、兒童數(shù)學(xué)抽象力的培養(yǎng)策略

（一）全面打破——匹配抽象內(nèi)容的適應(yīng)場

數(shù)學(xué)抽象主要有概念抽象、規(guī)律抽象、運(yùn)算抽象、關(guān)系抽象、思想方法抽象等。

1.概念抽象——去異求同，抽離本質(zhì)屬性。要促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，區(qū)別事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)事物間共同的屬性，形成正確的概念。如教學(xué)蘇教版二下《認(rèn)識(shí)角》一課，可出示實(shí)物圖片，引導(dǎo)學(xué)生描出圖片中的角，從實(shí)物圖中剝離出角的平面圖形，再通過觀察、比較抽象出平面圖形的共同特點(diǎn)，抽離出角的本質(zhì)屬性（由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成）。

2.規(guī)律抽象——去粗取精，概括臨近結(jié)論。在規(guī)律探究中，學(xué)生根據(jù)研究素材形成的發(fā)現(xiàn)有些無普適性。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去除外在表象，展示本質(zhì)，在臨近結(jié)論的基礎(chǔ)上形成正確的結(jié)論。如教學(xué)蘇教版四下《多邊形內(nèi)角和》一課，學(xué)生通過量、算、拼等方法得出了三角形與四邊形的內(nèi)角和及2倍關(guān)系，但還不能發(fā)現(xiàn)邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系。教師適時(shí)啟發(fā)：想象一下，多邊形的內(nèi)角和會(huì)與什么有關(guān)？當(dāng)學(xué)生理解了多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和有關(guān)時(shí)，就容易找到研究五、六邊形內(nèi)角和的方法了。借助圖形直觀進(jìn)行歸納推理，解釋規(guī)律的合理性，有助于學(xué)生矯正其臨近結(jié)論。

3.運(yùn)算抽象——理法相通，提煉運(yùn)算法則。在計(jì)算教學(xué)中，溝通算理與算法很重要。算理是算法的基礎(chǔ)，及時(shí)溝通算法與算理的聯(lián)系有利于算法的抽象、提煉與掌握。如蘇教版三下《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算》一課的例題為：幼兒園購進(jìn)12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)。一共有多少個(gè)？教師教學(xué)時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生理解算理和豎式過程（如圖1），溝通新舊方法，并啟發(fā)學(xué)生討論：（1）豎式中第二步算出的積的末位為什么要與十位對(duì)齊？（2）新算法為什么要分步表示過程？在數(shù)學(xué)問題情境中溝通新舊方法，理解算理，抽象出運(yùn)算法則。

圖1 例題解決過程

4.關(guān)系抽象——先主后次，多角度確定解題思路。關(guān)系抽象包含數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系等的抽象，數(shù)、形、量之間有著密切的關(guān)聯(lián)。教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生打破各種關(guān)系的界限，使他們形成有主次、多角度解決問題的意識(shí)。如教學(xué)蘇教版六下《按比例分配》一課，解決“甲數(shù)是48，甲數(shù)、乙數(shù)的比是6∶5，求甲數(shù)、乙數(shù)的和”這道題時(shí)，把6∶5看作份數(shù)，可列出48÷6×5+48這樣的算式；把6∶5看作分?jǐn)?shù)，可列出48÷6×5+48、48÷+48這樣的算式。將不同類型的關(guān)系進(jìn)行融通，打破割裂、單一、凝固的教學(xué)格局，有助于拓寬學(xué)生的解題視野，促進(jìn)他們抓住問題關(guān)鍵抽象出解題模型。

（二）全向打通——激活抽象方法的運(yùn)用場

抽象過程中會(huì)用到多種數(shù)學(xué)思想方法，主要有分類與比較、歸納與概括、推理與想象等。

1.分類與比較——抓共同點(diǎn)，彰顯同一性。分類大致有分情況討論和概念分類兩種情況。如教學(xué)蘇教版三上《認(rèn)識(shí)幾分之一》一課時(shí)，可出示一些圖形，有平均分成2份、3份、4份的，有不平均分成2份、3份、4份的，然后組織學(xué)生經(jīng)歷兩級(jí)、兩種分類比較（如圖2），并引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)：先按相等份數(shù)或是否平均分分類，分類結(jié)果相同，說明每類具有相同的屬性。滲透分類比較思想，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每類圖形的本質(zhì)，能為他們抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性打下基礎(chǔ)，為他們正確認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義打開通道。

圖2 一些圖形的兩級(jí)、兩種分類比較

2.歸納與概括——抓表達(dá)，強(qiáng)調(diào)正確性。抽象和概括存在于同一母體，一同發(fā)生、發(fā)展。概括出的概念是建立新概念的基礎(chǔ)，可推廣到該類對(duì)象中。如數(shù)“5”是從5個(gè)人、5只鳥、5幢樓等事物中舍去非本質(zhì)特征，概括出本質(zhì)特征——數(shù)量相等而抽象出來的。此方法可用來表示基本“數(shù)符號(hào)”，但要注意表達(dá)的正確性。

3.推理與想象——抓邏輯，體現(xiàn)合理性。抽象過程離不開想象，是指根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象表面相似或本質(zhì)的聯(lián)系展開形式到形式或內(nèi)在到內(nèi)在的聯(lián)想。如教學(xué)蘇教版五上《小數(shù)的意義》一課，可借助米尺使學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)一位（兩位）小數(shù)表示十分之幾（百分之幾），引導(dǎo)他們聯(lián)想到三位小數(shù)表示千分之幾，并追問：我們需要把1000份全部畫出來嗎？進(jìn)而適時(shí)點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)未必需要把所有情況都呈現(xiàn)出來，推理、想象同樣能幫助我們得到結(jié)果。通過推理與想象抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，感受抽象結(jié)論的合理性。

（三）全息遞進(jìn)——提升高階思維的層次場

兒童數(shù)學(xué)抽象思維的層次應(yīng)匹配數(shù)學(xué)對(duì)象抽象的層次。如自然數(shù)抽象比代數(shù)式抽象更具體，故理解代數(shù)式所需的抽象力高于理解自然數(shù)所需的抽象力。

1.實(shí)物層面的抽象——從現(xiàn)實(shí)情境剝離出數(shù)學(xué)問題。實(shí)物層面的抽象是基于已有生活經(jīng)驗(yàn)與生活現(xiàn)實(shí)的抽象，以實(shí)物為抽取對(duì)象，到超越實(shí)物而尚未完全脫離實(shí)物結(jié)束。如教學(xué)蘇教版三上《平移與旋轉(zhuǎn)》一課，教師首先呈現(xiàn)升降國旗圖、火車行駛圖、吊扇圖、鐘表圖等，瞬間把學(xué)生帶入平移（旋轉(zhuǎn)）的情境，讓他們感受平移（旋轉(zhuǎn)）的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，思考圖形怎樣運(yùn)動(dòng)可以稱為平移（旋轉(zhuǎn)）。借助實(shí)物從適合的現(xiàn)實(shí)情境剝離出數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生把握事物的內(nèi)在屬性。

2.半符號(hào)層面的抽象——把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為兒童經(jīng)驗(yàn)。半符號(hào)抽象是實(shí)物抽象基礎(chǔ)上的發(fā)展。如教學(xué)蘇教版三上《軸對(duì)稱圖形》一課，在學(xué)生初識(shí)軸對(duì)稱圖形的概念后，可呈現(xiàn)形態(tài)各異的圖形，如交通標(biāo)志、字母等，組織學(xué)生找出其中的軸對(duì)稱圖形。然后引導(dǎo)他們運(yùn)用對(duì)折后兩邊完全重合這一關(guān)鍵屬性深化軸對(duì)稱圖形的概念，這是實(shí)物直觀層面的第二次抽象，處于半符號(hào)層面，此時(shí)，數(shù)學(xué)問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為兒童的抽象經(jīng)驗(yàn)了。

3.符號(hào)層面的抽象——把兒童經(jīng)驗(yàn)濃縮為概念原理。符號(hào)層面的抽象具有典型的階段性、層次性，抽象形式已去掉具體內(nèi)容，可用概念、符號(hào)、關(guān)系等表述已簡約化的單個(gè)事物或一類事物。如教學(xué)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的意義》一課時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平均分蛋糕、長方形、一米長度、一些物體后，揭示一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)整體都叫單位“1”，然后讓學(xué)生根據(jù)一（幾）幅圖中的某個(gè)分?jǐn)?shù)的具體意義抽象概括分?jǐn)?shù)的一般意義，擴(kuò)大分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵和外延，完成符號(hào)層面的抽象。引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)概念、原理的共同特征，用概括、抽象、簡潔的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來，有助于他們深入理解數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理。

4.形式化層面的抽象——把數(shù)學(xué)原理輸出為數(shù)學(xué)模型。形式化層面的抽象處于數(shù)學(xué)抽象的普適階段，它通過假設(shè)和推理建立法則、模式或模型，并在一般意義上解釋具體事物。如基于對(duì)比例概念的認(rèn)識(shí)，學(xué)生可建立新的數(shù)學(xué)原理。如學(xué)習(xí)“解比例”時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生通過解決“在電腦上把長6厘米、寬4厘米的照片按比例放大，放大后照片的長是13.5厘米，寬是多少厘米？”這樣的問題，把模型運(yùn)用到問題解決中。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中概括、抽象出數(shù)量關(guān)系和解題規(guī)律，通過形式化抽象處理，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象力。

總之，數(shù)學(xué)抽象力是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)注重建構(gòu)有助于提升兒童數(shù)學(xué)抽象力的適性場域。