江蘇揚州市邗江區(qū)實驗小學 黃 彪
《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》明確指出:讓學生用數(shù)學眼光觀察世界,用數(shù)學思維思考世界,用數(shù)學語言表達世界。 這是小學數(shù)學教學的最終目標。 在數(shù)學素養(yǎng)為導向的當下要實現(xiàn)這樣的目標,需要從完整學習的理念出發(fā),用融通的思維來開展實踐, 具體來說就是不局限于過去靜態(tài)的、事實性的、結論性的經(jīng)驗系統(tǒng),改變過去將認知、情感和態(tài)度等方面對立起來的二元論,讓數(shù)學學習不僅是認知的過程,還是一個讓學習者全部身心和精神都真正參與進來的過程,主要可從以下四個方面開展實踐。
問題是思維的觸發(fā)器,有了問題,學生的數(shù)學探索才會開始,數(shù)學研究才會深入,也才會有創(chuàng)新的火花展現(xiàn)。 要培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光,就要引導學生積極面對各式各樣的問題情境,包括顯性情境和隱性情境,從中發(fā)現(xiàn)并提出有價值的數(shù)學問題。 然而,現(xiàn)有的實踐研究主要集中于啟發(fā)學生根據(jù)顯性情境中的已知條件提出問題,并分析、解答,這樣的反復訓練,一方面學生容易形成固化的模式和“條件反射”,另一方面由于對生活直觀的過多依賴,學生對數(shù)學知識缺少深刻理解,難以建構起整體的聯(lián)系。 實際上,數(shù)學教學應更多地鼓勵學生從學習現(xiàn)狀(即隱性情境)出發(fā),自疑自問,真疑真問,隨疑隨問,讓每一次數(shù)學學習的起點都精準,每一次數(shù)學信息的汲取都鮮活。 這就需要教師幫助學生在面對新問題時,能對學情做自我審視和理性判斷,并引領他們根據(jù)具體的學習內容和學習進程,靈活地在不同學習方式間作選擇,主要包括兩個方面:一是橫向數(shù)學化,即基于生活經(jīng)驗,把生活世界自然地引向數(shù)學世界;二是縱向數(shù)學化,即在數(shù)學世界里實現(xiàn)知識的重組、方法的重構和思想的重塑,并付諸應用,以真起點引發(fā)前行內驅,在真體驗中獲得真知真覺。
以蘇教版數(shù)學三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學為例, 這部分內容是在學生學習過兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的基礎上進行的,掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法,能為今后學習更多位乘數(shù)的乘法計算、四則混合運算以及解決與之相關的實際問題奠定基礎。 本單元的主要內容包括:兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進位)的筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)(進位)的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法等。其中,理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法是重點。 考慮到學生對多位數(shù)乘一位數(shù)的知識有所遺忘,筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時掌握乘的順序和寫的方法均需要以算理為支撐,學生理解上有難度,在教學兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算和兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進位)的筆算時,可選擇橫向數(shù)學化的方式,即從教材中的生活情境引入, 讓學生提出問題并得出算式,算法探究過程中再借助生活情境幫助學生理解算理,掌握算法,繼而實現(xiàn)從生活世界到數(shù)學世界的自然銜接。 以此為基礎,為避免學生受到非本質因素的干擾,讓新舊知識的鏈接和數(shù)學思維的銜接有連續(xù)性,在教學兩位數(shù)乘兩位數(shù)(進位)的筆算和乘數(shù)末尾有0的乘法時, 可去除書中情境引領學生作縱向數(shù)學化的學習,直接從“不進位”過渡到“進位”,讓學生在自主嘗試中獲得體驗并產生疑問,如今天學習的兩位數(shù)乘兩位數(shù)和前面有何不同? 出現(xiàn)進位了該怎么辦? 第一個乘數(shù)和第二個乘數(shù)末尾的0相乘可否省略? 直接關注數(shù)學本身,直接叩擊知識本質。 如此,通過教師縱橫交錯的教,去實現(xiàn)學生靈活多變的學,學習效率會明顯提高,也有益于學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。
數(shù)學教學中的感性主要指具體形象思維,理性主要指抽象邏輯思維。 小學生的思維發(fā)展正處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段,這就意味著教學時兩者不能彼此割裂, 既要在銜接上下功夫,又要在理性思考能力的提升上動腦筋。 然而,現(xiàn)實中不少數(shù)學知識的教學主要基于規(guī)律的猜測和發(fā)現(xiàn),即便證明也僅限于操作和舉例。 要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,就要強化感性認識與理性思考的有機結合,突出對數(shù)學信息的深加工。 具體來說,要引領學生既能擺脫直觀多做理性思考,又能在理性思考時借助直觀作多元表征,并靈活地解決疑難問題。
如在教學圓柱的特征時,學生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)圓柱的兩個底面是相等的, 關鍵是如何證明。通常有兩種方法:一是比一比,將圓柱實物的蓋子取下與另一個底面作比對,根據(jù)完全重合證明兩底面相等;二是量一量,借助直尺和細繩,度量兩個底面的直徑或周長, 由直徑或周長相等得出面積相等。 如果教學止步于此,學生的思維缺乏嚴密性,抽象邏輯思維很難得到發(fā)展。 實際上教學可更進一步:首先鼓勵學生質疑,讓學生發(fā)現(xiàn)在“比一比”“量一量”的過程中容易出現(xiàn)誤差,繼而引發(fā)理性思考“還有更好的證明方法嗎? ”接著出示一個長方形,適當配以動畫來引導學生想象長方形旋轉形成圓柱的過程; 最后基于學生想象讓學生在推理中發(fā)現(xiàn):長方形的寬就是圓柱的底面半徑,由半徑相等得出底面相等。 如此安排,學生經(jīng)歷了動手操作—動腦想象—數(shù)學推理的全過程,思維從感性向理性螺旋式推進,領悟深刻。 今后在面對復雜問題時,學生會自然地從體積計算公式出發(fā),配合腦海中呈現(xiàn)的立體圖形表象,尋找到相關信息,輕松解決問題。
從某種意義上來說,數(shù)學學習就是數(shù)學思維活動。 數(shù)學語言作為數(shù)學思維的載體,在學生數(shù)學素養(yǎng)形成過程中具有重要價值。 從信息加工論的觀點來看,人的知識體系一般需要經(jīng)歷信息輸入—信息加工—信息輸出的過程才能形成,數(shù)學教學往往止步于第二階段,學生聽懂即行,會做即可。 殊不知聽懂不一定能融會貫通, 會解題往往只是重復加工,真正意義上的信息輸出并未形成。 培養(yǎng)學生用數(shù)學語言表達,正是實現(xiàn)信息輸出的重要方式之一。 需要注意的是,數(shù)學語言是一種高度抽象的人工符號系統(tǒng),兒童在學習時必然存在難度,教學時要注意內外交融:向內提升學生的理解力,可通過強化知識之間的關聯(lián)促理解,借助文字、符號和圖形的多元表征促理解,靈活運用變式比較,演繹推理,類比遷移等方法促理解;向外培養(yǎng)學生的表達力,教師要為學生創(chuàng)設交流與表達的機會,激發(fā)他們表達的自主能動性,引導他們從正確表達、清楚表達,走向數(shù)學表達。
以常見的問題解決為例,如“學校買了8套課桌椅共花了1440元, 每張課桌120元, 每把椅子多少元? ”正確表達一般直接指向結果,主要表現(xiàn)為面對問題能列出算式,并說出每一步算的是什么。 清楚表達既指向結果,也指向過程,主要表現(xiàn)為能用分析法或綜合法闡述自己的想法和相應的做法,必要時配以圖示說明。 數(shù)學表達則是引導學生用數(shù)學的模式與方法呈現(xiàn)真實問題中的關系, 建立數(shù)學模型,并能完整而有邏輯地作解析。 上述問題教師可以從以下四個方面培養(yǎng)學生的數(shù)學表達:一是引導學生通過數(shù)量關系分析和數(shù)據(jù)觀察,與相遇問題產生溝聯(lián);二是說出此問題與相遇問題的共同特點及對應關系;三是建立數(shù)學模型“AB+AC=S”,列方程求解并驗證;四是基于此模型創(chuàng)編新問題并作解析說明。
考慮到任何一種語言都需要以普通語言(學生日常生活的語言)為解釋系統(tǒng),數(shù)學語言也是如此,因此在教學時要加強兩種語言的互譯,主要包括兩個方面:一是將普通語言數(shù)學化。 如每袋大米的價錢×大米的袋數(shù)=購買大米總共付出的錢,諸如此類的語言均可表達為單價×數(shù)量=總價。 如此轉換,除了準確、嚴密、簡明外,還能幫助學生用一個數(shù)學模型來解決多個實際問題。 二是將數(shù)學語言普通化。 有些數(shù)學語言口頭表達有難度,翻譯成普通語言后學生會感到通俗易懂,便于交流。 如加法結合律是小學數(shù)學五大基本定律之一,用文字敘述或用含有符號的式子表示均顯冗長,小學生難以表述清楚,很多時候都是死記硬背,時間一長容易混淆或遺忘, 在單元復習時可鼓勵學生用自己的話說說對加法結合律的新理解。 如“只要是連加,隨便哪兩個數(shù)先加結果都一樣”“在加減混合運算中,可以先算出一共要加多少,再算出一共要減去多少,最后再把兩個結果相減”, 這樣既鞏固了學生對加法結合律的理解,也引發(fā)了學生由三個數(shù)連加向多個數(shù)連加以及加減混合運算作延伸思考,實現(xiàn)了學生對加法交換律和結合律的綜合運用和靈活運用。 實踐告訴我們,當學生能用普通語言陳述概念的定義和介紹概念的本質屬性時,他們對概念的理解大多比較深刻。 由此可以看出,內在的理解與外在的表達是相輔相成的,只有理解有深度,表達才會有邏輯,顯底氣。
從以上三個方面可以清楚地看出,“三會”目標的培養(yǎng)都必須以發(fā)展思維為核心,但都離不開外部因素的刺激和牽引, 對小學生而言這固然必要,然而,數(shù)學素養(yǎng)終究要成為學生自己能帶走的、隨時用得上的精神財富,如何讓學生從“被思維”走向真正意義上的“自思維”至關重要。 教師在教學過程中要有意識地做到動靜交互:“動”是指學生在外部指令下能迅速地做出反應,主要表現(xiàn)為教師提問后能快速思考作答,學生發(fā)言時能快速判斷,依據(jù)要求能快速完成操作,等等,日常教學中這方面的情況總體較好;“靜”是指學生在獨立面對問題情境、他人觀點,特別是學習遇阻時能靜思默想,理性辨析,智慧取舍,在百折不撓中完成學習任務,這是當前教學中最為或缺的。
教師可從多層面予以重視:一是創(chuàng)設學生獨立啟學的機會,讓學生知道該從哪兒出發(fā)。 如新授時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多內容學生已經(jīng)學過,教師就不能按原定計劃開展教學, 可以讓學生自己思考研究方案,自己選擇研究方法,靜靜地走進“最近發(fā)展區(qū)”。 二是給予學生深度研學的空間,讓學生擁有思維跌宕后的快樂體驗。 教學時可多用大問題引領,讓學生不疲于應付,自我找尋深入思考的適切點,在不斷迂回與調整中選擇有效策略實現(xiàn)問題攻堅,在靜悟中積累數(shù)學探究經(jīng)驗。 三是培養(yǎng)學生積極反思的習慣,讓學生擁有不斷前行的動力。 學生有效思考時間越長,越有益于思維水平往高處發(fā)展,越有益于數(shù)學素養(yǎng)的形成。 教師應經(jīng)常性提醒學生對學習活動做深刻內省,重點聚焦學習中的痛點,如第一次操作為什么沒成功? 后來怎么調整的? 以后要注意什么? 課上要堅持獨立思考基礎上的集中交流,課后要強化哲學意義上的反復考量,讓“這樣肯定對嗎? ”“只能這樣嗎? ”成為思辨的常態(tài),在靜省中實現(xiàn)數(shù)學學習由課內向課外展延,從而獲得持久的學習熱情,這股熱情將激發(fā)學生在發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的道路上越走越遠。