李江　彭夢暉

數學模型，是指針對或參照某種事物的特征或數量間的相依關系，采取形式化的數學語言，概括地或近似地表述出一種數學結構。凡一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種方程以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)等，都可以稱之為數學模型。如，自然數“1”可以是1個人、1件玩具的抽象的結果，是反映這些事物共性的一個數學模型;方程是刻畫現(xiàn)實世界數量的關系的數學模型，因此建立數學模型的過程就是數學建模，數學模型思想，從某種意義上來說可以理解為解題模式。

模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。在小學階段模型化思想更多的是指解題思路和解題模型。 在人教版數學三年級下冊“鋪地磚”的教學過程中，我們將“模型化思想”滲透到了教學的各個環(huán)節(jié)中，讓三年級的孩子在學習過程中經歷“數學建?！钡囊话氵^程，充分感受到數學建模思想。

一、建模數據的選擇與優(yōu)化

1.選擇數據，聚焦建模。

人教版數學三年級下冊“鋪地磚”的教學內容是

解決此類問題一般有兩種方法：一是“分別算出客廳面積和地磚面積，用客廳面積除以地磚面積”。二是“看一看沿著客廳的長可以鋪幾塊地磚，沿著客廳的寬可以鋪幾塊地磚，最后算一算一共用了多少塊地磚”。

題目中的數據看似不大，但仔細分析，考慮到在解決問題的過程中涉及單位換算，就會出現(xiàn)較大數據的乘除法計算，這可能會使學生在計算時出現(xiàn)困難，反而影響了對這一類解題模型建立的準確理解。所以我們將例題改編為通過小組合作探究：“一個長為12厘米，寬為6厘米的長方形，需要用多少個邊長為2厘米的正方形才能鋪滿？”

材料：一個長12厘米，寬6厘米的長方形

學具：邊長為2厘米的小正方形 （每人1個）

需要多少個小正方形才能鋪滿長方形？

把例題的數據變小，讓學生不再為計算感到困惑，而把關注點聚焦于“解題模型”的建立上來，學習效果非常理想，也體現(xiàn)了我們一直倡導的“小數據建模”的策略。

2.優(yōu)化數據，理解模型。

除了將探究活動的數據變小，我們還對數據的選擇進行了精選優(yōu)化，如果將小正方形的邊長定為l厘米，計算會較容易。但學生算出需要小正方形72個和長方形的面積72方厘米兩個數值相同，這樣很容易讓學生錯誤認為計算所需小正方形的個數就是計算長方形的面積，而不是長方形面積里包含了多少個小正方形的面積。進而錯誤地建立出解決這個問題的“模型”。數據優(yōu)化后，學生很容易理解了“模型”的含義，學習效果良好。

二、建模過程的完整與開放

1.過程完整，驗證模型。

片段回放：

1.出示一個長方形和一個正方形。

（1）試著提出一個相關問題。

（2）猜一猜長方形里可以放幾個小正方形。

（3）學生猜測需要多少個小正方形才能鋪滿長方形。

（4）如果需要算一算，你認為需要哪些數據？

2.教師給出相關數據：長方形的長是12厘米，寬是6厘米，小正方形的邊長是2厘米。

3.4人小組合作，用4個小正方形在學習合作單上通過擺一擺、畫一畫，然后將擺放過程記錄在學習記錄單上。

4.師：剛才同學們用了兩種方法來解決這個問題，那這個結果是否正確？我們需要做什么？

生：驗證。

師：你們打算怎么來驗證？

生：擺。

師：誰愿意來擺一擺？我們一起數。

生：1個，2個，……，18個。

師：我們通過擺的方式得出的結果和我們算的一不一樣？

生：一樣。

師：一個小正方形的面積是多少？

生：4平方厘米。

師：所以這里有多少個4平方厘米。

生：18個。

師：你可以把我們剛才擺的過程用算式表示出來嗎？18個4怎么表示？

生：18×4=72。

師：或者可以表示成4×18=72（平方厘米），72平方厘米剛好是我們長方形的面積。所以說我們前面的計算是正確的。

師：剛才我們找到了幾種方法來解決這個問題？

生：兩種。

師：第一種方法誰來說一說？

生：第一種方法先算出長方形的面積，再算出正方形的面積，最后周長方形的面積除以正方形的面積，就是算大長方形的面積里包含了多少個小正方形面積。

師：誰來說一說第二種方法？

生：可以先看每行擺了幾塊，再看可以擺幾行，再看有幾個幾。

師：剛才我們用了猜測、分析得出我們要的信息，通過實踐得出結論，并驗證了我們的結果。 學生在學習過程中經歷了“抽象一猜想一驗證一捕述一建模”的過程，這樣的探究活動不僅發(fā)展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在知識的探索中充分經歷了數學模型的形成過程，感受到數學建模過程的完整性。

2.過程開放，自主建模。

動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。我們將數據進行精選并優(yōu)化后，給足學生探究學習的時間與空間，讓孩子們充分的動手操作、思考，教師只在學生遇到困難時做出適宜的引導，引導學生對自己發(fā)現(xiàn)用較為準確地語言進行描述，學生發(fā)現(xiàn)我們不管采用哪一種方法就是要算出“長方形面積里包含了多少個小正方形的面積”。

可以看出，學生通過開放的數學探究活動自主的建構出了解決此類問題的一般模型，并且可以把這一模型進行語言捕述和適當符號化，達到了我們的教學預期。

三、建模結果的深化與拓展

1.運用模型、深化結果。

構建數學模型的過程是從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數學問題——通過猜測探究或實踐操作的學生自主學習——找出求解此類問題的基本思路、解決策略或數量關系——再用數學符號和語言表示問題的數量關系和變化規(guī)律——從而形成一種解決問題的思考過程模板。

就以“鋪地磚”為例，數學教材中提供了兩個相關練習?！白鲆蛔觥保ㄈ鐖D1）中直接給了地磚面積為已知條件，對于三年級學生現(xiàn)有知識水平下，就意味著只能選擇用客廳面積里包含了多少地磚面積的方法來求解。因此這是一道“擇優(yōu)解題”的訓練。而練習十六中的習題4（如圖12）條件組成和“做一做”相似，學生依舊要選擇方法。但因數據較大，可以幫助學生從“小數據建?！敝凶叱?，用“大數據來驗證和運用”。因此，《鋪地磚》的應用練習設計思路是：新創(chuàng)小數據探究建模后改例8為“嘗試解題”訓練來運用建模結果，通過再一次對比兩種方法進一步內化解題思想;練習十六中的第4題為“方法選擇”和“大數據應用”的綜合訓練，學生靈活的運用方法解題就達到了深化建模結果的目的。

2.拓展模型回歸生活。

學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，建立了初步的數學模型，和獲得數學環(huán)境下的應用機會。但生活中的模型映射往往更為復雜。要讓學生獲得在生活中應用數學的經驗，就需要設計生活情境下的模型拓展訓練。

實際生活中利用長邊和寬邊算出一共需要幾個幾才能鋪滿——方法二，才是較為有效和精確的方法。但三年級的課堂，即沒有知識前鋪也沒有課堂時間解釋這個問題。因此以一個復雜場景的問題設計來進一步深化和拓展建模結果。同時也滲透了在生活中解決鋪磚問題時，考慮地板長、寬如何鋪滿才是解決需要多少塊磚的關鍵。（如圖3）

由于三年級知識基礎的局限，數據雖然不夠嚴謹。但當最后一排出現(xiàn)圖中情況時，學生發(fā)現(xiàn)用包含除思路得到的結果不能鋪滿。再觀察后，有的學生認為要再買幾塊磚;有的學生認為把磚等分成3份正好可以鋪滿;有的學生認為切分磚時容易出現(xiàn)破損，實踐用的磚多于12塊。無論學生思考方向是哪一種，都達到了練習設計的意圖。一是包含除方法得出的結果是理想情況下的最少用磚量，實際生活結果是大于這個結果;二是潛移默化地留下了一個印象，地板長、寬數據和磚邊長間倍數關系對磚的塊數是有影響的。為五年級的滿鋪問題埋下了思考的種子。

小學數學建模思想的形成是一個綜合性的過程。本課在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而激發(fā)學生對數學學習產生更濃厚和持續(xù)的興趣。在今后數學課堂教學中，我們應適當滲透包括數學建模在內的一般數學思想、方法，讓學生多經歷一些數學學習活動，積累一定的學習經驗，幫助學生形成良好的思維習慣，提升學生的數學素養(yǎng)。