畫圖：解決應(yīng)用題“思”與“行”的橋梁

劉緒毅

[摘 要]畫圖法作為解決應(yīng)用題的一種基本輔助方法，通過(guò)化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，架構(gòu)起了學(xué)生分析與解答抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的橋梁。在教學(xué)中，教師應(yīng)該將畫圖作為學(xué)生解決問(wèn)題的一種習(xí)慣來(lái)滲透，一種能力來(lái)培養(yǎng)，從培養(yǎng)畫圖意識(shí)、提高識(shí)圖能力和運(yùn)用畫圖策略三方面來(lái)提高學(xué)生解決應(yīng)用題的能力。

[關(guān)鍵詞]解決問(wèn)題;畫圖法;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）05-0017-02

小學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題的教學(xué)是一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)?，F(xiàn)行人教版教材中，對(duì)解決問(wèn)題教學(xué)的編排分為閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思三個(gè)環(huán)節(jié)?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，分析與解答環(huán)節(jié)通常離不開(kāi)畫圖方法的提示與引導(dǎo)，從一、二年級(jí)的實(shí)物圖、示意圖到中高年級(jí)的線段圖，層層深入，逐步滲透?？梢哉f(shuō)，畫圖作為解決問(wèn)題的一種基本輔助方法，它能化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，架構(gòu)起了學(xué)生分析與解答抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的橋梁。因此，無(wú)論是從教材的編排意圖來(lái)看，還是基于小學(xué)生的思維特征，教師都應(yīng)該將畫圖作為學(xué)生解決問(wèn)題的一種能力來(lái)培養(yǎng)。

一、遇題想畫——培養(yǎng)畫圖意識(shí)是關(guān)鍵

學(xué)生畫圖的能力不是一蹴而就的，教師需要從一年級(jí)開(kāi)始逐步滲透。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識(shí)是關(guān)鍵，具體做法如下：

一是鼓勵(lì)學(xué)生試畫。一年級(jí)的學(xué)生最喜歡涂涂畫畫，教師要充分利用學(xué)生的年齡特點(diǎn)，引導(dǎo)他們將這樣的興趣愛(ài)好遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上。解決問(wèn)題的教學(xué)中，在學(xué)生充分閱讀題目的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)信息和問(wèn)題用自己喜歡的方式畫出來(lái)。通過(guò)自主嘗試和教師的引導(dǎo)，學(xué)生經(jīng)歷從細(xì)致的情景實(shí)物圖到具有數(shù)學(xué)味的簡(jiǎn)化示意圖的一次次提升，學(xué)生的畫圖意識(shí)在潛移默化中逐步得到了培養(yǎng)。這樣日積月累地訓(xùn)練，畫圖就能成為學(xué)生解決問(wèn)題的一種自覺(jué)的行為。

二是注重教師示范畫。教師要抓住每一次解決問(wèn)題的新課學(xué)習(xí)、專題練習(xí)、習(xí)題評(píng)講的機(jī)會(huì)，堅(jiān)持示范畫圖，讓學(xué)生在煩瑣的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力。當(dāng)然，這也要求教師要對(duì)每?jī)?cè)教材中能用畫圖法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題有思考、有想法、有對(duì)策，同時(shí)要對(duì)整個(gè)小學(xué)階段的解決問(wèn)題的脈絡(luò)有系統(tǒng)的研究和思考。

例如，教學(xué)一年級(jí)下冊(cè)第20頁(yè)“用20以內(nèi)的退位減法解決問(wèn)題” 時(shí)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目（如圖1）中的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問(wèn)題后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的方式把題目的意思畫下來(lái)。

有的學(xué)生用1個(gè)“”表示1個(gè)人，有的學(xué)生用1個(gè)“[○]”表示1個(gè)人，有的學(xué)生用1條“/”表示1個(gè)人。在學(xué)生充分匯報(bào)自己畫圖的意思的基礎(chǔ)上，教師先是給予肯定，并引導(dǎo)學(xué)生得出“我們隊(duì)踢進(jìn)了4個(gè)”這條信息是多余的，再引導(dǎo)學(xué)生比較、分析這些畫圖方法，感受到用圓圈、豎線畫示意圖比畫實(shí)物圖更簡(jiǎn)潔。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅能在畫圖基礎(chǔ)上充分理解題意，找出題目中解決問(wèn)題的有效信息，還能感受到用示意圖表示的簡(jiǎn)潔性，更能在畫示意圖的過(guò)程中感受一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。

二、看圖說(shuō)“畫”——提高識(shí)圖能力是前提

在解決問(wèn)題教學(xué)中，學(xué)生不僅要具備畫圖的意識(shí)，還應(yīng)具備識(shí)圖的能力。作為數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)中的一種“有形”的文字——圖示，學(xué)生要在充分理解的基礎(chǔ)上，能將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。將圖形表征轉(zhuǎn)換為語(yǔ)言表征，一方面有利于“輸入”——能將形象的圖形所隱藏的數(shù)量關(guān)系抽象出來(lái)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;另一方面有利于“輸出”——對(duì)學(xué)生將文字表征轉(zhuǎn)換為規(guī)范的圖形表征有著引領(lǐng)指導(dǎo)作用，促進(jìn)學(xué)生畫圖能力的形成。這就要求教師能夠提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生識(shí)圖：或是通過(guò)教材上規(guī)范的圖示，或是通過(guò)教師示范畫的圖示，或是借助學(xué)生所畫的圖示。因此，如果說(shuō)“會(huì)畫”是目的，“識(shí)圖”就是前提。

例如，三年級(jí)上冊(cè)第54頁(yè)“倍的認(rèn)識(shí)”習(xí)題第5小題：

該題絕對(duì)不能當(dāng)成看圖填空題，教師要充分引導(dǎo)學(xué)生觀察線段圖，找到圖中的數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言完整地描述出來(lái)。其中，蝸牛的數(shù)量是具體明了的，甲殼蟲(chóng)的數(shù)量需要計(jì)算，而甲殼蟲(chóng)與蝸牛的數(shù)量關(guān)系是這題的關(guān)鍵。通過(guò)安排學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流和集體匯報(bào)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解每一條線段表示的是什么意思，明確“甲殼蟲(chóng)的數(shù)量是蝸牛的3倍”這條信息是怎樣得到的。這樣，學(xué)生的識(shí)圖能力就能得到進(jìn)一步的提升，學(xué)生也能從中感受到數(shù)學(xué)圖形的簡(jiǎn)潔美。

三、心中有“畫”——運(yùn)用畫圖策略是目的

利用畫圖解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，除了讓學(xué)生借助直觀的示意圖將題目中的數(shù)學(xué)信息和蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系以直觀形象的方式表示出來(lái)，更為重要的是讓學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用中能根據(jù)遇到的實(shí)際問(wèn)題，靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的畫圖方法來(lái)解決問(wèn)題。

1.借用示意圖，“畫”在不明題意之時(shí)

從心理學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生的認(rèn)知和思維是存在差異的。大部分學(xué)生對(duì)題目的理解出現(xiàn)困難或模糊不清時(shí)，對(duì)問(wèn)題的解決就會(huì)考慮不全面，尤其是圖形與幾何領(lǐng)域的問(wèn)題。這時(shí)，就需要畫示意圖幫助理解題意，厘清解題的思路。

要求“如果一面靠墻，籬笆至少需要多少米？”，關(guān)鍵是要理解“至少”的意思。在學(xué)生充分說(shuō)的基礎(chǔ)上，為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解題意，找到解決此類問(wèn)題的方法，教師可引導(dǎo)學(xué)生用圖示表示兩種情況。

（1）長(zhǎng)邊靠墻：[6米][3米]? ?籬笆長(zhǎng)度：2×3+6=12（米）。

（2）短邊靠墻： [6米][3米]? ? 籬笆長(zhǎng)度：2×6+3=15（米）。

通過(guò)畫圖，學(xué)生能清楚地理解題意，找到答案。然而教師不能止于此，應(yīng)讓學(xué)生對(duì)比、分析、歸納出解決此類問(wèn)題的方法：要使籬笆的長(zhǎng)度最短，必須長(zhǎng)邊靠墻。這樣就能培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性。

2.善用線段圖，“畫”在不清數(shù)量關(guān)系之時(shí)

現(xiàn)行人教版教材三年級(jí)上冊(cè)就出現(xiàn)了線段圖。一方面是促使學(xué)生的思維水平從形象直觀逐步向半直觀半抽象過(guò)渡，另一方面也是問(wèn)題中數(shù)據(jù)越來(lái)越大、數(shù)量關(guān)系也越來(lái)越復(fù)雜的必然趨勢(shì)。而對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。因此，當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系不明確時(shí)，線段圖是最有效的輔助方法。

由于數(shù)學(xué)信息較多，學(xué)生很容易出現(xiàn)根據(jù)所給數(shù)字直接列算式“（5+3）×2=16（個(gè)）”的情況，從而忽略熊媽媽給出的3個(gè)玉米。如果輔以線段圖就能清晰明了地找到題目中的數(shù)量關(guān)系：? ?[ ][？個(gè)][5個(gè)][3個(gè)][3個(gè)][ ][熊媽媽][小熊]

從圖中便可得知，熊媽媽的玉米數(shù)比小熊得到3個(gè)后的2倍還多3個(gè)，算式為（5+3）×2+3=19（個(gè)）。

3.巧用矩形圖，“畫”出數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)系

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)把數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來(lái)，可以化形為數(shù)，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，還有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力。

例如， 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做20天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息），問(wèn)從開(kāi)始到完工共用了多少天？

根據(jù)題目中的條件“甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）”可知，甲隊(duì)獨(dú)做8天，乙隊(duì)獨(dú)做2天，剩余的工作量就是甲、乙合作的工作量。用矩形圖表示這項(xiàng)工程的工作量的分布情況：

[甲、乙合作的工作量 乙隊(duì)獨(dú)做2天的工作量 甲隊(duì)獨(dú)做8天的工作量 ]

由圖可知，乙隊(duì)獨(dú)做2天的工作量是2[×][120]，甲隊(duì)獨(dú)做8天的工作量是8[×][110]，甲乙合作的工作量是1- 2[×][120]- 8[×][110] =[110]，甲乙合作的時(shí)間是 [110] ÷（[110]+[120]）= [23]（天） ，因此，從開(kāi)始到完工的時(shí)間是[23]+2+8=10[23]（天）。

總之，畫圖作為解決問(wèn)題中有效的輔助方法之一，應(yīng)貫穿整個(gè)解決問(wèn)題的教學(xué)，落實(shí)到每一次分析與解答中。在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師要讓學(xué)生畫圖整理?xiàng)l件和問(wèn)題，感受到畫圖能清楚地理解題意，這樣才有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，溝通學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中的“思”與“行”，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（責(zé)編 金 鈴）