沈 威

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徐利治數(shù)學教育思想研究

沈 威

（惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，廣東 惠州 516007）

徐利治在數(shù)學研究、數(shù)學哲學和數(shù)學教育方面均做出了創(chuàng)造性的貢獻，建構徐利治的數(shù)學教育思想對當前數(shù)學教育具有較重要意義．運用“扎根理論”研究方法對徐利治發(fā)表的眾多數(shù)學教育著述編碼分析，建構了徐利治數(shù)學教育思想，主要由數(shù)學方法論、成才觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀和數(shù)學創(chuàng)造觀5個部分組成，它們之間相互交織、相互滲透．用一句話概括徐利治的數(shù)學教育思想，就是“如何成為創(chuàng)造性的數(shù)學人才”．

徐利治；數(shù)學教育；數(shù)學創(chuàng)造

1 問題提出

徐利治先生（以下簡稱：徐先生）是中國著名數(shù)學家、數(shù)學哲學家和數(shù)學教育家．在分析數(shù)學領域研究成果豐碩，特別在多維漸近積分、無界函數(shù)逼近以及高維邊界型求積法等方面都做出了創(chuàng)造性的貢獻，在數(shù)學哲學方面，他從無限研究的數(shù)學哲學思考、數(shù)學真理觀和數(shù)學本體論思想等為數(shù)學哲學思想的發(fā)展做出了貢獻[1]．在數(shù)學教育方面，他同樣做出了創(chuàng)造性的貢獻，對中國數(shù)學教育研究產(chǎn)生了重要的影響．徐先生的數(shù)學教育觀點、看法、信念、認識等體現(xiàn)在他的眾多數(shù)學教育論述中，收集、整理與研究有關數(shù)學教育論述，抽取其中脈絡，建構其數(shù)學教育思想，對豐富與發(fā)展數(shù)學教育理論具有重要意義，亦對中國當前正在進行的數(shù)學教育改革具有重要啟發(fā)價值．

2 研究方法

2.1 研究資料的收集

徐先生的數(shù)學教育相關著述見于眾多論文集、報刊中，依據(jù)研究主題，將重點研究徐先生數(shù)學教育的相關著述，主要有《談自學成才》[2]《漫談學數(shù)學》[3]《數(shù)學家們是怎樣思考和解決問題的？》[4]《直覺與聯(lián)想對學習和研究數(shù)學作用》[5]《徐利治談治學方法與數(shù)學教育》[6]《數(shù)學研究中的創(chuàng)造性思維規(guī)律》[7]《數(shù)學方法論與數(shù)學教學改革》[8]《關于數(shù)學創(chuàng)造規(guī)律的斷想及對教改方向的建議》[9]《數(shù)學美學與文學》[10]《數(shù)學哲學、數(shù)學史與數(shù)學教育的結合》[11]《談談我的一些數(shù)學治學經(jīng)驗》[12]《西南聯(lián)大數(shù)學名師的“治學經(jīng)驗之談”及啟示》[13]《數(shù)學美與數(shù)學教學中的審美》[14]《MM教育方法簡介》[15]《數(shù)學科學與現(xiàn)代文明（上）》[16]《現(xiàn)代數(shù)學教育工作者值得重視的幾個概念》[17]《談談我青少年時代學習數(shù)學的一些經(jīng)歷和感想》[18]《數(shù)學家的思維方式縱橫談》[19]《數(shù)學文化教養(yǎng)對人生的作用》[20]《關于數(shù)學與抽象思維的幾個問題》[21]《數(shù)學研究的藝術》[22]《談談個人學習數(shù)學的一點經(jīng)驗和看法》[23]等．

2.2 研究方法與過程

2.2.1 研究方法

研究旨在梳理徐先生數(shù)學教育思想，梳理基礎來源于其相關著述．針對這類研究的特點，“扎根理論”（grounded theory）作為一種從經(jīng)驗資料的基礎上建立理論的方法，適合當前研究的需要．因此，研究以“扎根理論”取向的質(zhì)性研究方法，扎根理論的主要特點不在其經(jīng)驗性，而在于它從經(jīng)驗事實中抽象出了新的概念和思想[24]，以Nvivo11.0質(zhì)性數(shù)據(jù)分析軟件作為其輔助工具，不帶預設地“扎根”于研究對象，對研究對象進行“自下而上”的理論建構．

2.2.2 研究過程

“扎根理論”有一套清晰、具體、嚴密的研究程序，即一級編碼（開放編碼）、二級編碼（主軸編碼）、三級編碼（核心編碼），其研究工具是研究者本人，在編碼過程中，對研究資料分析并持續(xù)比較，進行“內(nèi)在的互動”．

一級編碼——開放式編碼．對徐先生相關論述的內(nèi)容進行逐行分析．徐先生的相關論述已經(jīng)對相關概念做出界定與闡述，因此盡量以原始資料中的概念為基礎編碼，抽取研究資料中的“本土概念”，共產(chǎn)生103個編碼，例如：祖國四化建設需要人才，自學成才，理想，志趣，毅力，方法，立志，德性，情操，活知識，高尚的志趣，堅忍不拔的毅力，正確的自學方法，個人奮斗，培養(yǎng)興趣，追求簡易，重視直觀，學會抽象，不怕計算，喜愛文學，興趣與能力同步發(fā)展規(guī)律，教、學、研互相促進的規(guī)律，MM教學方式，數(shù)學方法論，科學文化人，數(shù)學共同體，數(shù)學文化，數(shù)學模式，數(shù)學創(chuàng)造，學習共同體，文獻爆炸，數(shù)盲，數(shù)學素養(yǎng)，數(shù)學活動論，模式的科學，社會的建構主義，興趣，樂趣，課外閱讀，習題自己做，發(fā)散思維，收斂思維，動覺型直覺，視覺性直覺，類比、聯(lián)想思維方式，直觀想象，聽覺型直覺等．

二級編碼——主軸編碼．主軸編碼的目的是為了將在開放編碼階段被分割的資料，再加以類聚起來．徐先生在其論述中已經(jīng)對部分相關概念的類屬關系作了明確界定，例如，他指出“人要自學成才，一定要有理想、志趣、毅力和方法”，可見“理想、志趣、毅力和方法”是“人自學成才”的次類屬，還有多處具有類似的類屬與次類屬關系，研究完全按照徐先生的界定，把他已經(jīng)做出界定的類屬關系全部作為主軸編碼框架．在此基礎上，把一級編碼中的相關“本土概念”有效融入．有些概念不能有效融入的，則根據(jù)徐先生字里行間的意思建構新的類屬關系．

三級編碼——核心編碼．根據(jù)徐先生對相關主題的歸類來確定原始資料的核心類別，同時不斷與原始資料進行比較，找出能夠引導出核心類別的暗示與線索．通過核心類別串起相關概念間的邏輯關系，建構徐先生的數(shù)學教育思想．

3 研究結果

徐先生的數(shù)學教育思想主要由數(shù)學方法論、成才觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀、數(shù)學創(chuàng)造觀5部分組成．徐先生的數(shù)學方法論自成體系，著述獨立完整，與成才觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀、數(shù)學創(chuàng)造觀之間的界限相對明確，因此研究主要對成才觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀、數(shù)學創(chuàng)造觀進行建構，在建構過程中不斷把成才觀、數(shù)學學習觀等的原始資料及其相關編碼與數(shù)學方法論內(nèi)容作出比較分析，確保建構的規(guī)范性與科學性．研究發(fā)現(xiàn)徐先生的數(shù)學方法論、成才觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀、數(shù)學創(chuàng)造觀之間相互交織、相互滲透，而他的數(shù)學研究經(jīng)驗是數(shù)學教育思想的基礎和重要組成部分，如果用一句話概括徐先生的數(shù)學教育思想，就是“如何成為創(chuàng)造性的數(shù)學人才”．徐先生數(shù)學教育思想的結構圖如圖1所示．

圖1 徐利治先生數(shù)學教育思想結構

3.1 成才觀

徐先生的成才觀體現(xiàn)在他對自學成才的論述中，這些成才觀點對培養(yǎng)學生獨立思考能力具有重要啟發(fā)意義．徐先生指出人要自學成才，一定要有理想、志趣、毅力和方法，而理想是最關鍵的，徐先生進一步指出高尚的人生理想是革命家、科學家和事業(yè)家成功和貢獻的關鍵因素，但高尚的志趣、堅忍不拔的毅力和正確的學習方法是不可缺少的條件．可見，高尚的人生理想、高尚的志趣、堅忍不拔的毅力和正確的自學方法是其成才觀中的核心要素．

3.1.1 高尚的人生理想

徐先生把高尚的人生理想定義為在青年時代就立志要做一個有益于社會的人，做一個對國家社會有貢獻的人．徐先生指出高尚的人生理想具有激發(fā)內(nèi)在學習動機的作用，有了高尚的人生理想，就會盡其所能地學習，這樣一種理想或抱負便成為激勵他們永遠奮發(fā)向上的積極動力．在此基礎上，徐先生認為理想的具體化就是立志，因為有志者事竟成，而志需要相應德行和情操才能使它逐步完善并得到實現(xiàn)，立志是理想的具體化，是實現(xiàn)人生理想做出的努力方向．

3.1.2 高尚的志趣

徐先生把志趣界定為有志向（目標）和興趣（愛好）所合成的一種積極的心理狀態(tài)，而志趣的價值在于對鉆研數(shù)學的數(shù)學精神起著經(jīng)常激勵的作用，甚至在遭到困難或挫折的時候，它還會帶來一種克服困難的勇氣和毅力，鉆研數(shù)學的志趣越堅強，那么克服困難的勇氣便越大，而困難不斷被克服，反過來又不斷增強了進攻數(shù)學的信心和樂趣．增強高尚志趣的手段之一便是勤于做題，不怕難題．

3.1.3 堅韌不拔的毅力

徐先生沒有對堅忍不拔的毅力作出直接闡述，但從他的眾多論述可以得到，越來越大鉆研數(shù)學的勇氣、不斷克服困難等都是堅忍不拔毅力的表現(xiàn)．具體表現(xiàn)為不怕計算，計算能幫助發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)漂亮的新結果，這些正是推動人們能耐心地從事復雜計算的心理動力．所以徐先生贊成應利用青少年的愛美天性和尋求新結果的好奇心，配以啟發(fā)性的教材，讓他們不怕計算，學會計算，并能從計算中尋找樂趣，培養(yǎng)學生堅忍不拔的毅力．

3.2 數(shù)學學習觀

徐先生認為學習數(shù)學的方法是懂、化、猜、析、賞．

懂分為淺懂和真懂，所謂的淺懂就是表面的懂，沒有弄明白數(shù)學概念形成過程，沒有弄明白解決問題的來龍去脈，是“見樹木不見森林”；真懂或徹悟是對數(shù)學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的，要弄明白整個思路的來龍去脈，把它理解得非常自然，非常直觀，直至成為心中一目了然的東西，徹底理解它所以如此的道理．為了達到真懂或徹悟的境界，就不能只停留在弄清楚演繹論證的步驟里，必須重視具體特例的分析，必須注意直觀背景素材的綜合，必須通過人腦的聯(lián)想力和概括思維能力從具體素材中領悟出最基本、最本質(zhì)、最一般性的東西．能用自己的語言隨時把它復述出來，數(shù)學的理論、方法或定理就好象是自己發(fā)現(xiàn)的一樣．

化就是指化簡、化歸和變化形式的意思．“換句話說”體現(xiàn)了化的核心意義，就是保留原意而改變表述形式，在處理數(shù)學問題時，往往需要若干次的“換句話說”才能把原來的問題化難為易、化繁為簡或是化生為熟．要學好化的本事，必須養(yǎng)成計算的精確性與推理的嚴謹性精神．面對一個數(shù)學問題，為了便于下手解決，第一步要設法簡化問題．化簡的意思有兩層，一層是轉(zhuǎn)化問題的形式，即改述成另一個相當?shù)男问?，使得改換后的形式比較熟悉，能和自己已知的知識聯(lián)系起來；另一層是分解問題，即把問題分解成若干組成部分，把一個較大或較復雜的問題分解成一些“子問題”或“小問題”，再把每個小問題各個擊破，最后合攏起來就解決了整個問題．獲得轉(zhuǎn)化與分解的技巧，要依靠多解題、多思考、多總結經(jīng)驗，最好多看歷史上著名數(shù)學家是怎樣做到的．

猜就是猜想的意思．徐先生指出，一切科學領域的重大發(fā)現(xiàn)，大多是依靠合理猜想得出的．而猜想需要研究者不厭其繁的歸納、類比與細心觀察，所以要學好猜想的本身，必須培養(yǎng)3種品質(zhì)：勤奮、勇敢和細心．要學習歐拉，不怕麻煩，勤于計算，勤于觀察，大膽設想，細心求證．

析就是分析能力．培養(yǎng)分析能力的主要途徑是多做應用題，在解決應用問題過程中，需要使用數(shù)學中常用的語言、概念、符號，把問題中涉及的全部條件表述成數(shù)學形式，即關系式、方程式、幾何圖形及算法程序等．通過做應用題磨練抽象思考能力和分析能力．培養(yǎng)分析能力最常用的一種分析法是“逆推法”，通俗地說，就是倒轉(zhuǎn)過來研究問題的方法．當猜到一個問題的結論但不知如何著手證明時，可以把“結論”當做已知“條件”一步步倒退探索，摸清通向“結論”的道路和起點，最后再一步步返回結論．

賞就是鑒賞力，數(shù)學鑒賞力是指領會數(shù)學美的能力．數(shù)學美主要特征是指概念的簡單性，定理與公式的普遍性、統(tǒng)一性，定理結構的協(xié)調(diào)性，公式結構的對稱性，方法的精巧性等．感受數(shù)學美需要一個學習和領會的過程，只有對數(shù)學題材理解得越深刻，才能領會到“數(shù)學美”的享受，這樣就能越喜愛數(shù)學，越鉆越深，不會產(chǎn)生困倦和厭煩．

徐先生根據(jù)歷史上多位杰出數(shù)學家解決問題的方法，例如笛卡爾、歐拉、拉格朗日、高斯、阿貝爾、雅可比、伽羅瓦、龐加萊、臘馬奴揚等，指出倒退分析法、抽象分析法、嘗試法或試探法是分析解決數(shù)學難題的一般策略和手段．

當遇到一個問題不知如何下手時，就看一看它所要得到的“結論”是什么？問題就變?yōu)槿绾芜_到這個“結論”，但困難往往是不知道從哪里起步，這時最好的辦法就是從“結論”出發(fā)，也即把“結論”當做已知“條件”，一步步往回探索，這樣就摸清楚通向“結論”的道路，自然也就會找到這條路子起步的地方，然后再一步步返回結論，這種方法就稱為倒推分析法．

抽象分析法是通過分析，抓住問題實質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)換形式（即等價變形），以便達到化難為易、化繁為簡的目的．遇到較復雜的情況，還需要把已經(jīng)轉(zhuǎn)換后的問題進行分解（分解成各個組成部分或者分解為若干可能情形），然后各個擊破，以使問題獲得全部解決．這種方法包含如下的基本過程：第一步是必須使用數(shù)學語言、數(shù)學概念和數(shù)學符號把應用問題（或?qū)嶋H問題）表述成數(shù)學問題；第二步是對已經(jīng)表述成數(shù)學形式的數(shù)學問題再使用演繹推理或邏輯分析法或計算方法等去求得答案．

在幾何證題中，常常需要作些“補助線”，如果補助線作對了，問題即可迎刃而解．但正確有用的補助線有時并不是立刻就能找到的，這樣就需要左試右試，從失敗與成功中去發(fā)現(xiàn)正確的補助線，這就叫做嘗試法或試探法．

3.3 數(shù)學教學觀

無論是中學數(shù)學教材還是大學數(shù)學各門課程的教材，都毫無例外地把數(shù)學知識力求組織成演繹結構系統(tǒng)來進行教學．徐先生認為，這種只重視傳授演繹性數(shù)學知識，過分強調(diào)演繹推理的訓練，不利于培養(yǎng)青年一代的數(shù)學想象力和創(chuàng)造力，不但要能靈活地運用數(shù)學工具，還需要青年一代在科技上有所創(chuàng)新和發(fā)明．為了培養(yǎng)既有創(chuàng)造發(fā)明能力，又有邏輯論證能力的數(shù)學師資和學生，應該在中學和大專院校的數(shù)學教材中采用“歸納與演繹交互為用的原則”，不僅應該教學生運用科學歸納法試著去猜結論、猜條件、猜定理、猜證法，還要他們學會從探索性演繹法過渡到純形式的演繹法，能夠把預見到的合理命題或定理的證明一絲不茍地建立在邏輯演繹基礎上．

徐先生進一步指出，從方法論角度看，數(shù)學真理知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新，離不開對特殊實例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運用探索性推理等過程．所以，重要的事情是要教會學生運用科學歸納法從特殊例子中去發(fā)現(xiàn)出一般性的東西來．徐先生認為，歸納法和類比法常常被認為是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的重要方法，前者是從特殊過渡到一般的思想方法，后者是由彼及此的聯(lián)想方法．歸納和類比離不開觀察、分析和聯(lián)想，在數(shù)學教學中如果適當增加進這方面的有趣題材，對培養(yǎng)數(shù)學的觀察力、分析能力和聯(lián)想能力極有幫助．徐先生認為愛因斯坦所倡導的“探索性演繹法”是許多有創(chuàng)造力的數(shù)學工作者慣用方法去發(fā)現(xiàn)和建立定理和理論成果．這種演繹法作為推理出發(fā)點的前提或條件多半是不夠充分或比較模糊，推理的前提或假設往往是一種不穩(wěn)定的猜測，在推理的過程中常處于可更改的地位．

徐先生總結出，在數(shù)學教學中，既要發(fā)展學生的發(fā)散思維能力，又要培養(yǎng)他們的收斂思維能力；既要教會學生嚴格的邏輯推理，還要教會學生大膽進行不嚴格的猜想、聯(lián)想和合情推理（即波利亞倡導的方法）．因此，徐先生認為“歸納與演繹并用”的原則應是數(shù)學教學改革中一條值得重視的原則．

3.4 數(shù)學創(chuàng)造觀

徐先生對數(shù)學創(chuàng)造力給出了公式：數(shù)學創(chuàng)造力=有效知識量×發(fā)散思維能力×抽象分析能力×審美能力．徐先生認為，要從事跟上時代的創(chuàng)造性數(shù)學研究工作，如果缺乏必要的知識準備，就會寸步難行．在眾多的數(shù)學課程中，有兩門必要的知識卻往往被忽視，這兩門知識就是“數(shù)學發(fā)展史”和“數(shù)學（科學）方法論”．徐先生指出，這兩門知識必須列入知識準備中，因為數(shù)學史不僅能告訴人們已經(jīng)有了什么，還能教給人們?nèi)绾稳ピ鎏硎裁?，?shù)學史的學習還能使學生們不去為那些久已解決了的數(shù)學問題浪費時間和消耗精力，不在攻克數(shù)學問題中去重蹈數(shù)學前輩由于使用錯誤方法而導致失敗的覆轍．數(shù)學史還能告誡人們，一個陣地往往不是直攻的辦法所能奪取的，特別是在正面攻擊難以制勝之時，就要先行偵察并逐個占領主攻陣地周圍的據(jù)點，而后尋找隱蔽小道去攻克那個難以攻克的陣地．對于數(shù)學（科學）方法論或數(shù)學（科學）哲學，它向人們揭示了科學知識體系成長發(fā)展的一般規(guī)律，這對從事創(chuàng)造性活動的數(shù)學研究工作者和數(shù)學教師都會帶來其中的啟示和教益．

徐先生指出，歸納法、聯(lián)想法與類比法主要是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理（定理及公式）的有效手段．聯(lián)想是一種思維活動，簡單地說就是把不同事物聯(lián)系起來的一種思想方法，聯(lián)想也是一種能力，知識越豐富，聯(lián)想范圍便越廣闊，因而聯(lián)想能力越強．類比法就是對兩個或幾個相似的東西進行聯(lián)想，把它們中間某個較熟悉的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到和它相似的對象上去，從而作出相應的判斷或推理．

徐先生所指的歸納法與中學代數(shù)里“數(shù)學歸納法”不同，這里的歸納法是一般自然科學中用到的歸納法，稱為“經(jīng)驗歸納法”或“實驗歸納法”．就是從特殊到一般的思想方法，指把無數(shù)特殊事物中蘊含著某種共同性的東西或普遍關系找出來表述為一般性命題或普遍公式．運用數(shù)學歸納法進行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，要重視特例，耐心地觀察特例，善于分析特例，并從中猜想出普遍性的結論，這是使用歸納法的重要步驟．

一般來說，如果猜到了或者發(fā)現(xiàn)了一個命題之后，還必須利用數(shù)學歸納法或別種論證法去證明它，所以現(xiàn)代從事創(chuàng)造性的科研活動中，慣常采用如下的途徑和步驟（見圖2）：

圖2 歸納法與類比法在創(chuàng)造性工作中的途徑與步驟

數(shù)學直覺是抽象思維的起點，又是抽象思維的歸宿．數(shù)學直覺具有“了解事物整體”的作用，還有將細節(jié)“組合成和諧整體”的性能．數(shù)學直覺應包括人腦認識反映過程中的“美的直覺”“真?zhèn)蔚闹庇X”和“關系的直覺”等幾個方面，這些直覺又是相互聯(lián)系的．一切事物（包括作為數(shù)學概念背景的事物或?qū)ο螅┒继幵趯α⒔y(tǒng)一和普遍聯(lián)系的關系之中，在它們之間會呈現(xiàn)出某種對稱性、協(xié)調(diào)性和簡潔性，這些便構成“美的直覺”的內(nèi)容，數(shù)學知識學得越多，數(shù)學美的直覺意識越強，這種意識能幫助人們選取數(shù)學觀念間的最佳組合，形成新數(shù)學思想或概念，實現(xiàn)認識過程的飛躍．“真?zhèn)蔚闹庇X”的思維形式主要表現(xiàn)在猜想過程中，對科學進步有重要作用．“關系的直覺”主要包括“序”的直覺、“相似性”與“相關性”的直覺、對應關系的直覺、連續(xù)性的直覺，以及空間對稱性直覺等．聯(lián)想與類比常常憑借這種直覺，把一些表面上似乎無關的對象納入到同一個更高層次的理論框架中去．這些直覺不是天賦的，都是通過實踐成長起來的．

直覺與聯(lián)想這兩種思維形式互為因果，前者促進后者的展開，后者又反過來充實并發(fā)展前者的內(nèi)容．培養(yǎng)直覺與聯(lián)想能力首先要注意培養(yǎng)較廣泛的興趣，博覽群書，好學深思，多想問題，必須注重實踐，聯(lián)系實際，經(jīng)常動手去解決問題．正所謂“成功的科學家往往是興趣廣泛的人，他們的獨創(chuàng)精神可能來自他們的博學”．

徐先生認為，數(shù)學直覺作為一種思維運動形式來看，它是人腦對于數(shù)學對象事物（結構及其關系）的某種直接的領悟或洞察．是一種不包含普通邏輯推理過程（但可能包含著“合情推理”形式）的直接悟性，屬于發(fā)散思維范疇．數(shù)學直覺往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想的基礎上，有時以心理學上的“頓悟”形式出現(xiàn)．數(shù)學直覺是一種直接反映數(shù)學對象結構關系的心智活動形式，它往往構成思維與對象之間的直接聯(lián)系，并以直接推斷形式（例如洞察、預見或者合理猜想等形式）把握住對象關系的本質(zhì)．

徐先生指出了數(shù)學直覺在數(shù)學學習與數(shù)學創(chuàng)造中的重要價值，他認為學習數(shù)學和研究數(shù)學是互相促進，學習數(shù)學知識必須重視生動的直觀背景并采取分析研究態(tài)度，才能學得透、學得活．另一方面，研究工作過程中又必須隨時學習新知識、新工具，這樣才能開闊視野擴大聯(lián)想領域，獲取新的成果．數(shù)學直覺成為聯(lián)系數(shù)學學習與數(shù)學創(chuàng)造的關鍵環(huán)節(jié)，如果一個學生數(shù)學學習成績不錯，但是數(shù)學直覺沒有培養(yǎng)好，就很難在數(shù)學創(chuàng)造上有所成就．

想象是數(shù)學創(chuàng)造不可匱缺的科學浪漫主義素質(zhì)．在提出、創(chuàng)立概念時，在尋找思路時，需要歸納想象、類比聯(lián)想、觀察猜想、思路跳躍和思維發(fā)散．這種“神馳萬里，思接千載”的浪漫主義素質(zhì)對于數(shù)學家特別重要．想象力是數(shù)學創(chuàng)造的心理要素之一，作為產(chǎn)生新知識的科學研究，第一步是選題，這一步與想象力息息相關，研究者需要想象結果，預見研究的成敗；第二步是研究，也時時需要想象力和預見性，否則會做虛功，走彎路，乃至喪失信心，一事無成．想象需要常規(guī)的觀察猜想、類比聯(lián)想，也需要非常規(guī)的標新立異，突破禁區(qū)．不論常規(guī)還是非常規(guī)的想象，都需要知識作為支撐點，缺乏必要的知識，想象的頭腦就缺乏用來加工的原料，想象就是貧乏與微弱的．

徐先生認為數(shù)學創(chuàng)造需要美學思想與審美能力．審美能力是指心靈中感知數(shù)學中的和諧性、簡單性、對稱性及其奇異性的一種直覺能力．正如想象力不是文學家、藝術家的專利品，美也是數(shù)學探索的極佳境界．均衡、勻稱、和諧、簡潔、凝練、統(tǒng)一、整齊、不變、奇異和獨特等方式是數(shù)學美的重要表現(xiàn)．數(shù)學美的本質(zhì)就是數(shù)學關系結構系統(tǒng)與作為審美主體的人的意向的融合．按照發(fā)明心理學的觀點，任何數(shù)學科學的創(chuàng)造發(fā)明都產(chǎn)生于觀念的選擇，而最佳選擇的出現(xiàn)歸因于無意識里的“審美直覺”．“審美”是一種關于事物關系的“和諧性”與“簡單性規(guī)律”的直覺意識，這種意識能力是人腦經(jīng)歷了千百萬年進化而獲得的一種最高層次的心智本能，審美直覺自然成為發(fā)明心理學的理論核心了．除了數(shù)學審美直覺之外，還要分析研究數(shù)學模式的美學特征，發(fā)掘各種數(shù)學題材中美的因素，還應探討審美意識對創(chuàng)制數(shù)學模式和運用數(shù)學解決問題過程中的啟示作用[25-36]．

徐先生不但討論了數(shù)學創(chuàng)造力的內(nèi)涵，還給出了一個較完整的數(shù)學和其它科技創(chuàng)造性工作的歷程圖（見圖3）．

圖3 創(chuàng)造性工作的歷程

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XU Li-zhi’s Thought of Mathematics Education

SHEN Wei

(College of Mathematics and Big-Data Science, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China)

XU Li-zhi has made a creative contribution in the field of mathematical research, philosophy of mathematics and mathematics education. The constructing of XU Li-zhi’s thought of mathematics education is of great significance to the current mathematics education.Using the grounded theory research method, takes coding analysis of numerous mathematics educational works published by XU Li-zhi, XU Li-zhi’s educational thought was constructed. It was mainly composed of five parts: mathematical methodology, talent view, mathematics learning view, mathematics teaching view and mathematics creation view. They were interwoven and permeated each other. Summing up in one sentence for XU Li-zhi’s thought of mathematics education was “how to become mathematics creative talents”.

XU Li-zhi; mathematics education; mathematical creation

2018–11–01

廣東省高等教育教學改革項目——卓越視野下職前數(shù)學教師教學能力培養(yǎng)模式研究；惠州學院優(yōu)秀青年培育項目——數(shù)學教師核心素養(yǎng)研究（hzu201713）

沈威（1982—），男，安徽靈璧人，副教授，博士，主要從事數(shù)學課程與教學論研究．

G521

A

1004–9894（2019）01–0074–05

沈威．徐利治數(shù)學教育思想研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（1）：74-78．

[責任編校：張楠、陳漢君]