楊兆中，陳 倩，李小剛，鮮 菊，馮 波，杜 冰

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500；2.中國(guó)石油新疆油田公司，新疆克拉瑪依834000；3.中國(guó)石油西部鉆探克拉瑪依鉆井公司，新疆克拉瑪依834008；4.新疆克拉瑪依紅山油田有限責(zé)任公司研究所，新疆克拉瑪依834000）

鄂爾多斯盆地蘊(yùn)含豐富的油氣資源，杭錦旗區(qū)塊位于鄂爾多斯盆地北部，屬于典型的低滲透致密砂巖氣藏。目前，現(xiàn)場(chǎng)一般采用水平井分段壓裂技術(shù)進(jìn)行增產(chǎn)改造。水平井壓裂后產(chǎn)能預(yù)測(cè)可有效評(píng)價(jià)壓裂改造效果，以產(chǎn)能為目標(biāo)函數(shù)可優(yōu)化裂縫參數(shù)及布縫方案［1-6］。現(xiàn)在尚未有成熟的壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算軟件供現(xiàn)場(chǎng)使用。因此，有必要建立符合實(shí)際的水平井分段壓裂產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，并編制簡(jiǎn)單高效的產(chǎn)能計(jì)算軟件。GIGER等首次建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究壓裂水平井產(chǎn)能，但是該模型不能很好地耦合流體的流動(dòng)過(guò)程［7］。SOLIMAN等在此基礎(chǔ)上，將裂縫中流體的流動(dòng)考慮為徑向流，得到單一裂縫下水平井產(chǎn)能，再通過(guò)產(chǎn)能疊加得到多條裂縫下水平井產(chǎn)能［8］。OZKAN等研究單裂縫的解析法，運(yùn)用疊加原理得到壓裂后水平井產(chǎn)能［9］，但是，該方法對(duì)裂縫進(jìn)行理想化簡(jiǎn)化，即水力裂縫垂直水平井筒及裂縫間距相等，并忽略裂縫間的相互干擾。中國(guó)學(xué)者開展了大量關(guān)于分段壓裂水平井產(chǎn)能的研究［10-15］，郎兆新等運(yùn)用復(fù)位勢(shì)理論推導(dǎo)水平井產(chǎn)能公式［16-18］，該解析方法理論較為成熟。徐嚴(yán)波等通過(guò)離散裂縫，應(yīng)用復(fù)位勢(shì)理論和勢(shì)疊加原理等，建立壓裂水平井多條裂縫相互干擾的產(chǎn)能計(jì)算新模型［19］。曾凡輝等在此基礎(chǔ)上，考慮壓裂水平井裂縫段產(chǎn)量非均勻流入、裂縫內(nèi)變質(zhì)量以及多裂縫間的相互干擾，采用空間和時(shí)間離散技術(shù)，建立低滲透油藏壓裂水平井儲(chǔ)層滲流和裂縫流動(dòng)相耦合的非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算模型［20］。何軍等在裂縫離散的基礎(chǔ)上，應(yīng)用無(wú)限大地層點(diǎn)匯位勢(shì)理論、勢(shì)疊加原理及矩陣變換方法，推導(dǎo)了單裂縫壓裂水平井和多裂縫壓裂水平井產(chǎn)能計(jì)算線性方程組［21］。前人均未考慮啟動(dòng)壓力梯度，且對(duì)裂縫做了理想化假設(shè)，未討論不同裂縫形態(tài)及布縫方案對(duì)水平井產(chǎn)能的影響。因此，筆者基于點(diǎn)匯法離散裂縫，運(yùn)用位勢(shì)理論和勢(shì)疊加原理，考慮縫間干擾及啟動(dòng)壓力梯度、耦合儲(chǔ)層滲流與裂縫流動(dòng)，推導(dǎo)低滲透致密砂巖氣藏壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能計(jì)算模型，并分析不同裂縫形態(tài)及布縫方案下的水平井產(chǎn)能。

1 分段壓裂水平井產(chǎn)能模型建立

1.1 物理模型

低滲透致密砂巖氣藏水平井分段壓裂后，流體流動(dòng)過(guò)程為：基質(zhì)—裂縫—水平井井筒。物理模型假設(shè)條件如下：①無(wú)限大地層均質(zhì)各向同性，且頂?shù)追忾]，水平井井筒位于氣藏中部；②氣體在低滲透致密砂巖氣藏基質(zhì)中流動(dòng)存在啟動(dòng)壓力梯度，裂縫內(nèi)滲流符合達(dá)西定律；③裂縫垂直于水平井井筒，且完全穿透產(chǎn)層；④氣體在基質(zhì)和裂縫中等溫滲流，且只通過(guò)裂縫流向水平井井筒。

前人研究結(jié)果［22-23］表明，水平井套管射孔完井段內(nèi)多簇裂縫在競(jìng)爭(zhēng)延伸過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生明顯的應(yīng)力干擾作用，外側(cè)裂縫在延伸過(guò)程中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，形成彎裂縫，模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 彎裂縫示意Fig.1 Schematic of curved fracture

1.2 數(shù)學(xué)模型

以無(wú)限大地層中任一點(diǎn)的壓降公式為基礎(chǔ)，建立不穩(wěn)定滲流偏微分方程為：

初始條件為：

邊界條件為：

通過(guò)以上偏微分方程，結(jié)合氣體擬壓力函數(shù)及平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得無(wú)限大地層定流量點(diǎn)匯的壓降公式為：

每一簇彎裂縫離散后均形成n個(gè)點(diǎn)匯（圖2）。以水平井井筒和裂縫為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系（圖3），無(wú)論裂縫形態(tài)如何，均可以根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到第i簇裂縫第j個(gè)點(diǎn)匯對(duì)儲(chǔ)層中某點(diǎn)產(chǎn)生的壓降。由位勢(shì)理論和勢(shì)疊加原理，推導(dǎo)N簇裂縫存在時(shí)，t時(shí)刻無(wú)限大地層中某點(diǎn)（x，y）產(chǎn)生的壓降表達(dá)式為：

圖2 離散裂縫示意Fig.2 Schematic of discrete fracture

圖3 坐標(biāo)系示意Fig.3 Fracture distribution and its coordinate

在低滲透致密砂巖氣藏中，由于儲(chǔ)層物性差，往往存在啟動(dòng)壓力梯度。將啟動(dòng)壓力梯度項(xiàng)引入（5）式，則第i簇裂縫左翼尖端壓降公式為：

同理可得第i簇裂縫右翼尖端壓降公式為：

由于裂縫左右翼存在差異，因此將端部2個(gè)壓力的平均值作為第i簇裂縫的端部壓力，即：

考慮真實(shí)氣體，將擬壓力函數(shù)轉(zhuǎn)化為壓力，則：

對(duì)流體從地層到裂縫、裂縫到井筒的壓降公式 進(jìn)行耦合，將（9）式代入（10）式得產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型為：

考慮氣體從裂縫尖端到井筒的流動(dòng)為擬徑向 流，井筒周圍存在表皮傷害，引入表皮系數(shù)可得：

建立低滲透致密砂巖氣藏考慮啟動(dòng)壓力梯度及縫間干擾的壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，每簇裂縫可以得到1個(gè)方程，含有N個(gè)未知數(shù)的N個(gè)線性方程組構(gòu)成該模型。求解該線性方程組可得每簇裂縫的產(chǎn)量，求和即可計(jì)算水平井的產(chǎn)量，即：

2 實(shí)例應(yīng)用

鄂爾多斯盆地杭錦旗區(qū)塊錦58井區(qū)盒3層基礎(chǔ)數(shù)據(jù)包括：有效儲(chǔ)層厚度為10 m，基質(zhì)孔隙度為8.56%，基質(zhì)滲透率為0.45 mD，地層溫度為94℃，原始地層壓力為26 MPa，地層壓縮系數(shù)為3×10-4MPa-1，氣體黏度為0.02 mPa·s，天然氣偏差因子為0.957。水平井分段多簇壓裂每一段形成3簇裂縫，若裂縫不轉(zhuǎn)向則形成常規(guī)的直裂縫。2種形態(tài)裂縫的總裂縫半長(zhǎng)在平面內(nèi)相等，縫高與儲(chǔ)層厚度一樣。根據(jù)建立的產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型（（11）式），分別計(jì)算彎裂縫和直裂縫2種情況下的日產(chǎn)量和累積產(chǎn)量。

從模擬結(jié)果可以看出，彎裂縫與直裂縫日產(chǎn)量差值在2×104m3以內(nèi)，彎裂縫的產(chǎn)量較高；隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，彎裂縫與直裂縫日產(chǎn)量差值逐漸變小，且穩(wěn)定在0.5×104m3左右（圖4）。在生產(chǎn)初期，彎裂縫與直裂縫累積產(chǎn)量差值較小，隨后逐漸變大（圖5）。因此，水平井壓裂形成的彎裂縫比傳統(tǒng)直裂縫的增產(chǎn)效果好，前人對(duì)裂縫做出的理想化假設(shè)導(dǎo)致計(jì)算產(chǎn)量偏小。

當(dāng)簇間距較小時(shí)，由于較強(qiáng)的縫間應(yīng)力干擾作用，外側(cè)裂縫將發(fā)生嚴(yán)重彎曲，同時(shí)抑制中間裂縫的延伸。當(dāng)簇間距過(guò)大時(shí)，外側(cè)裂縫由于受干擾較弱則不會(huì)發(fā)生彎曲。因此，建議采用偏小的簇間距，但可以通過(guò)調(diào)整射孔完井參數(shù)（如射孔數(shù)、孔眼直徑）使中間裂縫變長(zhǎng)，同時(shí)獲得彎曲的外側(cè)裂縫［18］。

圖4 3簇裂縫日產(chǎn)量Fig.4 Daily production rate for three cluster fractures

圖5 3簇裂縫半年累積產(chǎn)量Fig.5 Cumulative production of three cluster fractures in half a year

3 布縫方案優(yōu)化

不同的裂縫形態(tài)及布縫方案對(duì)水平井產(chǎn)能影響較大，因此，基于現(xiàn)場(chǎng)情況及理論研究，在每段3簇和4簇裂縫下，選取裂縫導(dǎo)流能力、總裂縫半長(zhǎng)、縫長(zhǎng)比、間距比這4個(gè)裂縫參數(shù)，得到最優(yōu)的布縫方案。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是研究多因素多水平的一種設(shè)計(jì)方法，通過(guò)對(duì)正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，可以得出壓裂水平井的主要裂縫參數(shù)對(duì)產(chǎn)能的影響程度。裂縫參數(shù)包括：裂縫導(dǎo)流能力分別為30，40和50 D·cm，總裂縫半長(zhǎng)分別為300，400和500 m，縫長(zhǎng)比（Lf1/Lf2）分別為0.5，1和2，間距比（d1/d2）分別為1和2。根據(jù)4個(gè)裂縫參數(shù)作出4因素3水平正交試驗(yàn)方案（表1，表2）。

表1 3簇裂縫正交試驗(yàn)Table1 Orthogonal test of three cluster fractures

表2 4簇裂縫正交試驗(yàn)Table2 Orthogonal test of four cluster fractures

由每段3簇裂縫的9組正交試驗(yàn)結(jié)果（圖6）分析得出每個(gè)裂縫參數(shù)的最優(yōu)值，即裂縫導(dǎo)流能力為50 D·cm，總縫長(zhǎng)為500 m，縫長(zhǎng)比為2，間距比為2。該最優(yōu)組合下的布縫方案，增產(chǎn)效果最好。在每段4簇裂縫的9組正交試驗(yàn)結(jié)果（圖7）中，180 d累積產(chǎn)量最高的布縫組合與每段3簇裂縫的相同，因此推薦杭錦旗區(qū)塊水平井分段多簇壓裂段內(nèi)布縫方式為“U”型，即兩邊長(zhǎng)、中間短，且采用非均勻布縫模式，對(duì)每段4簇裂縫采用“兩邊疏，中間密”。

圖6 3簇裂縫不同方案下的累積產(chǎn)量Fig.6 Cumulative production of three cluster fractures under different schemes

圖7 4簇裂縫不同方案下的累積產(chǎn)量Fig.7 Cumulative production of four cluster fractures under different schemes

正交試驗(yàn)各影響因素水平對(duì)目標(biāo)的效應(yīng)極差可以反映主次因素的順序。分析每段3簇裂縫和4簇裂縫的效應(yīng)曲線（圖8，圖9），得到不同裂縫因素對(duì)低滲透致密砂巖氣藏水平井分段多簇壓裂產(chǎn)能的影響由強(qiáng)到弱依次為總裂縫半長(zhǎng)、縫長(zhǎng)比、裂縫導(dǎo)流能力、間距比?？偭芽p半長(zhǎng)越長(zhǎng)，水平井產(chǎn)量越高。但總裂縫半長(zhǎng)與經(jīng)濟(jì)成本相關(guān)，不能一味追求長(zhǎng)縫增產(chǎn)，因此在一定經(jīng)濟(jì)條件下，應(yīng)該適當(dāng)增加裂縫總長(zhǎng)以提高天然氣產(chǎn)量。

圖8 3簇裂縫的效應(yīng)曲線Fig.8 Effect curve of three cluster fractures

圖9 4簇裂縫的效應(yīng)曲線Fig.9 Effect curve of four cluster fractures

4 結(jié)論

在低滲透致密砂巖氣藏中，考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響，通過(guò)點(diǎn)匯法離散裂縫，再根據(jù)位勢(shì)理論和勢(shì)疊加原理，建立考慮裂縫間相互干擾的低滲透致密砂巖氣藏壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能計(jì)算模型。將裂縫離散成n個(gè)點(diǎn)匯，不僅可以計(jì)算直裂縫的產(chǎn)量，還可以計(jì)算因應(yīng)力干擾而轉(zhuǎn)向的彎裂縫的產(chǎn)量。

以鄂爾多斯盆地杭錦旗區(qū)塊錦58井區(qū)盒3儲(chǔ)層為靶區(qū)，將水平井壓裂形成的彎裂縫與常規(guī)直裂縫的日產(chǎn)量與累積產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明彎裂縫的產(chǎn)量更高，增產(chǎn)效果更好，前人對(duì)裂縫作出的理想化假設(shè)導(dǎo)致計(jì)算產(chǎn)量偏小。

針對(duì)不同裂縫參數(shù)分別建立了每段3簇和每段4簇裂縫的9組正交試驗(yàn)，研究了每段不同裂縫簇?cái)?shù)條件下裂縫參數(shù)對(duì)于水平井壓裂產(chǎn)能的影響規(guī)律。結(jié)果顯示，每段3簇裂縫以及每段4簇裂縫所得計(jì)算結(jié)果一致，即裂縫參數(shù)對(duì)壓裂產(chǎn)能的影響由強(qiáng)到弱依次為總裂縫半長(zhǎng)、縫長(zhǎng)比、裂縫導(dǎo)流能力、間距比，優(yōu)選出的最佳每段多簇壓裂布縫方案為“U”型布縫以及非均勻布縫模式，其中，每段4簇裂縫條件下建議“兩邊疏、中間密”進(jìn)行布縫。

符號(hào)解釋：

p——壓力，MPa；r——徑向距離，m；η——導(dǎo)壓系數(shù)，μm2·MPa（/mPa·s）；t——時(shí)間，s；p（r，0）——0時(shí)刻的地層壓力，MPa；pi——原始地層壓力，MPa；rw——井半徑，m；q ——產(chǎn)量，m3/s；μ ——?dú)怏w黏度，mPa·s；Ki——儲(chǔ)層滲透率，D；h ——儲(chǔ)層厚度，m；p（r，t）——t時(shí)刻的地層壓力，MPa；ψi——原始地層擬壓力，MPa2（/mPa·s）；ψ（x，y，t）——t時(shí)刻地層任一點(diǎn)處的擬壓力，MPa2（/mPa·s）；x——橫坐標(biāo)變量，m；y——縱坐標(biāo)變量，m；N——裂縫數(shù)，簇；G——啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；Ei——冪積分函數(shù)；x0——?dú)獠刂腥我稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)，m；y0——?dú)獠刂腥我稽c(diǎn)的縱坐標(biāo)，m；Gfij——第i簇裂縫j點(diǎn)質(zhì)量流量，kg/s；i——裂縫數(shù)，簇，其值為1,2，…，N；j——每簇裂縫離散點(diǎn)個(gè)數(shù)，個(gè)；xfij——第i簇裂縫j點(diǎn)的橫坐標(biāo)，m；yfij——第i簇裂縫j點(diǎn)的橫坐標(biāo)，m；ψ(x ,y,t)——第i簇裂縫左lfilfi翼尖端平均擬壓力，MPa2（/mPa·s）；xlfi——第i簇裂縫左翼尖端橫坐標(biāo)，m；ylfi——第i簇裂縫左翼尖端縱坐標(biāo)，m；xfi1——第i簇裂縫第1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，m；yfi1——第i簇裂縫第1個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，m；ψ(x,y,t)——第i簇裂縫右翼尖端平均擬壓rfirfi力，MPa2（/mPa·s）；xrfi——第i簇裂縫右翼尖端橫坐標(biāo)，m；yrfi——第i簇裂縫右翼尖端縱坐標(biāo)，m；xfin——第i簇裂縫第n個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，m；yfin——第i簇裂縫第n個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，m；re——供給半徑，m；z——?dú)怏w壓縮因子；ψ(x ,y,t)——第 i簇裂fifi縫尖端平均擬壓力，MPa2（/mPa·s）；p(x,y,t)——裂縫尖端平均fifi壓力，MPa；pSC——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)壓力，MPa；Z——?dú)怏w偏差因子；T——儲(chǔ)層溫度，K；TSC——標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)溫度，K；Qfij——第i簇裂縫第j點(diǎn)的氣體流量，m3/s；n——離散點(diǎn)匯數(shù)，個(gè)；pwfi——井底流壓，MPa；Qfi——第i簇裂縫的產(chǎn)量，m3/s；Kf——裂縫滲透率，μm2；wi——裂縫寬度，m；Lfli——第i簇裂縫左翼長(zhǎng)度，m；Lfri——第i簇裂縫右翼長(zhǎng)度，m；S——表皮系數(shù)；Q——水平井產(chǎn)量，m3/s。