徐成波

（四川旅游學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，成都 610100）

0 引言

Gertler和Waldman（1992）[1]在考慮無(wú)法觀測(cè)到的質(zhì)量變量時(shí)，提出了模型估計(jì)的方法，這一關(guān)鍵技術(shù)解決了長(zhǎng)期以來(lái)實(shí)證研究中無(wú)法獲得不可觀測(cè)的質(zhì)量數(shù)據(jù)的難題，在實(shí)證分析中產(chǎn)生了較大影響。Mocan（1995）[2]的模型在此基礎(chǔ)上有所變化，不僅省略了其中的許多項(xiàng)，而且還加入了虛擬變量。但二者的關(guān)鍵點(diǎn)都是采用了質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)，分析護(hù)理行業(yè)提高相應(yīng)的質(zhì)量水平測(cè)度成本會(huì)增加多少。

質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)的邏輯起點(diǎn)為古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的成本函數(shù)，但該函數(shù)并沒(méi)有考慮質(zhì)量因素（包括食品安全和產(chǎn)品質(zhì)量），即質(zhì)量因素是外生的。后來(lái)，Braeutigam和Pauly（1986）[3]作出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，將質(zhì)量納入成本函數(shù)，并檢驗(yàn)出質(zhì)量變量是內(nèi)生的，指出在此情況下如果沒(méi)有考慮質(zhì)量將導(dǎo)致有偏估計(jì)。但該文獻(xiàn)沒(méi)有提供此時(shí)如何估計(jì)成本函數(shù)的方法。Gertler和Waldman（1992）[1]在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步做出了上文所提到的貢獻(xiàn)。而Antle（2000）[4]將此方法引入到對(duì)食品安全生產(chǎn)方面的研究中，對(duì)食品安全作了類(lèi)似的處理，準(zhǔn)確測(cè)度出食品安全生產(chǎn)所產(chǎn)生的成本，從而為食品安全監(jiān)管政策的制定及評(píng)估提供科學(xué)的解釋。國(guó)內(nèi)學(xué)者王志剛等（2012）[5]首次采用了Antle（2000）[4]的方法，通過(guò)對(duì)全國(guó)334家實(shí)施HACCP的食品加工企業(yè)進(jìn)行實(shí)證研究。

從國(guó)內(nèi)外的研究來(lái)看，質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)在該類(lèi)研究中得到了廣泛應(yīng)用，在解決無(wú)法觀測(cè)到的產(chǎn)品質(zhì)量和食品安全變量時(shí)，具有很強(qiáng)大的功能。但質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)設(shè)定形式的科學(xué)性和復(fù)雜的數(shù)學(xué)特征還有待研究，這將有助于更靈活地使用該類(lèi)函數(shù)。

1 模型構(gòu)建

在此借用Gertler和Waldman（1992）[1]、Antle（2000）[4]的分析框架，引入質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)C=C（Y,S,Q,W,K）和導(dǎo)出的均衡食品安全方程S=S（Q,W,K,P,Z），其中，C是總成本，Y是總產(chǎn)量，S是食品安全，Q是產(chǎn)品質(zhì)量，W是要素價(jià)格，K是資本，P是產(chǎn)品價(jià)格，Z是刻畫(huà)市場(chǎng)需求狀況的變量，包括經(jīng)濟(jì)和人口特征等。從目前國(guó)內(nèi)外的研究來(lái)看，各種文獻(xiàn)對(duì)質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)均采取了超越對(duì)數(shù)成本函數(shù)形式，該函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)研究中最頻繁使用的靈活函數(shù)形式，在眾多奇異的函數(shù)形式中成為最可靠與最受歡迎的函數(shù)。其特征為包含每個(gè)解釋變量的一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和變量之間的交互項(xiàng)①將式（1）設(shè)定為超越對(duì)數(shù)成本函數(shù)形式時(shí)，對(duì)于變量S而言，還存在一些項(xiàng)lnSlnY、lnSlnK、lnSlnW、lnSlnQ；因lnSlnY與變量Y構(gòu)成的lnYlnS相等，故任選擇一項(xiàng)即可。其他變量的構(gòu)造也作類(lèi)似處理。：

其中，h=1,???,H種生產(chǎn)要素，υ為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，α為涉及食品安全變量S的所有項(xiàng)，等于αyslnYlnS+1/2ηss（lnS）2。由式（1）可導(dǎo)出第h種要素的成本份額方程：

在實(shí)證分析中，由式（1）超越對(duì)數(shù)成本方程和式（2）要素成本份額方程組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，將均衡食品安全方程帶入其中，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型，采用似不相關(guān)估計(jì)（簡(jiǎn)記SUR），以提高估計(jì)的效率，最終通過(guò)系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型的參數(shù)求解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)。

如果上述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)記為Y=Xβ+ε，那么運(yùn)用SUR的參數(shù)估計(jì)量可表達(dá)為[6]：

其中，Ω為擾動(dòng)項(xiàng)ε的方差-協(xié)方差矩陣。在式（3）中存在的前提條件是Ω為非奇異矩陣。這意味著，如果Ω為奇異矩陣，那么就難以運(yùn)用SUR來(lái)估計(jì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，這是此類(lèi)實(shí)證分析需要著重解決的一個(gè)重要問(wèn)題。

2 模型特征分析

2.1 超越對(duì)數(shù)成本方程為二階泰勒展開(kāi)式

為說(shuō)明式（1）設(shè)置的科學(xué)性，提出以下命題：

命題1：超越對(duì)數(shù)成本方程為質(zhì)量調(diào)整成本函數(shù)的二階泰勒近似。

證明：假定一元函數(shù)y=f（x）在領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)、可微，并且n階導(dǎo)數(shù)存在。則y=f（x）在點(diǎn)x0處的泰勒展開(kāi)式為：

多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)形式與一元函數(shù)類(lèi)似，只是由于前者向量乘積表達(dá)式的復(fù)雜性，造成了二者表達(dá)形式上的差異。

將上文式（1）記為：

對(duì)式（5）中解釋變量X賦初始值，即分別為lnY0,lnK0,lnW0,lnQ0,lnS0。根據(jù)上述式（4）泰勒展開(kāi)式的形式，式（5）二階以下的泰勒展開(kāi)式各項(xiàng)分別為：零次項(xiàng)lnC0=C（lnY0,lnK0,lnW0,lnQ0,lnS0），一 次 項(xiàng) g（lnX0）T（lnX-lnX0），二 次 項(xiàng)（lnX-lnX0）TH（lnX0）（lnX-lnX0）。其中，一次項(xiàng)中的 g（lnX0）為梯度形式，可表達(dá)為：

二次項(xiàng)中的H（lnX0）為海塞矩陣形式，可表達(dá)為：

一次項(xiàng)和二次項(xiàng)中的lnX-lnX0可表達(dá)為[lnY-lnY0,lnK-lnK0,lnW-lnW0,lnQ-lnQ0,lnS-lnS0]T

于是式（5）的二階泰勒近似可表達(dá)為：

令g0≡g（lnX0）、H0≡H（lnX0），則式（8）可整理為：

結(jié)合式（5）中的lnX和式（7）H0的形式可以知道，式（9）中 （lnX）TH0?lnX0和 （lnX0）TH0?lnX展開(kāi)為一系列標(biāo)量的乘積，而多個(gè)標(biāo)量的乘積可交換相應(yīng)的位置，故（lnX）TH0?lnX0=（lnX0）TH0?lnX；如果式（5）二階偏導(dǎo)連續(xù)可微，根據(jù)楊氏定理（Young "s Theorem），那么，式（7）海塞矩陣H為對(duì)稱(chēng)方陣，即H0=HT0。進(jìn)一步可以得到：（lnX）TH0?lnX0=（H0?lnX0）T?lnX。這樣，式（9）可變?yōu)椋?/p>

將式（5）省略了的三階以上泰勒展開(kāi)式各項(xiàng)統(tǒng)一納入擾動(dòng)項(xiàng)u中，那么式（10）可精確地表達(dá)為：

將式（5）lnC0、式（6）g0和式（7）H0帶入式（12）進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)一系列較為繁瑣的計(jì)算整理，便可得到上文式（1）超越對(duì)數(shù)成本方程。限于篇幅原因，在此省略這一過(guò)程。

綜合上述分析可知，超越對(duì)數(shù)成本方程為在各解釋變量初始值lnY0、lnK0、lnW0、lnQ0和lnS0的二階泰勒近似。從式（12）還可以看出，上文式（1）超越對(duì)數(shù)成本方程各系數(shù)為解釋變量初始值、關(guān)于解釋變量初始值的梯度和關(guān)于解釋變量初始值的海塞矩陣的線(xiàn)性組合。

證畢。

2.2 超越對(duì)數(shù)成本方程相關(guān)參數(shù)約束條件

命題2：超越對(duì)數(shù)成本方程參數(shù)滿(mǎn)足以下條件

證明：為簡(jiǎn)化分析，暫時(shí)省略上文式（1）超越對(duì)數(shù)成本方程的食品安全變量S，即省略α，相應(yīng)地，式（2）要素成本份額方程也就不存在lnS一項(xiàng)，這并不影響整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程①如果不省略食品安全變量S，那么在將均衡食品安全方程帶入式（1）超越對(duì)數(shù)成本方程時(shí)，只會(huì)增加繁瑣的計(jì)算過(guò)程。在合并整理以后，整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程與省略食品安全變量S的情況完全類(lèi)似。。將式（2）按h種要素展開(kāi)：

將式（5）按 h種要素記為C（lnY,lnS,lnQ,lnW1,lnW2,…,lnWH,lnK）=lnC，假定h種要素的價(jià)格均增加λ倍，由上文式（5）可得：

在式（14）中，結(jié)合式（13）所隱含的約束條件，可得出：

如果式（1）是關(guān)于各種要素價(jià)格的一次齊次函數(shù)，那么由式（5）可得：

式（15）和式（16）為完全不同的兩個(gè)式子，由此可知，命題2的約束條件是由和對(duì)稱(chēng)條件γww?hj=γww?jh推導(dǎo)出來(lái)的，而并不涉及超越對(duì)數(shù)成本方程是否為一次齊次函數(shù)②Gertler and Waldman（1992）、Antle（2000）認(rèn)為參數(shù)約束是由對(duì)稱(chēng)矩陣假定和超越對(duì)數(shù)成本方程為各種要素價(jià)格的一次齊次函數(shù)兩個(gè)條件推導(dǎo)得出，這是不正確的。。

證畢。

2.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣為奇異矩陣

命題3：超越對(duì)數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣為奇異矩陣。

證明：假定上文式（2）H個(gè)要素成本份額方程組成系統(tǒng)模型，而系統(tǒng)模型的擾動(dòng)項(xiàng)為ε，即ε=[ε1ε2…εH]T，則那么：

從式（18）可以看出，Ω為非奇異矩陣是保證上文式（3）SUR參數(shù)估計(jì)量存在的必要條件。假定上文式（2）的擾動(dòng)項(xiàng)依然具有零均值的特性，即Eε=0；那么由式（17）可得：

其中，?為克羅內(nèi)克爾乘積（Kronecker product），Σ?IH表示矩陣Σ每一個(gè)元素與IH相乘。根據(jù)行列式性質(zhì)，將式（19）Σ的行列式的第1行至第H-1行加到第H行，結(jié)果為：

推論1：在H個(gè)要素成本份額方程組成的系統(tǒng)模型中，加入超越對(duì)數(shù)成本方程，依然沒(méi)有改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣的奇異性。

推論1的證明與命題3的證明類(lèi)似，限于篇幅，省去證明過(guò)程。命題3意味著超越對(duì)數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型不能用SUR進(jìn)行估計(jì)，因?yàn)樵诖讼到y(tǒng)結(jié)構(gòu)模型框架下，式（3）并不成立，這是在實(shí)證分析中極易犯的一個(gè)嚴(yán)重錯(cuò)誤。為解決這一問(wèn)題，提出以下推論：

推論2：在H個(gè)要素成本份額方程和超越對(duì)數(shù)成本方程組成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型中，“任意”去掉一個(gè)成本份額方程將改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣的奇異性。

推論2的證明與命題3的證明類(lèi)似，限于篇幅，省去證明過(guò)程。

2.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣奇異性處理過(guò)程

延續(xù)推論2，為解決系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型擾動(dòng)項(xiàng)方差-協(xié)方差矩陣奇異性問(wèn)題，提出以下命題：

命題4：“任意”去掉一個(gè)成本份額方程指在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型中，超越對(duì)數(shù)成本方程的被解釋變量和要素價(jià)格解釋變量同除以被剔除的成本份額方程所對(duì)應(yīng)的要素價(jià)格；剩下的H-1個(gè)要素成本份額方程的要素價(jià)格解釋變量也同除以被剔除的成本份額方程所對(duì)應(yīng)的要素價(jià)格。

證明：與命題2的證明類(lèi)似，為簡(jiǎn)化分析，也省略上文式（1）中的食品安全變量S。

如同推論2的證明，不失一般性，假定“任意”去掉一個(gè)要素成本份額方程，比如SH。那么，由命題2的約束條件可得：

將式（21）的約束條件分別帶入上文中式（1）和式（2）H-1個(gè)要素成本份額方程，并經(jīng)過(guò)較為繁瑣的整理后，得到：

式（22）和式（23）為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型去掉要素成本份額方程SH的表現(xiàn)形式。事實(shí)上，在式（23）中，通過(guò)估計(jì)H-1個(gè)要素成本份額方程，然后根據(jù)式（21）的約束條件，即可求出第H個(gè)要素成本份額方程的參數(shù)，從而得到第H個(gè)要素成本份額方程。

證畢。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文關(guān)于超越對(duì)數(shù)成本方程和要素成本份額方程組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型的特征分析，不僅給出了構(gòu)建該模型的嚴(yán)格證明，而且對(duì)于進(jìn)一步拓展該類(lèi)模型具有重要啟示。比如，在式（1）中可根據(jù)需要進(jìn)一步分析方程三次以上的項(xiàng)，以考察更多關(guān)于食品安全生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。并且，不可觀測(cè)的變量食品安全S均放入α，這正是面板方程的標(biāo)志性特征，可將超越對(duì)數(shù)成本方程拓展為面板形式。至于α與其他解釋變量是否相關(guān)，需采用相關(guān)的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，決定式（1）的模型形式選擇問(wèn)題，即為混合效應(yīng)、固定效應(yīng)還是隨機(jī)效應(yīng)。意味著，式（1）可通過(guò)α的變化可以設(shè)定為多種形式，從而能夠有效地解釋當(dāng)前各種文獻(xiàn)對(duì)超越對(duì)數(shù)成本方程不同的設(shè)定形式，今后將在隨后完成這些拓展研究。