變排量非對稱軸向柱塞泵控制特性分析

黃家海 賀 偉 郝惠敏 權 龍

(1.太原理工大學機械與運載工程學院， 太原 030024；2.太原理工大學新型傳感器與智能控制教育部重點實驗室， 太原 030024)

0 引言

目前泵控技術在泵控雙活塞桿缸系統(tǒng)中得到廣泛應用[1-2]；但對采用單活塞桿缸作為執(zhí)行機構的系統(tǒng)，泵控技術尚未得到廣泛應用，主要原因是單活塞桿缸有桿腔和無桿腔面積不相等，使得通過兩腔的流量也不相等，從而限制了泵控技術的應用[3-5]。為解決單活塞桿缸兩腔流量不相等的問題，LODEWYKS[6]提出采用液壓變壓器或2臺同軸電液比例變量泵解決流量匹配問題；RAHMFELD[7]提出采用兩個液控單向閥來補償單活塞桿缸兩腔流量的不平衡，基本策略是將不平衡流量通過液控單向閥補充到低壓側。上述解決方案通常需要輔助閥或泵，造成液壓系統(tǒng)回路復雜，同時伴隨著能耗損失。

文獻[8-10]提出一種具有3個獨立吸、排油口(油口A、B、T)的非對稱軸向柱塞泵，其中油口A與單活塞桿缸的無桿腔連接，油口B與單活塞桿缸的有桿腔連接，油口T連接蓄能器。在理論分析基礎上，試制出定排量非對稱軸向柱塞泵，對該泵的輸出壓力特性、容積效率和噪聲等開展了研究。文獻[11-13]將定排量非對稱軸向柱塞泵應用到挖掘機動臂勢能回收系統(tǒng)中，由于采用變轉速法改變泵的輸出流量，使得系統(tǒng)結構異常復雜。因此，開展非對稱軸向柱塞泵變排量特性的研究具有重要意義。文獻[14]對一種變排量非對稱軸向柱塞泵輸出特性進行仿真研究，并進行了初步的試驗驗證，但研究內容并未涉及到變排量控制特性研究。

在文獻[11-13]研究基礎上，本文提出一種基于斜盤擺角位置反饋的變排量非對稱軸向柱塞泵控制策略，建立變排量控制機構的數學模型，運用近似線性化及降階的方法對影響其動態(tài)性能的相關因素進行探討，在此基礎上設計相應的變排量控制策略。在AMESim中建立變排量非對稱軸向柱塞泵電液仿真模型，對其斜盤受力和動態(tài)特性進行仿真，并搭建變排量非對稱軸向柱塞泵測試平臺，對其動態(tài)特性進行測試。

1 數學模型建立

1.1 工作原理

變排量非對稱軸向柱塞泵(Variable-displacement asymmetric axial piston pump, VDAAPP)控制單活塞桿缸原理如圖1所示，主要由VDAAPP、單活塞桿缸、溢流閥、單向閥和蓄能器組成。其中，VDAAPP由泵體、伺服比例閥、輔助油源、變量缸、角位移傳感器以及數字控制器等部分組成。角位移傳感器采集斜盤擺角信號，與給定信號比較，誤差經控制器運算，輸出到伺服比例閥放大器中，控制伺服比例閥的閥芯開度，從而改變變量缸活塞位移和斜盤擺角，最終實現精確的變排量控制。

VDAAPP結構如圖2所示，9個柱塞均勻地安裝在缸體的柱塞孔中，柱塞的頭部安裝有滑靴，滑靴在回程機構的作用下始終貼著斜盤表面，斜盤相對于缸體平面有一傾斜角α，通過變量缸控制傾斜角α，即可達到改變柱塞泵排量的目的。如圖2中A-A視圖所示，VDAAPP配流盤上加工有3個獨立的配流窗口，即配流窗口A、B和T。其中配流窗口B和T的周向包角根據單活塞桿缸有桿腔和無桿腔的面積比確定。假設有桿腔和無桿腔的面積比為η，則通過對配流窗口B和T的周向包角進行設計，從而使通過窗口A、B和T的流量比為1∶η∶(1-η)。

圖2 VDAAPP結構示意圖Fig.2 Schematic of structure of VDAAPP1.伺服比例閥 2.變量缸 3.缸體 4.斜盤 5.傳動軸 6.柱塞 7.配流盤

1.2 數學模型

根據現有軸向柱塞泵流量計算表達式[15]，可求出通過配流窗口B的流量

(1)

式中N——柱塞個數

Ap——柱塞橫截面積

r——柱塞分布圓半徑

n——缸體轉速

由于α較小，存在tanα≈α，則式(1)可簡化為

(2)

根據圖3所示斜盤受力狀態(tài)，得到斜盤動力學方程為

(3)

式中I——斜盤相對于y軸的轉動慣量

C——粘性阻尼系數

F——變量缸對斜盤的作用力

L——力F相對于y軸的力臂

Fn——第n個柱塞滑靴組件對斜盤的作用力

Ln——力Fn相對于y軸的力臂

需指出的是，式(3)僅考慮了柱塞滑靴組件作用在斜盤上的力矩、變量缸作用在斜盤上的力矩和斜盤的慣性力矩以及摩擦力矩，并將斜盤和支撐軸承的摩擦力矩折算到阻尼系數C中。

圖3 VDAAPP斜盤受力示意圖Fig.3 Swashplate force diagram of VDAAPP1.變量缸 2.柱塞 3.斜盤 4.配流盤

根據圖3斜盤受力狀態(tài)，則變量缸對斜盤的作用力可表示為

(4)

(5)

式中m——變量缸活塞質量

Ac——變量缸活塞面積

d1——變量缸活塞直徑

d2——變量缸活塞桿直徑

p1——變量缸上腔壓力

p2——變量缸下腔壓力

k——變量缸對中彈簧剛度

根據圖3斜盤受力狀態(tài)，不考慮柱塞與缸體間的庫倫摩擦力和粘性阻尼，則第n個柱塞滑靴組件對斜盤的作用力可表示為

(6)

式中mp——柱塞質量

pn——第n個柱塞腔的壓力

θn——第n個柱塞的轉角

ω——缸體角速度

由圖3可知，Fn的力臂Ln可表示為(由于斜盤擺角α較小，secα≈1)

Ln=rsinθnsecα≈rsinθn

(7)

由于柱塞等間距分布在缸體的柱塞孔中，滿足以下關系[16]

(8)

將式(4)、(6)～(8)代入式(3)得

(9)

(10)

式中Tp——柱塞滑靴組件對斜盤的合力矩

文獻[17-18]認為柱塞腔壓力pn在通過過渡角時呈近似線性變化，則第n個柱塞通過配流盤不同位置時，柱塞腔對應壓力pn為

(11)

式中pA——柱塞泵A口壓力

pB——柱塞泵B口壓力

pT——柱塞泵T口壓力

β1——配流窗口B周向包角

γ1——柱塞從配流窗口T(或A)到配流窗口A(或B)的等效壓力過渡角

γ2——柱塞從配流窗口B到配流窗口T的等效壓力過渡角

當斜盤擺角分別為0°<α≤15°和-15°≤α<0°時，柱塞轉動一周，柱塞腔壓力變化情況分別如圖4所示。當斜盤擺角α=0°時，柱塞腔體積不變，其壓力完全由吸(排)油口壓力確定。

圖4 不同斜盤擺角下配流盤壓力分布示意圖Fig.4 Schematic of pressure distribution on valve plate with different swashplate angles

將式(11)代入式(10)可知，柱塞滑靴組件對斜盤的合力矩是周期脈動的。對于9柱塞的VDAAPP而言，當轉速為2 000 r/min時，該合力矩脈動頻率將達到300 Hz，此頻率遠高于伺服比例閥控制變量缸的頻率，因此，本研究只需考慮合力矩的平均值對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響[16]，Tp可使用其積分平均值來代替

(12)

伺服比例閥頻寬約為系統(tǒng)液壓固有頻率的3～5倍，因此伺服比例閥可簡化為一階系統(tǒng)[19]

(13)

式中Kv——螺線管力常數

ui——輸入電壓T1——時間常數

xv——閥芯位移

設pL=p1-p2，由于變量機構采用壓力為ps的輔助恒壓源，因此伺服比例閥在零工作點附近的線性化流量方程為

qL=Kqxv-KcpL

(14)

式中qL——負載流量

Kq——流量增益

Kc——流量壓力系數

假定伺服比例閥與變量缸的連接管路對稱且短而粗，管路中的壓力損失和管路動態(tài)可以忽略；變量缸每個工作腔內各處壓力相等，油溫和體積彈性模量為常數；變量缸內、外泄漏均為層流，則變量缸流量連續(xù)方程為

(15)

式中Ct——變量缸總泄漏系數

βe——有效體積彈性模量

Vt——總壓縮容積

2 模型降階和控制器設計

式(9)、(13)～(15)表示了一個四階的系統(tǒng)，其中伺服比例閥輸入電壓ui和柱塞滑靴組件對斜盤的合力矩Tp為輸入，斜盤擺角α為輸出。

2.1 模型降階

(16)

其中

由于總壓縮容積Vt較小，同時有效體積彈性模量βe很大，因此，ε是一個很小的正數。運用奇異攝動法[20-21](設ε=0)，式(16)可表示為

0=-acx2-(Ct+Kc)x3+Kqx4

(17)

因此，模型可降階為

(18)

由于變量缸總泄漏系數Ct和流量壓力系數Kc較小，運用奇異攝動法(設a2C1=0)，式(18)可表示為

(19)

因此，模型可降階為

(20)

2.2 控制器設計

(21)

圖5 VDAAPP閉環(huán)系統(tǒng)控制框圖Fig.5 Control block diagram of closed loop system of VDAAPP

圖6 VDAAPP的AMESim模型Fig.6 AMESim model of VDAAPP

由以上分析可知，N(s)為非常大的正數，D(s)和M(s)相比N(s)較小。則G(s)為很小的值，由干擾u2引起的誤差很小。因此，選擇反饋控制。假設u2=0，則u1作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數可表示為

(22)

若多項式M(s)+C(s)N(s)為二階多項式，則系統(tǒng)可保證其穩(wěn)定性。因此，選擇比例控制(P)或比例微分控制(PD)是恰當的。

基于以上分析，同時考慮系統(tǒng)響應的快速性，選擇PD控制器，C(s)=kds+kp。則閉環(huán)傳遞函數可表示為

(23)

式中kp——比例系數

kd——微分時間常數

從式(23)可以看出，只要比例系數選擇合理，高頻未建模項就不會被激發(fā)，研究中采用的比例微分控制(PD)可使得系統(tǒng)矩陣的特征值都在S平面左半平面，確保閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在低頻段，系統(tǒng)近似為一階動態(tài)系統(tǒng)，對于階躍輸入沒有超調。VDAAPP頻響主要受變量缸活塞面積Ac，變量缸作用力臂L(式(23)中ac=AcL)，伺服比例閥流量增益Kq以及比例系數kp影響。

3 VDAAPP動態(tài)性能仿真分析

本質上VDAAPP是一個非線性系統(tǒng)，為盡可能準確地了解排量切換過程中柱塞泵的動態(tài)特性，以及相關狀態(tài)變量在排量切換過程中的變化情況。利用AMESim對VDAAPP進行仿真。圖6為VDAAPP的AMESim模型，模型中關鍵元件參數如表1所示。其中斜盤受力模塊通過采集每個柱塞滑靴組件對斜盤的合力矩Fn、轉角位置θn以及斜盤的擺角α，對柱塞滑靴組件對斜盤的合力矩Tp進行計算。

表1 VDAAPP主要參數Tab.1 Main parameters of VDAAPP

當吸油口A壓力為0 MPa，排油口T壓力為3 MPa，排油口B壓力分別為10、20 MPa時，由式(12)及AMESim仿真得到的斜盤變量阻力矩如圖7所示?？梢钥闯觯煞抡娴玫降男北P變量阻力矩是圍繞由式(12)計算得到的平均阻力矩上下波動的周期性力矩，且具有很高的脈動頻率。因此，進行非對稱軸向柱塞泵設計時，可使用式(12)作為斜盤變量阻力矩的估算公式。同時可以看出，斜盤為正擺角(0°<α≤15°)時，斜盤變量阻力矩為較大的單向力矩；當斜盤為負擺角(-15°≤α<0°)時，斜盤變量阻力矩為較小的正負脈動力矩，與普通斜盤式軸向柱塞泵相似，通常在進行柱塞泵設計時可將此力矩忽略。

圖7 排油口B壓力pB對斜盤變量阻力矩的影響Fig.7 Effect of pressure pB of discharge port B on resistance torque of swashplate

當排油口B壓力分別為0、10、20 MPa時，VDAAPP斜盤對方波階躍輸入信號的響應如圖8所示，可以看出斜盤由最大擺角切換到最小擺角的上升時間分別為54、90、281 ms，這是由于排油口B壓力增加使得斜盤變量阻力矩增加(圖7a)。變量缸為克服斜盤變量阻力矩，使得輔助恒壓源作用在伺服比例閥閥口的壓降減小，相當于等效降低了流量增益，從而降低了斜盤擺角的響應速度。

圖8 排油口B壓力pB對斜盤階躍響應的影響Fig.8 Effect of pressure pB of discharge port B on step response of swashplate

此時可通過適當提高輔助油源壓力ps，以增加伺服比例閥閥口壓降，提高斜盤擺角減小時斜盤的響應速度。圖9為排油口B壓力為20 MPa，輔助油源壓力ps分別為7、10、13 MPa時，VDAAPP斜盤擺角階躍響應曲線。隨著供油壓力ps升高，斜盤在擺角減小過程中的響應時間明顯縮短。

圖9 油源壓力ps對斜盤階躍響應的影響Fig.9 Effect of oil source pressure ps on step response of swashplate

提高輔助恒壓源壓力ps可以提高系統(tǒng)的動態(tài)響應，但會增加系統(tǒng)能耗。由圖7可知，斜盤為正擺角時阻力矩最大，且為使斜盤擺角增大的單向力矩；斜盤為負擺角時阻力矩較小，且為正負脈動的力矩。因此，在變量缸設計時可增大圖2中變量缸下腔的活塞面積以減小ps；同時配合非對稱流量的伺服比例閥，以增加非對稱變量缸大腔的進油速度。

選擇大腔活塞直徑為40 mm，小腔活塞直徑為32 mm的非對稱變量缸，額定流量為：qv(P→A)=24 L/min、qv(P→B)=12 L/min、qv(A→T)=24 L/min及qv(B→P)=12 L/min(壓降為7 MPa)的非對稱伺服比例閥。當輔助油源壓力為7 MPa、排油口B壓力為20 MPa時，斜盤擺角的階躍響應曲線如圖10所示，可以看出斜盤由最大擺角切換到最小擺角的響應時間為80 ms，由最小擺角切換到最大擺角的響應時間為54 ms。在不提高輔助油源壓力的情況下，很好地改善了VDAAPP斜盤擺角增大和減小過程中，響應速度不同的問題。

圖10 采用非對稱伺服比例閥和非對稱變量缸的斜盤階躍響應Fig.10 Swashplate step response using asymmetric servo proportional valve and asymmetrical variable cylinder

當排油口B壓力為10 MPa，微分時間常數kd為0.01，比例系數kp分別為1、3、20時，VDAAPP斜盤對方波階躍輸入信號的響應如圖11所示，可以看出隨著kp的增大，斜盤擺角的響應時間逐漸縮短，當kp超過3后繼續(xù)增大比例系數，響應時間沒有明顯的縮短，這是由于伺服比例閥開口量達到最大，輸出流量飽和所致。同時可以發(fā)現，隨著kp的增大，系統(tǒng)的高頻項被激發(fā)，斜盤擺角響應產生了超調和振蕩。

圖11 比例系數kp對VDAAPP階躍響應特性的影響Fig.11 Effect of proportional gain kp on step response of swashplate

4 VDAAPP試驗測試

圖12為VDAAPP測試系統(tǒng)原理圖，圖13a為VDAAPP測試系統(tǒng)實物圖，圖13b為去除后泵蓋的測試泵實物圖。如圖12所示，電動機驅動被測泵，泵排油口B、T的壓力分別通過節(jié)流閥10和節(jié)流閥8設定，溢流閥11和溢流閥9作安全閥使用。恒壓源作控制油源，數字控制器、伺服比例閥和變量缸控制斜盤擺角。試驗時使用DSpace采集斜盤的擺角信號，并為伺服比例閥提供控制信號。試驗過程中使用的元件與仿真過程中的元件參數一致。

圖12 VDAAPP測試系統(tǒng)原理圖Fig.12 Schematic of VDAAPP test system1.泵體 2.電動機 3.變量缸 4.伺服比例閥 5.輔助油源 6.數字控制器 7.角位移傳感器 8、10.節(jié)流閥 9、11.溢流閥

圖13 VDAAPP測試系統(tǒng)實物圖Fig.13 Test diagram of VDAAPP1.伺服比例閥 2.角位移傳感器 3.變量缸 4.配流窗口A 5.配流窗口T 6.配流窗口B 7.配流盤

當電動機轉速為600 r/min、斜盤擺角為15°時，調節(jié)節(jié)流閥的開度使排油口B、T的壓力分別為15、10 MPa。當斜盤擺角變化為(7.5sin(0.4πt-0.5π)+7.5)°時，排油口B、T壓力和流量響應曲線如圖14所示，可以看出VDAAPP具有較好的動態(tài)性能，同時排油口流量qB∶qT約等于3∶2。

當電動機轉速為1 500 r/min、斜盤擺角為10°時，調節(jié)節(jié)流閥的開度使排油口B、T的壓力分別為10、3 MPa；設置比例系數kp=3、微分時間常數kd=0.01；給定的斜盤擺角在0.25 s時由0°階躍為10°。當電動機轉速為600 r/min時重復以上步驟，可得排油口B的壓力和排油口B、T的流量變化情況分別如圖15所示。因流量計頻響較低，因此只研究流量計的穩(wěn)態(tài)數值。

圖14 0.2 Hz輸入信號下VDAAPP響應Fig.14 Response of VDAAPP under 0.2 Hz input signal

圖15 不同轉速下VDAAPP階躍響應Fig.15 Step response of VDAAPP at different speeds

由圖15a可以看出，使用PD控制，在kp=3、kd=0.01的情況下可實現排量的無超調控制。當轉速為1 500、600 r/min時，斜盤擺角由0°階躍至10°，其上升時間分別為50、100 ms，具有較高的響應速度。從圖15b可看出，轉速為1 500、600 r/min時，穩(wěn)態(tài)條件下兩個排油口的流量分別為24.3、16.1 L/min，9.6、6.4 L/min。

當電動機轉速為1 500 r/min、斜盤擺角為10°時，調節(jié)節(jié)流閥的開度使排油口B、T的壓力分別為20 MPa和3 MPa；給定的斜盤擺角在0.5 s時由10°改變?yōu)?°，保持1 s，在1.5 s改變?yōu)?0°，得排油口B壓力、排油口B和T流量變化情況如圖16所示。因流量計頻響較低，因此只研究流量計的穩(wěn)態(tài)數值。

圖16 20 MPa下VDAAPP階躍響應Fig.16 Step response of VDAAPP under 20 MPa

由圖16a可以看出，當排油口B設定壓力為20 MPa時，VDAAPP的壓力下降速率為80 MPa/s，壓力上升速率為150 MPa/s。從圖7a可以看出，這是由于斜盤擺角位于0°<α≤15°時，處于高壓區(qū)的柱塞滑靴組件對斜盤有較大的單向阻力矩，且為使斜盤擺角增大的單向力矩。當斜盤擺角減小時，為克服單向阻力矩的作用，伺服比例閥口壓降減小，流入變量缸的油液減少，從而使斜盤響應變慢。由圖16b可以看出，穩(wěn)態(tài)條件下兩個排油口的流量分別為23.8、16.2 L/min，滿足設計要求。

5 結論

(1)推導了適用于非對稱軸向柱塞泵的斜盤阻力矩計算公式，仿真結果表明，該計算公式精度高，且具有通用性，可為該類型液壓泵變量機構的設計及優(yōu)化提供指導。

(2)當非對稱軸向柱塞泵一個油口吸油、兩個油口排油時，其斜盤變量阻力矩為較大的單向力矩，此單向力矩會降低非對稱柱塞泵斜盤擺角減小過程中的動態(tài)響應；當兩個油口吸油、一個油口排油時，其斜盤變量阻力矩與現有軸向柱塞泵一致。根據此現象，探討了非對稱伺服比例閥(額定閥口壓降下，進油和回油流量不相同)和非對稱變量缸相結合的方案，結果表明，該方案不但可降低輔助油源壓力，同時可解決斜盤擺角減小時響應較慢的問題。

(3)通過仿真與試驗，驗證了在比例系數kp=3時，系統(tǒng)高頻未建模項不會被激發(fā)，采用PD控制能夠對排量的階躍輸入實現零超調控制，且有較高的響應速度。