賈萌琪
摘 要:不等式是數(shù)學(xué)上的一種幾何不等式,它可以通過變換條件等方式,來實(shí)現(xiàn)不等式的成立。而對于不等式的加強(qiáng)可以在立體幾何中通過改變基本條件,來實(shí)現(xiàn)不等式的成立,證明中采用了面積法等方法,均值不等式等定理,實(shí)現(xiàn)了利用初等數(shù)學(xué)的證明方法證明定理,簡化了證明。使不等式在三棱錐中適用,實(shí)現(xiàn)了在立體空間內(nèi)的應(yīng)用,在對不等式的不斷探索中學(xué)習(xí)到許多前人對這個(gè)不等式的加強(qiáng),并為我對不等式的探索打開了新的世界。
關(guān)鍵詞:不等式;面積法;均值不等式;三棱錐
一、不等式的證明
不等式是由數(shù)學(xué)家于1935年提出的,1937年,Louis Joel Mordell 和D.F. Barrow給出了這個(gè)不等式的證明,之后,后人又給出了許多更加簡單的證明方法,而這個(gè)不等式是由和Louis JoelMordell這兩位數(shù)學(xué)家的名字命名的。定理1。在一個(gè)三角形ABC的邊上或內(nèi)部有一點(diǎn)P,使P到三角形三邊的距離為PD、PE、PF。則PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF)。Louis Joel Mordell給出的證明方法,用到了相似三角形、基本不等式等數(shù)學(xué)知識,充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)幾何證明中利用定理的方法,此方法不僅提高證明的正確性,而且在很大程度上簡化了數(shù)學(xué)幾何證明。證:過三角形中的一點(diǎn)P作一條直B'C',使B'交于直線AC上,C'交于直線AB上,使∠ABC等于∠AB'C'、∠ACB等于∠AC'B'。所以三角形ABC相似于三角形AB'C。所以相似三角形的相似比,且比值大于零。因?yàn)樵谌切蜛B'C'中,三角形AB'P與三角形AC'P的面積相加等于三角形AB'C'的面積,所以AB'×PE+AC'×PF≤B'C'×AP(AP≥A到B'C'的距離)。由相似三角形同理可得AB×PE+AC×PF≤BC×AP,整理得AB×PE/BC+AC×PF/BC≤AP。① ;同理證得:AB×PD/AC+BC×PF/AC≤BP,②;AC×PD/AB+BC×PE/AB≤CP。③;將①②③式相加可得:PD(AB/AC+AC/AB)+PE(AB/BC+BC/AB)+PF(AC/BC+BC/AC)≤AP+BP+CP。因?yàn)橛删挡坏仁娇傻?AB/AC+AC/AB≥2,AB/BC+BC/AB≥2,AC/BC+BC/AC≥2,所以 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF)。證明方法的提出,便證明了Erdos-Mordell不等式,此不等式有多種證明方法,后人圍繞著這個(gè)不等式進(jìn)行探索又給出了許多簡單的證明方法,如:利用代數(shù)來進(jìn)行證明,利用外接圓及托勒密定理等。而上述例子中,利用代數(shù)證明是使幾何證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)證明,簡化了證明,且是證明更易進(jìn)行;而利用外接圓及托勒密定理,則是使用構(gòu)造圓來使托勒密定理成立,使用其他定理來證明不等式,更加直觀有效,上述證明方法使我在對不等式的探索中更進(jìn)一步,也使幾何證明方法更具多樣化。
二、前人對不等式的加強(qiáng)
在上述基本證明的基礎(chǔ)上,將某些條件改變或增減,這個(gè)不等式仍舊成立或是不成立,前人經(jīng)過探索與證明,對這個(gè)不等式進(jìn)行了推廣與加強(qiáng),并對前人的推廣加以介紹:命題2不等式中若將P到AB、BC、AC三邊的距離,改為P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線間夾角的角平分線,PA+PB+PC≥2(PG+PH+PI)成立。證:將不等式的基本條件中的這一點(diǎn)P到三條邊到的距離,改為由P出發(fā),P連接三個(gè)頂點(diǎn)A 、B、C內(nèi)形成的三個(gè)夾角的角平分線,分別交AB于I、交AC于H、交BC于G,設(shè)為圖1。引用任意一個(gè)三角形ABC,AD為∠A的角平分線,D在直線BC上,設(shè)為圖2。設(shè)PA=x、PB=y、PC=z。
由角平分線長公式得,圖2中角平分線AD=[(2AB×AC)/(AB+AC) ]×cos(∠A/2),由以上式子得PG+PH+PI=[2yz/(y+z) ]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)。令ab=x、bc=y、ac=z。由余弦定理得:xcosA+ycosB+zcosC≤xz/2y+yz/2x+xy/2z。由上式可得PG+PH+PI=[2yz/(y+z) ]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)≤[x^2(y+z)]/(x+y)(x+z)+[y^2(z+x)]/(x+y)(y+z)+[z^2(x+y)]/(y+z)(z+x),再由公式得[x^2(y+z)]/(x+y)(x+z)+[y^2(z+x)]/(x+y)(y+z)+[z^2(x+y)]/(y+z)(z+x)={x+y+z-[xy(x-y)^2+yz(y-z)^2+zx(z-x)^2] /(x+y)(y+z)(z+x)}/2得PG+PH+PI=[2yz/(y+z)]×cos(∠BPC/2)+[2xz/(x+z)] ×cos(∠APC/2)+2xy /(x+y) ×cos(∠BPA/2)≤(x+y+z)/2,即 x+y+z≥2(PG+PH+PI),即PA+PB+PC≥2(PG+PH+PI)。所以將點(diǎn)P到三邊的距離改為P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線間夾角的角平分線,不等式成立。
上述對不等式的加強(qiáng),改變了使不等式成立的一個(gè)基本條件,說明對證明條件適當(dāng)改變?nèi)钥梢允共坏仁匠闪?,且上述的證明過程中使用到了角平分線長公式、余弦定理等定理,也使用到了式子的套用及轉(zhuǎn)化,方法巧妙,使我在數(shù)學(xué)幾何證明方法中學(xué)習(xí)到了更多多樣性的方法,同樣使不等式有了更廣闊的適用范圍,更好地運(yùn)用到實(shí)際問題中。
三、不等式的實(shí)際應(yīng)用
在實(shí)際問題中,不等式也有多種多樣的適用性,在以下題目中涉及到了不等式及其證明。命題3 如圖3,設(shè)點(diǎn)P為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),作三角形ABC的外接圓圓O,且點(diǎn)P為三角形ABC的內(nèi)心,作AP、BP、CP的延長線,分別交圓O于D、E、F,連接PD、PE、PF。則 PD+PE+PF≥PA+PB+PC.。證:因?yàn)辄c(diǎn)P為三角形ABC的內(nèi)心,所以由三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得 PD=DC,所以同理可得 PD=BD,所以若作三角形BPC的外接圓,D為外心,則同理可得 E為三角形APC的外心,F(xiàn)為三角形APB的外心。則分別以D、E、F為圓心,PD、PE、PF為半徑,繞三角形PBC、三角形PCA、三角形APB畫圓,分別設(shè)為圓1、圓2、圓3,三個(gè)圓交于一點(diǎn)P,線段PC為圓1和圓2的公共弦,線段PA為圓2和圓3的公共弦,線段PB為圓3和圓1的公共弦。所以 DE垂直平分PC,EF垂直平分PA,F(xiàn)D垂直平分PB。在三角形DEF中,由不等式得:PD+PE+PF≥PA+PB+PC。