數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)研究

丁宇 孟鳳娟 劉存才 張計(jì)鑫 陳超超 錢克仕

摘? ? 要：隨著教學(xué)方式的不斷革新，學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)逐步成為教育的主要目的，將數(shù)學(xué)文化穿插于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是核心素養(yǎng)改革的本質(zhì)要求。研究小組主要通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究法，探索數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)中“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的影響作用。數(shù)學(xué)文化主要分為“數(shù)學(xué)思想和思維方式”“數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家”“數(shù)學(xué)與人文的交叉”這三個(gè)方面。以常州市某中學(xué)的四個(gè)班級(jí)為例進(jìn)行實(shí)踐調(diào)研，探討在運(yùn)用數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)之后，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平發(fā)生的變化。研究發(fā)現(xiàn)，在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有促進(jìn)作用，學(xué)生在接觸數(shù)學(xué)文化的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣，改善了學(xué)習(xí)態(tài)度，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化;實(shí)驗(yàn)研究法;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-7394（2019）06-0088-09

1? ? 研究背景

隨著教學(xué)方式的不斷革新，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已經(jīng)無(wú)法滿足當(dāng)代中小學(xué)的教學(xué)需要。在教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)化核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是當(dāng)前中小學(xué)教育發(fā)展的必然趨勢(shì)。核心素養(yǎng)是指一個(gè)人應(yīng)該具備的關(guān)鍵品格和能力，根據(jù)教育部提出的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》精神，加強(qiáng)中小學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是順應(yīng)時(shí)代發(fā)展變革的重要舉措。

2? ? 研究意義

數(shù)學(xué)作為一門通過(guò)表象分析內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律的學(xué)科，目的是將“數(shù)學(xué)思維”提升到方法論層面，并將這一觀念貫穿教育的始終，這一點(diǎn)恰恰是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵一步。

數(shù)學(xué)學(xué)科不僅要包含本身所涵蓋的學(xué)科教育內(nèi)容，還需要將學(xué)科教育與其他知識(shí)相結(jié)合，相互補(bǔ)充，所以，對(duì)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容如果要進(jìn)行基于“核心素養(yǎng)”的改革，就需要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教育內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)地研究和分析，要找到能夠運(yùn)用“核心素養(yǎng)”理念改革的切入點(diǎn)。而數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)中貫穿始終的知識(shí)，飽含數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想，因此，將數(shù)學(xué)文化穿插于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是“核心素養(yǎng)”改革的本質(zhì)要求。

3? ?研究方法

研究小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究法，探索數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”有著怎樣的影響。數(shù)學(xué)文化主要分為“數(shù)學(xué)思想、思維方式、方法”“數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家”“數(shù)學(xué)與人文的交叉”這三個(gè)方面。研究小組以常州市某中學(xué)的四個(gè)班級(jí)為例進(jìn)行實(shí)踐調(diào)研，探討在運(yùn)用數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)后，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平發(fā)生的變化。

在2016年公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見(jiàn)稿）》中，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最為核心的部分梳理成六個(gè)成分，稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這種分類能夠較好地闡述數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，而且利于研究者測(cè)評(píng)和分析。研究小組因?yàn)闀r(shí)間和能力有限，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)成分中選取了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模三個(gè)成分作為此次研究的測(cè)評(píng)要素。

4? ? 研究過(guò)程

要判斷數(shù)學(xué)文化對(duì)初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的影響，需要了解被研究者在被有意識(shí)、有組織地滲透數(shù)學(xué)文化后，數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平有了什么變化，是怎樣變化的。本團(tuán)隊(duì)成員在研究地點(diǎn)見(jiàn)習(xí)，與被研究者有密切的接觸和交流，能很好地理解他們的思想、情感，從而可以正確分析研究結(jié)果。

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)抽取課本中部分有代表性的蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的教學(xué)內(nèi)容，將其分別進(jìn)行課堂實(shí)踐教學(xué)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)法研究不同數(shù)學(xué)文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同方面的影響。

4.1? 研究工具

為了更好地分析研究對(duì)象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，需要構(gòu)建分析框架來(lái)衡量研究對(duì)象的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三方面的水平情況。本研究參考《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（征求意見(jiàn)稿）》（2016），構(gòu)建了數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平分析框架（見(jiàn)表1）。

4.2? 研究對(duì)象

本研究的研究對(duì)象是常州市某中學(xué)八年級(jí)平均數(shù)學(xué)水平相近的四個(gè)班級(jí)，分別記為A、B、C、D。選取過(guò)程中，本團(tuán)隊(duì)告知了研究對(duì)象本研究的相關(guān)信息和意義，取得了學(xué)校師生們的同意。

4.3? 研究過(guò)程

本研究采用實(shí)驗(yàn)研究法，一共分為四個(gè)階段，第一個(gè)階段主要通過(guò)作業(yè)分析、試題測(cè)評(píng)的整體情況來(lái)了解四個(gè)班級(jí)實(shí)驗(yàn)前的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平。接下來(lái)的三個(gè)階段，每一個(gè)階段都包含了課堂教學(xué)、課后測(cè)評(píng)和成績(jī)分析這三個(gè)部分。本次研究的后三個(gè)階段課堂教學(xué)內(nèi)容分別是“勾股定理”“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”“特殊角的三角函數(shù)”，且都由三名團(tuán)隊(duì)成員親自授課。

研究流程如圖1。

5? ?研究結(jié)果與分析

5.1? 實(shí)驗(yàn)前的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平測(cè)試

（1）在研究之前，本團(tuán)隊(duì)通過(guò)平時(shí)的觀察、與任課老師的交流，對(duì)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)情況有了一定的了解。為了更好地了解研究對(duì)象在數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模方面的水平情況，本團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)之前，根據(jù)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵和學(xué)生所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，選取了有關(guān)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的題編制了一份試卷，分別對(duì)四個(gè)班的同學(xué)進(jìn)行測(cè)試。其中，涉及數(shù)學(xué)素養(yǎng)這三方面的題目各1道。測(cè)試結(jié)束后，結(jié)合測(cè)試結(jié)果、平時(shí)作業(yè)，我們對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了分析。

（2）測(cè)試題

①測(cè)試題中涉及數(shù)學(xué)抽象的題目為：

如圖2所示，已知某鐵路橋長(zhǎng)800 m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過(guò)，測(cè)得火車從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋共用45 s，整列火車完全在橋上的時(shí)間是35 s，求火車的速度和長(zhǎng)度？

分析前測(cè)結(jié)果，A班同學(xué)該題正確率為43.3%，能發(fā)現(xiàn)少許數(shù)量和圖形的性質(zhì)。B班同學(xué)該題正確率為46.7%，能掌握明顯的數(shù)量關(guān)系或圖形的規(guī)律。C班同學(xué)該題正確率為50.0%，能發(fā)現(xiàn)部分?jǐn)?shù)量和圖形的性質(zhì)，掌握一些數(shù)量關(guān)系和圖形的規(guī)律。D班同學(xué)該題正確率為40.0%，能發(fā)現(xiàn)少許數(shù)量和圖形的性質(zhì)。因此，可認(rèn)為在實(shí)驗(yàn)前，A、B、C、D班同學(xué)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平分別處于水平1、1、2、1。

②測(cè)試題中涉及到直觀想象的題目為：

如圖3、圖4所示，是由一些小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方體中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù)。你能畫出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖嗎？

分析前測(cè)結(jié)果，A班同學(xué)該題正確率為53.3%，能構(gòu)建一些問(wèn)題中的幾何圖形，但是不能把這些圖形整合起來(lái)。B班同學(xué)該題正確率為43.3%，能少量構(gòu)建問(wèn)題中所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單幾何圖形。C班同學(xué)該題正確率為50.0%，能在具體的數(shù)學(xué)情境中，借助一些圖形性質(zhì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和圖形運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但是不會(huì)具體運(yùn)用這些規(guī)律。D班同學(xué)該題正確率為53.3%，能構(gòu)建一些問(wèn)題中的幾何圖形，但是不能把這些圖形整合起來(lái)。因此，可認(rèn)為在實(shí)驗(yàn)前，A、B、C、D班同學(xué)的直觀想象素養(yǎng)水平分別處于水平2、1、2、2。

③測(cè)試題中涉及數(shù)學(xué)建模的題目為：

生活中的我們常常會(huì)遇到下雨而沒(méi)帶雨具的時(shí)候，往往好多人會(huì)在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，請(qǐng)用數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算這一做法的正確性。當(dāng)我們?cè)谟曛兄本€行走時(shí)，設(shè)雨速為常數(shù)，你覺(jué)得在雨中是快跑淋的雨多還是慢走淋的雨多呢？

分析前測(cè)結(jié)果，A班同學(xué)該題正確率為50.0%，能夠在類似的實(shí)際情境中，對(duì)一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象。B班同學(xué)該題正確率為53.3%，能用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但不能綜合思考。C班同學(xué)該題正確率為46.7%，能夠在熟悉的實(shí)際情境中，對(duì)少許現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象，用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決問(wèn)題。D班同學(xué)該題正確率為53.3%，能夠在類似的實(shí)際情境中，對(duì)一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象。因此，可認(rèn)為在實(shí)驗(yàn)前，A、B、C、D班同學(xué)的直觀想象素養(yǎng)水平分別處于水平2、2、2、1。

綜合以上結(jié)果，得出實(shí)驗(yàn)前三名研究對(duì)象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平情況如表2。

5.2? 第一輪研究

5.2.1教學(xué)內(nèi)容

“勾股定理”是初中數(shù)學(xué)幾個(gè)重要定理之一，教師通過(guò)講授“勾股定理”向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化”的思想，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教學(xué)中分別融入數(shù)學(xué)文化的三個(gè)方面，探究對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用。將A班作為對(duì)照組進(jìn)行傳統(tǒng)教學(xué)，而在B、C、D三個(gè)班中分別采用以下的三種方法講授“勾股定理”。

第一，介紹勾股定理中“勾股”的由來(lái)引出本課，在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。于是古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以，本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的定理。

第二，介紹了畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理內(nèi)容的探究。畢達(dá)哥拉斯有一次去朋友家做客，凝視腳下排列規(guī)則、美麗的方形地板，想到它們和“數(shù)”之間好像有什么關(guān)系，一塊地板如果以它的對(duì)角線AB為邊畫一個(gè)正方形，這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊地板的面積和。畢達(dá)哥拉斯感覺(jué)很神奇，就回家繼續(xù)研究，從而發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理，也就是我們今天所要學(xué)習(xí)的勾股定理。

第三，向?qū)W生介紹運(yùn)用趙爽弦圖證明勾股定理。早在公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽就采用 “數(shù)形結(jié)合”的方法證明了勾股定理，即運(yùn)用如圖5趙爽弦圖進(jìn)行證明，它在數(shù)學(xué)史上有著非常重要的意義。

5.2.2課后測(cè)評(píng)

以下三個(gè)題目分別就數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模三個(gè)方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行“勾股定理”知識(shí)點(diǎn)的考察。

題目1.有一個(gè)如圖6所示的長(zhǎng)方體的透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD=80 cm，高AB=60 cm，水深為AE=40 cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚(yú)餌，G在水面線EF上，且EG=60 cm;一小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的A點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)G處吃魚(yú)餌。

（1）小動(dòng)物應(yīng)該走怎樣的路線才使爬的路線最短呢？請(qǐng)你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注。

（2）求小動(dòng)物爬行的最短路線長(zhǎng)？

題目2.如圖7，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20 dm、3 dm、2 dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

題目3.如圖8，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4 cm，寬為2 cm，高為5 cm。若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為多少cm？

5.2.3研究結(jié)果

分析課后測(cè)評(píng)結(jié)果，A班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.2個(gè)，可認(rèn)為該班實(shí)驗(yàn)后的三種水平無(wú)明顯變化。B班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.2個(gè)，C班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.4個(gè)，D班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.6個(gè)，可認(rèn)為三個(gè)班實(shí)驗(yàn)后的三種水平有一定提升，其中主要是直觀想象素養(yǎng)水平提升幅度較大，見(jiàn)表3。

5.3? 第二輪研究

5.3.1教學(xué)內(nèi)容

“一元二次方程與系數(shù)的關(guān)系”是初中代數(shù)的一個(gè)重要定理，通過(guò)定理講授，向?qū)W生滲透“整體、轉(zhuǎn)換”的思想，以進(jìn)一步加深他們對(duì)一元二次方程的理解，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，為了探究對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，分別采用以下三種教學(xué)方法講授“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”。

第一，如圖9所示，以黃金分割數(shù)的知識(shí)引出本課，通過(guò)要使雕塑的上下高度比等于下部與全身的高度比，并將該問(wèn)題一般化，求出該高度比。在某一線段中進(jìn)行未知數(shù)的設(shè)定，后根據(jù)比例關(guān)系列出一個(gè)一元二次方程，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義得出高度比以及探究根與系數(shù)的關(guān)系。

第二，穿插介紹了韋達(dá)的故事。法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)于1615年在著作《論方程的識(shí)別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出了這條定理。 由于韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，人們把這個(gè)關(guān)系稱為“韋達(dá)定理”。

第三，向同學(xué)介紹了一元二次方程根與系數(shù)的具體推導(dǎo)過(guò)程，從特殊的系數(shù)為1的一元二次函數(shù)的根與系數(shù)的關(guān)系，到一般的一元二次函數(shù)的關(guān)系的系列證明，來(lái)說(shuō)明一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

5.3.2課后測(cè)評(píng)

以下三個(gè)題目分別就數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模三個(gè)方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”知識(shí)點(diǎn)的考察。

題目1.小麗為校合唱隊(duì)購(gòu)買某種服裝時(shí)，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購(gòu)買不超過(guò)10件，單價(jià)為80元;如果一次性購(gòu)買多于10件，那么每增加1件，購(gòu)買的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元。按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購(gòu)買這種服裝付了1 200元。請(qǐng)問(wèn)她購(gòu)買了多少件這種服裝？

題目2.某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具。

（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x>40），請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來(lái)表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤(rùn)w元，并把結(jié)果填寫在表4中。

（2）在（1）問(wèn)條件下，若商場(chǎng)獲得了10 000元銷售利潤(rùn)，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元？

（3）在（1）問(wèn)條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？

題目3.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，盡量減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。

（1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1 200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？

5.3.3研究結(jié)果

分析課后測(cè)評(píng)結(jié)果，A班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.8個(gè)，可認(rèn)為該班實(shí)驗(yàn)后的三種水平無(wú)明顯變化。B班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.9個(gè)，C班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.8個(gè)，D班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為2.0個(gè)，可認(rèn)為三個(gè)班實(shí)驗(yàn)后的三種水平有一定提升，其中主要是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平提升幅度較大，見(jiàn)表5。

5.4? 第三輪研究

5.4.1教學(xué)內(nèi)容

“特殊角的三角函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，教師通過(guò)講授“特殊角的三角函數(shù)”向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合特殊化”的思想，進(jìn)一步擴(kuò)充初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”這條主線的學(xué)習(xí)，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為探究數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，分別采用以下三種教學(xué)方法講授“特殊角的三角函數(shù)”。

第一，由三角學(xué)引出本課。西方對(duì)于三角函數(shù)的研究有專門的學(xué)科，稱為三角學(xué)，三角學(xué)原意為三角測(cè)量，是以研究平面三角形和球面三角形地邊與角的關(guān)系為基礎(chǔ)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，三角學(xué)一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，包括三角函數(shù)值表的編制、三角恒等式的建立和推導(dǎo)，目前，三角學(xué)已逐漸變成以三角函數(shù)為主要對(duì)象的學(xué)科。

第二，教學(xué)中穿插符號(hào)史，最早由雷基奧蒙坦納斯正式提出sine （正弦）一詞，而cosine（余弦）則為英國(guó)人根日爾首先使用，直到1626年，阿貝爾特·格洛徳推出了正弦與正切的簡(jiǎn)寫三角符號(hào)：“sin”與“tan”。1675年奧屈特推出余弦簡(jiǎn)寫“cos”，這些簡(jiǎn)寫符號(hào)一直沿用至今。

第三，向?qū)W生介紹采用如圖10單位圓證明三角函數(shù)的方法。

5.4.2課后測(cè)評(píng)

題目1.游客登山有兩種方式：一種是如圖11，先從A沿登山步道走到B，再沿索道乘座纜車到C，另一種是沿著盤山公路開(kāi)車上山到C。已知在A處觀測(cè)到C，得仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距離AE=430 m，A、B的豎直距離BE=210 m，索道BC的坡度i=1∶1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，則山高CD為（ ）米（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.9）。

5.4.3研究結(jié)果

分析課后測(cè)評(píng)結(jié)果，A班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為0.9個(gè)，可認(rèn)為該班實(shí)驗(yàn)后的三種水平無(wú)明顯變化。B班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.0個(gè)，C班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.3個(gè)，D班3個(gè)題目中正確作答的平均題目數(shù)為1.4個(gè)，可認(rèn)為三個(gè)班實(shí)驗(yàn)后的三種水平有一定提升，其中主要是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平提升幅度較大，見(jiàn)表6。

6? ? 研究結(jié)論

本研究主要通過(guò)對(duì)四個(gè)班級(jí)的課堂教學(xué)、課后測(cè)評(píng)、成績(jī)分析量化出的三種素養(yǎng)水平，來(lái)衡量這四個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的變化。

表7為實(shí)驗(yàn)前后四個(gè)班級(jí)測(cè)評(píng)成績(jī)量化出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的情況。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，A班對(duì)照組在沒(méi)有使用數(shù)學(xué)文化進(jìn)行教學(xué)的情況下，數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒(méi)有發(fā)生變化。B班實(shí)驗(yàn)組在主要滲透數(shù)學(xué)文化中的“數(shù)學(xué)與人文的交叉”這一方面教學(xué)之后，綜合水平有較小幅度的提升，主要為直觀想象素養(yǎng)水平的增加，此方法對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升在短期內(nèi)效果不大。C班實(shí)驗(yàn)組在主要滲透數(shù)學(xué)文化中的“數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家”這一方面教學(xué)之后，綜合水平有一定提升，此方法激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，有助于學(xué)生長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)。D班實(shí)驗(yàn)組在主要滲透數(shù)學(xué)文化中的“數(shù)學(xué)思想、思維方式、方法”這一方面教學(xué)之后，綜合水平有了很大的提升，學(xué)生的邏輯思維和解題能力有了顯著的增強(qiáng)，該方法短期內(nèi)的教學(xué)效果最佳。

從整個(gè)研究過(guò)程中可以看出：數(shù)學(xué)文化對(duì)個(gè)體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平具有促進(jìn)作用，三個(gè)研究班級(jí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的水平都有一定程度的提高，數(shù)學(xué)文化在對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的促進(jìn)作用上沒(méi)有明顯差別，這可能跟數(shù)學(xué)文化主要通過(guò)間接作用來(lái)影響數(shù)學(xué)素養(yǎng)有關(guān)。數(shù)學(xué)文化對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的直接作用主要是研究對(duì)象在接觸數(shù)學(xué)文化的過(guò)程中，開(kāi)闊了視野，增長(zhǎng)了知識(shí)，鍛煉了數(shù)學(xué)思維，這些數(shù)學(xué)文化知識(shí)使得研究對(duì)象在解決問(wèn)題的過(guò)程中，得到了靈感和觸發(fā)，從而能夠順利解決問(wèn)題，提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平。數(shù)學(xué)文化的間接作用是研究對(duì)象在接觸數(shù)學(xué)文化的過(guò)程中，學(xué)習(xí)的興趣加強(qiáng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情受到激發(fā)，學(xué)習(xí)態(tài)度更加端正，通過(guò)日積月累，這些學(xué)習(xí)習(xí)慣的改變，促進(jìn)了研究對(duì)象數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

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責(zé)任編輯? ? 祁秀春