張行行

摘要：根據(jù)新疆地區(qū)歷年GDP數(shù)據(jù)的特點，基于R語言，建立求和自回歸移動平均模型ARIMA（p，d，q）。通過對數(shù)和差分運算對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理，根據(jù)自相關系數(shù)、偏自相關系數(shù)以及單位根檢驗判斷其平穩(wěn)性，選擇合適的ARIMA模型，進行預測和比較，得到較為滿意的結果。

關鍵詞：R語言 GDP ARIMA模型 新疆

一、引言

R語言[1]作為一款自由的開源軟件，不僅具有強大的統(tǒng)計分析功能和統(tǒng)計制圖功能，而且擁有強大的軟件包生態(tài)系統(tǒng)，其源代碼可供我們直接查看并進行擴展而無需申請權限。所以近年來，R語言在學界和業(yè)界受到了越來越多的重視。在國外高校統(tǒng)計學科，R幾乎是一門必修的語言。新疆地處中國西北部，資源豐富，土地面積占全國的1/6，與8個國家毗鄰，是東西方文化的聚集地。同時它地處亞歐大陸腹地的十字大通道，是貿(mào)易互聯(lián)互通的通道，是新絲綢之路經(jīng)濟帶的核心建設區(qū)以及我國向西開放的重要門戶[2]。作為衡量地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的重要指標，GDP不僅可以反映一個地區(qū)的經(jīng)濟表現(xiàn)，還是影響社會穩(wěn)定的重要因素。因此利用時間序列模型針對新疆GDP發(fā)展趨勢進行預測，對于制定經(jīng)濟發(fā)展目標、戰(zhàn)略規(guī)劃布局具有重要意義。

對于GDP的發(fā)展規(guī)律和預測一直是經(jīng)濟學家關注的熱點和難點，紀廣月[3]以廣東省2006-2011年GDP與第一、第二、第三產(chǎn)業(yè)的歷史數(shù)據(jù)為依據(jù)，利用灰色關聯(lián)分析方法，建立灰色預測模型GM（1，1），對未來幾年的廣東省GDP進行了預測;JamesSpencerL等[4]利用210個國家1950-2015的人均GDP序列，建立了一個綜合模型，并允許每年更新數(shù)據(jù);張淑紅等[5]基于1978-2010年的人均GDP指數(shù)使用時間序列分析中的Box-Jenkins方法進行定階，建立了線性自回歸模型，得到了較好的擬合和預測結果;蘇玉華等[6]運用SAS8.0系統(tǒng)對1978-20006年廣西生產(chǎn)總值建立ARIMA模型，并做了預測分析;范玉妹等[7]利用EViews軟件應用ARMA模型對北京市人均GDP進行擬合，效果良好，并預測了2010年至2014年的數(shù)據(jù)。由于大多數(shù)研究使用SAS、Eviews或SPSS進行建模分析，使用R語言來分析的文章很少，本文應用R語言以新疆1985至2017年的GDP數(shù)據(jù)為樣本，對其進行統(tǒng)計分析，建立ARIMA（2，2，0）模型，并對2018-2020年新疆GDP進行預測，以期對經(jīng)濟政策目標制定者提供決策參考。

二、ARIMA模型理論概述

ARIMA模型本質(zhì)上是將差分運算與自回歸移動平均（ARMA）模型相結合，即利用差分運算使非平穩(wěn)序列顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，再使用ARMA模型進行擬合。此模型可以有效提取非平穩(wěn)序列的確定性信息，彌補確定性因素分解方法的不足以及ARMA模型的局限性，進行精確有效地短期預測。ARIMA（p，d，q）模型的一般結構為：

式中

其中，d為差分階數(shù)，p、q分別為模型中自回歸AR與移動平均MA的滯后期數(shù)，、為多項式系數(shù)，為白噪聲序列，為所選取的時間序列。通常情況下，ARIMA模型遵循如下分析步驟：

Step1：考察時間序列的特征，對其平穩(wěn)性進行檢驗;

Step2：平穩(wěn)化處理，利用對數(shù)或差分運算轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列;

Step3：擬合ARMA模型，確定參數(shù);

Step4：進行白噪聲檢驗;

Step5：利用所建模型進行預測分析。

三、ARIMA模型實證分析

（一）數(shù)據(jù)資料

本文選取新疆改革開放以來的數(shù)據(jù)，即1978至2015年的GDP數(shù)據(jù)（見表1）作為研究對象進行時間序列分析，基于R語言環(huán)境建立ARIMA（p，d，q）模型，并對2016—2017年的數(shù)據(jù)進行預測，與實際值進行比較;在此基礎上，對2018-2020年新疆GDP進行預測分析。

（二）判斷序列特征

為初步判斷GDP序列的特征和平穩(wěn)性，由表1看出，新疆是一個經(jīng)濟持續(xù)增長的經(jīng)濟體。從1985至2015年新疆GDP呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，無周期性，為非平穩(wěn)序列。故需對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理，使其滿足平穩(wěn)性和零均值的建模要求。

（三）序列的平穩(wěn)化處理

由于新疆GDP序列呈現(xiàn)出指數(shù)增長趨勢，故需對該序列取對數(shù)消除指數(shù)趨勢，并對其進行一階差分處理以消除線性趨勢，得到如圖2所示的時間序列圖。從圖2中可以觀察到：均值不為零，其趨勢性已基本消除，但是否為平穩(wěn)序列，需要進一步的平穩(wěn)性檢驗。

本文采用ADF單位根檢驗法來判斷序列的平穩(wěn)性，所得結果如表2所示。

檢驗結果顯示，新疆GDP對數(shù)差分序列的ADF檢驗P值均大于顯著性水平α=0.01、0.05，落在拒絕域外，不能顯著拒絕序列為非平穩(wěn)的原假設，說明該序列為非平穩(wěn)序列，故對其進行二次差分運算。檢驗結果表明所得ADF檢驗P值普遍小于顯著性水平α=0.01、0.05，顯著拒絕原假設，故二階差分后的對數(shù)序列為平穩(wěn)序列。

（四）擬合ARIMA（p，d，q）模型

由序列平穩(wěn)化的過程可知，ARIMA（p，d，q）模型中的差分階數(shù)d=2。自回歸階數(shù)p與移動平均階數(shù)q的確定可以通過樣本的自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)的觀察獲得。將經(jīng)過平穩(wěn)化處理后的新疆GDP時間序列命名為DGDP序列，并繪制自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）圖，如圖3所示。

從圖3中可以看出，二者均具有明顯的拖尾性，且自相關系數(shù)一階顯著不為零，一階之后都近似為零，偏自相關系數(shù)2階顯著不為零，2階之后都近似為零。因此可選擇的模型有ARIMA（2，2，1），ARIMA（2，2，0），ARIMA（1，2，1），ARIMA（1，2，0），對這四個模型分別進行評判和比較，見表4。

AIC準則是擬合模型的似然函數(shù)值與模型中未知參數(shù)個數(shù)的加權函數(shù)，通過綜合考慮擬合模型的擬合精度和未知參數(shù)個數(shù)尋找相對最優(yōu)模型;SBC準則是AIC準則的改進，它將AIC函數(shù)中未知參數(shù)個數(shù)的懲罰權重由常數(shù)2變成了樣本容量的對數(shù)函數(shù)ln（n），解決了樣本容量趨于無窮大時AIC準則選擇的模型不收斂于真實模型的問題。公式如下：

其中，ML為極大似然函數(shù)值，n為樣本容量。在初選模型中，使得AIC或SBC函數(shù)達到最小的模型為相對最優(yōu)模型。顯然，由表4可知，ARIMA（2，2，0）優(yōu)于其他模型。用R3.4.4的box.test（）函數(shù)對其進行殘差自相關檢驗，得到的P值都顯著大于α=0.05，可認為殘差序列為白噪聲序列，說明模型ARIMA（2，2，0）顯著有效。

（五）模型的預測和分析

為檢驗模型的預測效果，下面對新疆2016、2017年的GDP進行預測，并與實際值進行比較，數(shù)據(jù)來源《新疆統(tǒng)計年鑒2018》，結果如表5：

由對照表可知，預測結果與真實值相差在5%以內(nèi)，用ARIMA（2，2，0）可以較好地擬合新疆GDP的實際值。

利用此模型對2018-2020年新疆GDP進行預測分析，其結果見表6：

四、結語

本文通過對新疆1978至2017年的GDP數(shù)據(jù)作為研究對象進行時間序列分析，結合R語言建立了ARIMA（2，2，0）模型，并通過一系列檢驗證明了其有效性，并對2018-2020年新疆GDP進行預測分析，從預測結果來看，新疆生產(chǎn)總值呈現(xiàn)出穩(wěn)步增長的趨勢，且增長率逐年提高。結論表明，所建立的ARIMA模型可以有效地擬合樣本數(shù)據(jù)，預測未來走勢，具有較強的短期預測能力，從而為經(jīng)濟決策的制定和調(diào)整提供參考。

參考文獻：

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[3]紀廣月.基于灰色關聯(lián)分析的廣東省GDP與產(chǎn)業(yè)結構之間的關系及GDP預測的數(shù)學模型[J].數(shù)學的實踐與認識，2013（15）：198-203.

[4]JAMES S L，GUBBINS P，MURRAY C J，et al. Developing a comprehensive time series of GDP per capita for 210 countries from 1950 to 2015[J]. Popul Health Metr，2012，10（1）：12.

[5]張淑紅，楊萬才，武新乾.“十二五”時期河南省人均GDP預測[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2014（03）：394-399.

[6]蘇玉華，江偉.廣西生產(chǎn)總值的時間序列分析[J].賀州學院學報，2009（01）：125-128.

[7]范玉妹，玄婧.ARMA算法在GDP預測中的應用[J].江南大學學報（自然科學版），2010（06）：736-740.