等間隔灰色GM(1,1r)模型病態(tài)性再研究

摘要：在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究等間隔灰色模型病態(tài)性問(wèn)題，結(jié)合文獻(xiàn)[9]的思想，結(jié)合反向累積法、向量的數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換從系數(shù)矩陣條件數(shù)和模型預(yù)測(cè)精度兩方面來(lái)改善灰色模型的病態(tài)性。實(shí)例表明對(duì)原始序列在反向累積法下做數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換可以更有效地降低模型參數(shù)矩陣的條件數(shù)，使其達(dá)到良態(tài)，且模型精度也比傳統(tǒng)模型要高。本方法為其他灰色模型的病態(tài)性研究提供了一種參考。

關(guān)鍵詞：灰色模型 反向累積法 數(shù)乘變換 旋轉(zhuǎn)變換

灰色模型的病態(tài)性問(wèn)題主要是由累加法和最小二乘法數(shù)乘法產(chǎn)生，初期主要采用數(shù)乘變換和仿射變換來(lái)解決病態(tài)性問(wèn)題，該方法可從減小模型參數(shù)矩陣條件數(shù)方面來(lái)改善模型的病態(tài)性，但對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度沒(méi)有改變。后期，累積法和反向累計(jì)法（一種曲線擬合技術(shù)）被引入到GM模型的參數(shù)估計(jì)中，較好的改善了模型的病態(tài)性。近期，向量的數(shù)乘和旋轉(zhuǎn)變換被用于解決離散GM模型的病態(tài)性問(wèn)題，通過(guò)齊次指數(shù)序列的實(shí)例驗(yàn)證，得出較好的結(jié)論。

灰色模型是含有時(shí)滯項(xiàng)目的模型，對(duì)陡變數(shù)據(jù)建模效果非常好，但有時(shí)候也會(huì)存在精度波動(dòng)較大的病態(tài)性問(wèn)題，目前關(guān)于該模型病態(tài)性的改善方法主要是通過(guò)對(duì)原始數(shù)乘變換和反向累積法來(lái)修正，雖能對(duì)病態(tài)性有一定程度改善，但模型系數(shù)矩陣仍存在輕微病態(tài)性。目前對(duì)這一具體模型病態(tài)性的研究較少，本文基于文獻(xiàn)和的思想，結(jié)合反向累積法、向量的數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換從系數(shù)矩陣條件數(shù)和模型預(yù)測(cè)精度兩方面來(lái)改善灰色模型的病態(tài)性，得出結(jié)論：（1）對(duì)原始序列數(shù)乘變換后進(jìn)行反向累積法一般可使得矩陣條件數(shù)小于10;（2）若（1）中矩陣條件數(shù)大于10，再通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可進(jìn)一步降低參數(shù)矩陣條件數(shù)，使其變?yōu)榱紤B(tài)。

一、模型的定義與矩陣條件數(shù)

（一）定義

定義1令為原始序列，，則稱 （1）

為模型的定義型。其中表示系統(tǒng)的延遲時(shí)間，為具有時(shí)間變化灰輸入的次數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)模型即為經(jīng)典模型[10]，故規(guī)定;因此模型為模型的進(jìn)一步推廣。模型的參數(shù)列記為，可表示為如下：

其中

（二）矩陣條件數(shù)

定義2在線性方程組中，設(shè)，為非奇異矩陣，為定義在上的矩陣，稱

為關(guān)于范數(shù)的條件數(shù)。

若矩陣的條件數(shù)大，則稱對(duì)于求解的線性方程組而言是病態(tài)的，反之為良態(tài)。實(shí)踐中一般認(rèn)為：若，則矩陣為良態(tài);若，則矩陣為輕度病態(tài);若，則矩陣為中等程度或較強(qiáng)病態(tài);若，則矩陣為嚴(yán)重的病態(tài);為分析便利，本文采用最常見(jiàn)的譜條件數(shù)，即為譜范數(shù)，即

當(dāng)為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，有

其中和分別為矩陣的模最大和最小特征根。

二、數(shù)乘變換下反向累積法建模機(jī)理

根據(jù)反向累積法和數(shù)乘變換，此處給出數(shù)乘變換下基于反向累積法模型的參數(shù)如下：

對(duì)反向累積法模型的原始序列進(jìn)行數(shù)乘變換得到變換后序列，即可知，

其中由可得

基于反向累積法和數(shù)乘變換的等間隔模型的一級(jí)參數(shù)包矩陣計(jì)算公式如下

其中。

定理2.1[1]當(dāng)時(shí)，

數(shù)乘變換序列的模型的參數(shù)矩陣條件數(shù)達(dá)到最小，且條件數(shù)最小值為

（7）

三、向量旋轉(zhuǎn)變換的建模機(jī)理

若為非零向量，模型的參數(shù)矩陣文獻(xiàn)指出，矩陣的條件數(shù)由列向量和長(zhǎng)度比值和夾角確定。當(dāng)且僅當(dāng)向量和的夾角，數(shù)乘變換才可將矩陣降為良態(tài)矩陣。若夾角不屬于上述范圍，可以借助向量的旋轉(zhuǎn)變換來(lái)將矩陣降為良態(tài)。

引理3.1[9]已知為非零向量，矩陣，，，為向量和的夾角，則有：

1）當(dāng)向量夾角時(shí)，即且，

取常數(shù)，則，矩陣的列向量與的長(zhǎng)度相等，夾角。為良態(tài)矩陣，條件數(shù)，其中。

2）當(dāng)向量夾角時(shí)，即且，

取常數(shù)，則，矩陣的列向量與的長(zhǎng)度相等，夾角，為良態(tài)矩陣，條件數(shù)，其中。

四、模型病態(tài)性的處理步驟

（1）通過(guò)數(shù)乘變換數(shù)乘變換和反向累積法建立模型，其中若參數(shù)矩陣的條件數(shù)小于10，則為良態(tài)，由（6）計(jì)算出參數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，取模型中的參數(shù)，回代模型可以得出解。如果條件數(shù)大于10，那么可以繼續(xù)第（2）步，對(duì)變換后的進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。

（2）通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得系數(shù)矩陣，其

中常數(shù)，的條件數(shù)小于10，為良態(tài)矩陣

由（6）計(jì)算出參數(shù)，取模型中的參數(shù)，回代模型可以得出解。

五、實(shí)例分析

選取文獻(xiàn)[7]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬比較，即某省SO2排放量的時(shí)間序列為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。

采用文獻(xiàn)[8]中的反向累積法建立為模型一，采用數(shù)乘變換下的反向累積法建立為模型二，采用數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換下的反向累積法建立為模型三，取模型中的參數(shù)，最終得出三種模型的時(shí)間響應(yīng)序列如下

三種模型條件數(shù)及精度比較見(jiàn)表1所示

從表1可知，模型二和模型三的參數(shù)矩陣的條件數(shù)有所降低。針對(duì)本案例，雖在精度上三個(gè)模型沒(méi)變化，但通過(guò)數(shù)乘變換和旋轉(zhuǎn)變換下的反向累積法建立的模型三的效果最好，將矩陣直接降到了良態(tài)，根據(jù)模型病態(tài)性理論，此方法有效地改善了模型的病態(tài)性。

六、結(jié)論

運(yùn)用數(shù)乘變換、旋轉(zhuǎn)變換和反向累積法研究模型的病態(tài)性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)病態(tài)性與序列夾角有關(guān)，運(yùn)用反向累積法和數(shù)乘變換下的反向累積法均可在一定程度上降低參數(shù)矩陣條件數(shù)，若有需要，同時(shí)使用反向累積法、數(shù)乘變換、旋轉(zhuǎn)變換效果會(huì)更好。

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