貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550001) 楊旭

1.研究背景

隨著全球化課程改革運動的潮流,我國近年來對于“課程”這一概念越來越重視,全面深化課程改革勢在必行.美國是美洲的發(fā)達國家之一,是一個文化多元的經(jīng)濟強國,“他山之石,可以攻玉”,用比較研究的方法來觀照國家之間的課程思想及課程實踐,借鑒有益經(jīng)驗,對于推動我國的教育改革和教育研究具有重要的意義,關(guān)于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的比較研究,主要是從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的某一具體內(nèi)容的深度或者廣度進行比較研究[1]-[4].數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)應(yīng)是一種素質(zhì)教育,而教育的起點與歸宿是人,旨在促進人的全面發(fā)展,通過實現(xiàn)個人價值來推斷社會發(fā)展,我國課程改革的指向是追求以核心素養(yǎng)為目標(biāo)的價值取向,改變了傳統(tǒng)的“知識本位”的教學(xué)理念,隨著課改潮流,圍繞核心素養(yǎng)這一目標(biāo)來組織課程改革已經(jīng)成為我國熱門的研究課題,近年來我國學(xué)者進行了一系列的相關(guān)研究,主要是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其培養(yǎng)途徑進行探析[5]-[8],對于基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的某一視角下去比較研究數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體內(nèi)容的分布較少.

數(shù)學(xué)建?？煽闯墒菃栴}解決的一部分,雖然它的作用對象更側(cè)重出現(xiàn)于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域(如物理、生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟等學(xué)科),但需用數(shù)學(xué)工具來解決生活中的問題,數(shù)學(xué)建模的思想與方法可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力.函數(shù)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)內(nèi)容是必修和選擇性必修的主要內(nèi)容,而在美國標(biāo)準(zhǔn)中“函數(shù)”內(nèi)容也是主要知識點之一,因此,選擇“函數(shù)”部分的內(nèi)容具體地比較中美數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng).

2.研究設(shè)計

2.1 研究對象

本研究的對象為中國、美國現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),具體包括: 我國教育部2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)(以下簡稱《課標(biāo)》)[9]、美國2010年由全美洲長協(xié)會與美國各州首席學(xué)校官員理事會聯(lián)合推出了《共同核心州數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》《Common Core State Standards for Mathematics》(以下簡稱CCSSM)[10].

2.2 研究問題

本研究基于“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)視閾下,對兩國高中數(shù)學(xué)課標(biāo)的“函數(shù)”部分進行中觀與微觀層面的研究.基于中觀層面,研究中美“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)具體內(nèi)容、呈現(xiàn)形式、表述形式的異同點;在微觀層面上,研究“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)與內(nèi)容進行融合的表現(xiàn)形式,及其在“函數(shù)”各個知識點的重視程度.

2.3 研究思路及方法

我國《課標(biāo)》中“數(shù)學(xué)建?！笔菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).并且強調(diào)了數(shù)學(xué)建模的過程主要包括: 在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結(jié)果、改進模型,最終解決實際問題[9].通過梳理, 數(shù)學(xué)建模主要是從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,并且用數(shù)學(xué)的方法、語言去解決與表達現(xiàn)實問題, 對于《課標(biāo)》中涉及“通過/結(jié)合具體實例”、“通過實例”、“在具體/現(xiàn)實情境中”、“針對具體問題”、“通過已知的數(shù)學(xué)實例”、“從現(xiàn)實情境中”、“結(jié)合現(xiàn)實情境的具體問題”、“刻畫實際問題”、“解決簡單的實際問題”、“借助/通過實例”、“通過實例分析”、“通過……,了解……的實際背景”、“結(jié)合有限樣本空間”“描述現(xiàn)實生活中簡單的……”、“能根據(jù)實際問題的特點”、“刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題”等,均以知識點條目數(shù)進行編碼統(tǒng)計.

基于中美兩國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),以定性與定量相結(jié)合的研究方法進行比較.首先,分析兩國“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的內(nèi)容及其與“函數(shù)”各個知識點融合的表現(xiàn)形式;其次,對兩國課標(biāo)“函數(shù)”內(nèi)容條目數(shù)就涉及“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)進行編碼并統(tǒng)計,以知識點要求個數(shù)為單位進行編碼統(tǒng)計,并將頻數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比,考察“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)占“函數(shù)”知識的比重,進而,比較其重視程度.

3.研究內(nèi)容

3.1 中美兩國課標(biāo)的“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的比較

3.1.1 課程目標(biāo)的比較

“數(shù)學(xué)建模”既是中美兩國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實施的教學(xué)目標(biāo)之一,又是兩國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的重要組成部分之一,并與其它知識內(nèi)容相互聯(lián)系,相互滲透.通過比較,發(fā)現(xiàn):

兩國課標(biāo)的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的描述有兩點相同之處: 第一,兩國認識到培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)需要與現(xiàn)實生活相聯(lián)系, 感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)系.我國標(biāo)準(zhǔn)均在“感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)”、“學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題”等有涉及,美國CCSSM 均在“具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)(mathematically proficient)的學(xué)生可以運用他們所知道的數(shù)學(xué)知識去解決日常生活、社會和工作中出現(xiàn)的問題”、“具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生,他們可以應(yīng)用他們所掌握的數(shù)學(xué)知識輕松地做出假設(shè),近似地簡化復(fù)雜的情況, 并意識到以后可能需要不斷地予以修正”等有提到.第二,兩國均闡述了數(shù)學(xué)建模的過程包括在現(xiàn)實情境中以數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題,分析問題,做出簡化假設(shè),分析內(nèi)在規(guī)律,改善模型.我國標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)建模的過程提出:在實際情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結(jié)果、改進模型,最終解決實際問題.美國CCSSM 有強調(diào)“學(xué)生應(yīng)用他們所掌握的數(shù)學(xué)知識輕松地做出假設(shè),近似地簡化復(fù)雜的情況”、“可以數(shù)學(xué)地分析這些關(guān)系,并得出結(jié)論”、“檢驗數(shù)學(xué)結(jié)果是否有意義”等.

有兩點不同之處: 第一,兩國對于數(shù)學(xué)知識與技能的要求不同.我國標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界”、“學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題”等.美國CCSSM 提出,基于數(shù)學(xué)建模實踐標(biāo)準(zhǔn)視閾下,需要與小學(xué)、初中、高中各個階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容相結(jié)合并運用到具體的現(xiàn)實情境中去解決問題.第二,強調(diào)使用的數(shù)學(xué)工具不同.我國標(biāo)準(zhǔn)提出“數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段”,未涉及到具體的數(shù)學(xué)工具.美國CCSSM 提出使用諸如圖表、雙向表格、圖像、流程圖和公式等數(shù)學(xué)工具來建立模型,并且學(xué)會在實際情境中能夠運用所學(xué)知識去對此做出假設(shè),進而簡化該情況.

3.1.2 課程內(nèi)容的比較

中國的內(nèi)容主題固定,必修課程與選擇性必修課程中包括函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動四部分內(nèi)容,必修課程還涉及到了“預(yù)備知識”這一部分內(nèi)容,通過以上分類,統(tǒng)計出涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的內(nèi)容條目數(shù)(見表1),以便了解中國課標(biāo)涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容分布.

表1 中國《課標(biāo)》涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容分布

注: 此處需要說明的是,由于兩國將“數(shù)學(xué)建?！敝R模塊以課題研究的形式開展, 所以都均未涉及到知識點個數(shù),則本研究以數(shù)字“0”計數(shù).表2 亦如此.

結(jié)果表明: 我國《課標(biāo)》中“概率與統(tǒng)計”涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)容有25 條,大約是“函數(shù)”(17 條)的1.5 倍,居于第三的是“幾何與代數(shù)”,有12 條,“預(yù)備知識”涉及的有6 條.

圖1 中國課標(biāo)涉及數(shù)學(xué)建模的總體內(nèi)容分布

再將中國《課標(biāo)》涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比(如圖1).在所有涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)容中,“概率與統(tǒng)計”最多,占42%;其次是“函數(shù)”,占28%;“幾何與代數(shù)”占20%,位居第三;“預(yù)備知識”僅占10%.

美國CCSSM 高中階段的主題包括數(shù)與數(shù)量、代數(shù)、函數(shù)、數(shù)學(xué)模型、幾何、統(tǒng)計與概率六部分內(nèi)容,通過以上分類,統(tǒng)計出涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的內(nèi)容條目數(shù)(見表2),以便了解美國CCSSM 涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容分布.

表2 美國CCSSM 涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容分布

結(jié)果表明: 美國CCSSM 中“概率與統(tǒng)計”涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)容有31 條,大約是“函數(shù)”(13 條)的2.4 倍,居于第三的是“代數(shù)”,有8 條,“幾何”涉及的有6 條,相對較少的是“數(shù)與數(shù)量”,僅占3 條.

圖2 美國CCSSM 涉及數(shù)學(xué)建模的總體內(nèi)容分布

再將美國CCSSM 涉及數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比(如圖2).在所有涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的內(nèi)容中,“概率與統(tǒng)計”最多,占51%;其次是“函數(shù)”,占21%;“代數(shù)”占13%,位居第三;“幾何”占10%,“數(shù)與數(shù)量”僅占5%.

通過以上比較,可以知道,中美兩國對于“函數(shù)”與數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系均視為同等重要的地位,均在各國課標(biāo)中排名第二,在某種程度上說明,此為本研究增加了一定的可行性,為本研究提供了一定的支持.

3.2 中美兩國課標(biāo)“函數(shù)”內(nèi)容中“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的比較

研究我國必修課程、選擇性必修課程當(dāng)中的“函數(shù)”知識主題與美國的“函數(shù)”知識主題對中美兩國文本內(nèi)容進行分析.中國《課標(biāo)》函數(shù)內(nèi)容包括;“函數(shù)概念與性質(zhì)”、“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”、“三角函數(shù)”、“函數(shù)應(yīng)用”、“數(shù)列”、“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”, 美國CCSSM 函數(shù)內(nèi)容包括“函數(shù)概念(Interpreting Functions)”、“建立函數(shù)(Building Functions)”、“線性函數(shù)、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)”、“三角函數(shù)”,通過梳理兩國課標(biāo)“函數(shù)”知識點,結(jié)合中美兩國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“函數(shù)”內(nèi)容的實際情況,將“函數(shù)”領(lǐng)域比較研究的具體內(nèi)容歸為“函數(shù)概念與性質(zhì)”、“特殊函數(shù)”、“數(shù)列”、“其他函數(shù)內(nèi)容”,如下表所示:

表3 “函數(shù)”知識單元理論分析框架及編碼體系

3.2.1 函數(shù)的概念與性質(zhì)

從“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的具體知識點來看,美國課標(biāo)知識點相比于中國《課標(biāo)》,除了收集關(guān)于函數(shù)形成與發(fā)展的歷史資料并撰寫小論文之外,既包含了我國課標(biāo)所涉及的知識點,還含有美國本身所特有的數(shù)學(xué)知識點,如: 線性函數(shù)、二次函數(shù)、平方根函數(shù)、立方根函數(shù)、有理函數(shù)、多項式函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、對稱性等.

美國課標(biāo)關(guān)于涉及“數(shù)學(xué)建?！睌?shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的知識點用帶*來表示,其“函數(shù)的概念與性質(zhì)”主要涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的相關(guān)知識點包括函數(shù)的特征、函數(shù)與圖像、函數(shù)的平均變化率、會畫函數(shù)圖像、函數(shù)與現(xiàn)實情境等.我國主要涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的相關(guān)知識點包括函數(shù)的表示、分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)模型的應(yīng)用等,相比之下,美國涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的知識點內(nèi)容豐富且詳細.根據(jù)其知識點的要求表述,我們可以看出,兩國都側(cè)重于學(xué)會表達,美國注重函數(shù)與具體情境的聯(lián)系,強調(diào)用函數(shù)去描述具體的情境,并注重用計算機技術(shù)繪制多種函數(shù),從而更好地理解函數(shù)的主要特征,而我國強調(diào)的是根據(jù)情境的需要選擇合適的方法表示函數(shù)、從具體實例中了解分段函數(shù)并能應(yīng)用等,均是通過具體的情境抽象出數(shù)學(xué)問題,相比之下,我國注重的是數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的“數(shù)學(xué)建?！?而美國則是數(shù)學(xué)與外部世界的“數(shù)學(xué)建?！?

我國《課標(biāo)》中“函數(shù)模型的應(yīng)用”包含了函數(shù)零點與方程解.二分法求近似解等知識點.我國“數(shù)學(xué)建?！彼枷朐凇昂瘮?shù)”這一知識主題上大都體現(xiàn)在了“函數(shù)的應(yīng)用”這一知識點,用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程體現(xiàn)在“探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖,能借助計算工具用二分法求方程近似解”,強調(diào)的是知識形成的探索與體驗過程.在“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”中,強調(diào)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律,體現(xiàn)函數(shù)模型在現(xiàn)實情境中的重要作用; 要結(jié)合具體問題, 利用計算工具, 比較函數(shù)模型的差異,并要求在其他非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中體會函數(shù)模型的現(xiàn)實意義.美國CCSSM 涉及到了結(jié)合具體情境來寫出函數(shù)表達式,在情境中理解函數(shù)參數(shù)的意義,用函數(shù)模型去解決實際問題等,相比之下,我國在“函數(shù)應(yīng)用”這一知識點對于“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的培養(yǎng)比較重視,且涉及的范圍比較廣.

3.2.2 特殊函數(shù)

在“特殊函數(shù)”中的“冪函數(shù)”這部分內(nèi)容的知識點,需要注意的是,美國CCSSM 提及的是平方根函數(shù)、立方根函數(shù)以及多項式函數(shù).通過分析,可知CCSSM 注重用計算機技術(shù)去繪制米函數(shù)圖像,并從中得到其主要的特征,我國《課標(biāo)》通過實例引出冪函數(shù)概念,結(jié)合圖像理解冪函數(shù)的變化規(guī)律,相比之下,美國注重冪函數(shù)的作圖,借此來加深學(xué)生對冪函數(shù)的理解,提高學(xué)生的動手實踐能力,我國對于冪函數(shù)的要求程度是“了解”,對于鍛煉學(xué)生的實際操作能力的要求有待提高.

美國指數(shù)函數(shù)的內(nèi)容都涉及到了“數(shù)學(xué)建模”,美國“指數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容豐富,且涉及“數(shù)學(xué)建?！钡南嚓P(guān)知識也豐富、詳細、全面.兩國在指數(shù)函數(shù)與現(xiàn)代技術(shù)的關(guān)系領(lǐng)域上,都有明確具體的要求.CCSSM 強調(diào)用計算機技術(shù)求解指數(shù)方程的解,我國《課標(biāo)》規(guī)定用計算工具畫具體指數(shù)函數(shù)的圖像,探索與分析指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).兩國都注重指數(shù)函數(shù)與實際問題相聯(lián)系,CCSSM 注重的是理解指數(shù)函數(shù)中參數(shù)的意義,我國強調(diào)的是指數(shù)函數(shù)的實際意義.CCSSM 還強調(diào)了等差數(shù)列與等比數(shù)列與線性函數(shù)(一次函數(shù))、指數(shù)函數(shù)的模型構(gòu)建的關(guān)系,在我國《課標(biāo)》的基礎(chǔ)上還添加了二次函數(shù)的相關(guān)知識,并強調(diào)學(xué)會分析線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的模型,隱含了讓學(xué)生學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去分析、解決現(xiàn)實問題.

關(guān)于“對數(shù)函數(shù)”這一知識, 我國“對數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容要豐富一些,涉及的范圍也比較廣,我國《課標(biāo)》中沒有直接出現(xiàn)“反函數(shù)”的內(nèi)容,但在“對數(shù)函數(shù)”中有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的內(nèi)容條目,歸為“對數(shù)函數(shù)”,美國CCSSM也歸為“對數(shù)函數(shù)”.CCSSM 沒有涉及標(biāo)注“*”,但從中我們可以發(fā)現(xiàn),美國關(guān)于對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)要求是想讓學(xué)生學(xué)會用對數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識去解決現(xiàn)實問題.兩國都涉及到了反函數(shù)的內(nèi)容,CCSSM 內(nèi)容比較詳細,強調(diào)會求解、驗證反函數(shù),并學(xué)會借助圖像和表格等求反函數(shù)的特定值,對于不可逆函數(shù),可以限定它的定義域來求新的可逆函數(shù)等,我國《課標(biāo)》單純地說明反函數(shù)的概念,知道同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).我國《課標(biāo)》最為之有特色的一條是“通過具體實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念,能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.”強調(diào)用描點法和計算工具去繪制圖像,注重學(xué)生的動手實踐能力,學(xué)會在實踐中去分析問題、解決問題.

關(guān)于“三角函數(shù)”這一部分的知識點內(nèi)容,我國《課標(biāo)》中沒有涉及到反三角函數(shù)的內(nèi)容條目, 但在人民教育出版社A 版必修4“三角函數(shù)”中有所涉及,可歸為“三角函數(shù)”這一內(nèi)容, 則美國亦可歸為“三角函數(shù)”.美國CCSSM 涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)均體現(xiàn)在“能畫出正弦、余弦、正切三角函數(shù)的圖像之后, 掌握它們的性質(zhì)”、“結(jié)合具體實例, 了解y =A sin(ωx+φ)的實際意義,能借助圖像理解參數(shù)ω,φ,A的意義,了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖像的影響”、“會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題,體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.”等,強調(diào)的是能夠繪制正弦、余弦、正切的函數(shù)圖像,并要借助圖像能了解y =A sin(ωx+φ)的參數(shù)的意義和它的參數(shù)變化對圖像的影響,會用三角函數(shù)解決實際問題.CCSSM 強調(diào)的是,要根據(jù)周期的特征來選擇三角函數(shù)建模,并根據(jù)實際情況得到三角方程,還強調(diào)了信息技術(shù)在三角函數(shù)的應(yīng)用.通過比較,發(fā)現(xiàn)兩國都重視三角函數(shù)在現(xiàn)實情境的應(yīng)用問題,不同之處在于,CCSSM 重視信息技術(shù)的使用,根據(jù)所給函數(shù)具有的周期特征來選擇合適的三角函數(shù)模型,相比之下,我國《課標(biāo)》缺乏更為細致的要求.

3.2.3 數(shù)列

對于“數(shù)列”這一知識點,美國沒有單獨設(shè)置,但是在“函數(shù)”這一知識模塊中有所涉及.通過比較發(fā)現(xiàn),美國CCSSM提到,可根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列來構(gòu)建函數(shù)模型,我國《課標(biāo)》規(guī)定的是從現(xiàn)實情境中,了解、理解等差數(shù)列(等比數(shù)列)的概念及其通項公式的意義,更多體現(xiàn)的是“數(shù)學(xué)建?！边^程當(dāng)中的第一步,最主要就是從現(xiàn)實情境中抽象出等差數(shù)列與等比數(shù)列概念的數(shù)學(xué)模型,相比之下,美國更為重視函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系,體現(xiàn)“數(shù)學(xué)建模”核心素養(yǎng)的范圍全面一些.

3.2.4 其他函數(shù)內(nèi)容

關(guān)于“其他函數(shù)內(nèi)容”,涉及的知識點主要有一次函數(shù)、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用、二次函數(shù)、函數(shù)與其它知識的聯(lián)系,如:函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等,關(guān)于“一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用”,我國有單獨設(shè)置,涉及的知識點條目數(shù)有9 條,而CCSSM 沒有單獨設(shè)置,僅涉及一條相關(guān)知識點.

我國《課標(biāo)》涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的知識內(nèi)容主要是函數(shù)的概念及其意義、會求函數(shù)以及簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的應(yīng)用、從函數(shù)的觀點看一元二次方程和一元二次不等式等, 美國CCSSM 提出“會計算并理解在一個指定區(qū)間上函數(shù)的平均變化率, 會根據(jù)函數(shù)圖像估計函數(shù)的變化率”, 相比之下, 我國涉及的知識點范圍相對較多, 內(nèi)容也豐富, 但在一定程度上, 體現(xiàn)的是內(nèi)容不夠簡捷, 有待進一步簡練.CCSSM 強調(diào)從函數(shù)圖像估計函數(shù)的變化率, 體現(xiàn)的是對數(shù)的一種感悟, 我國《課標(biāo)》不僅強調(diào)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的建模過程(如, 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)),也強調(diào)了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實情境問題的求解過程,并從情境當(dāng)中理解相關(guān)的知識,如一元二次方程、一元二次不等式等.

3.3 中美兩國“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)內(nèi)容比重的比較

基于本研究課題內(nèi)容,經(jīng)過統(tǒng)計,我國“函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的條目數(shù)有48 條,加上涉及到“函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系”有3 條,共51 條,涉及“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的內(nèi)容條目數(shù)有18 條, 約占“函數(shù)”的35%.美國“函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容的條目數(shù)28 條,加上涉及到“函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系”有3 條,共31 條,涉及“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的內(nèi)容條目數(shù)有14 條,約占45%,在一定程度上可以說明,美國更為重視“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的培育.關(guān)于中美兩國“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)在“函數(shù)”各知識的內(nèi)容分布,如下表所示:

表4 中美兩國“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)內(nèi)容數(shù)量

注: 由于美國CCSSM 涉及到的“數(shù)學(xué)建模”實踐標(biāo)準(zhǔn)有重復(fù)的,所以在統(tǒng)計中,對于重復(fù)多少次的條目數(shù)歸為不同知識類別時,就記為多少分之一,比如,“會計算并理解在一個指定區(qū)間上函數(shù)的平均變化率,會根據(jù)函數(shù)圖像估計函數(shù)的變化率.”重復(fù)兩次,歸類為“函數(shù)的概念與性質(zhì)”和“其他函數(shù)內(nèi)容”,那么,條目數(shù)記為二分之一,其他以此類推.

結(jié)果表明: 中國《課標(biāo)》“函數(shù)的概念與性質(zhì)”、“特殊函數(shù)”、“數(shù)列”涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)容各有5 條,“其他函數(shù)內(nèi)容”有3 條;美國CCSSM 中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)容有5 條,“特殊函數(shù)”有7 條,大約是“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的1.4 倍,居于第三的是“其他函數(shù)內(nèi)容”,有1.5 條,“數(shù)列”涉及的僅有0.5 條,相對較少.

下面研究中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)涉及“數(shù)學(xué)建?！钡膬?nèi)容分布(如圖3).

圖3 中美兩國課程標(biāo)準(zhǔn)“函數(shù)”涉及“數(shù)學(xué)建?！钡膬?nèi)容分布

結(jié)果表明,我國“函數(shù)”內(nèi)容涉及“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)主要是在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”、“特殊函數(shù)”、“數(shù)列”內(nèi)容上,美國“數(shù)學(xué)建?！敝饕w現(xiàn)在“特殊函數(shù)”內(nèi)容上; 差距較為明顯的當(dāng)屬“數(shù)列”內(nèi)容,我國27.8%,美國僅占3.6%;中美兩國在“函數(shù)的概念與性質(zhì)”和“其他函數(shù)內(nèi)容”上相差不大,而在“特殊函數(shù)”上不同,美國所占比例相比與中國較大,為50%,由此可看出,美國比較重視在具體的函數(shù)知識內(nèi)容上去滲透“數(shù)學(xué)建模”思想,我國重視數(shù)學(xué)建模的體現(xiàn)的特征是寬泛,內(nèi)容針對性不唯一.

4.啟示與建議

4.1 應(yīng)與每一個學(xué)習(xí)階段所講授內(nèi)容相配合,將知識運用于數(shù)學(xué)之外的情境.

從美國CCSSM 實踐標(biāo)準(zhǔn)中可看出,美國提倡在每一個學(xué)習(xí)階段(小學(xué)、初中、高中)運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決問題.“數(shù)學(xué)建?！彼枷胧窃杏诟咧袛?shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)當(dāng)中,教師可以根據(jù)需要將教材的具體的每一章每一節(jié)每一課時設(shè)置合理的數(shù)學(xué)情境,從中抽象出數(shù)學(xué)問題,然后建立模型,求解模型,并且可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察生活中的數(shù)學(xué)問題,能夠運用本節(jié)課所學(xué)到的數(shù)學(xué)模型遷移到另一個數(shù)學(xué)情境去求解數(shù)學(xué)問題,在此過程中,能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力.

美國提倡的是利用具體的數(shù)學(xué)知識去解決現(xiàn)實中的問題,提倡的是數(shù)學(xué)知識的積累,體現(xiàn)的是在運用數(shù)學(xué)知識的過程中去理解數(shù)學(xué),重視數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,強調(diào)的是先學(xué)習(xí)理論,再付諸于實踐.我國對于“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的表述,是從現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,強調(diào)數(shù)學(xué)實踐的積累,并讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)教學(xué)在社會生活中諸多領(lǐng)域的重要作用,兩國相比之下,美國對于“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)的表述更為詳細、具體.

當(dāng)學(xué)生已具備了基本的數(shù)學(xué)知識與基本技能之后,在教師的引導(dǎo)下,根據(jù)學(xué)生的認知情況,給定一個現(xiàn)實生活中的問題,培養(yǎng)學(xué)生自主思考、動手實踐的能力,經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)建模的過程,體會其中的學(xué)習(xí)樂趣.真正將數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性和實踐能力的功效發(fā)揮出來,讓學(xué)生將理論與實踐結(jié)合起來,在實踐中設(shè)計模型、完善模型、解決實際問題,提高學(xué)生建模能力與綜合素質(zhì).

4.2 結(jié)合我國知識點內(nèi)容,建議我國的課程標(biāo)準(zhǔn)對于涉及“數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)的內(nèi)容用標(biāo)識符標(biāo)記.

美國用“*”標(biāo)注以引起對“數(shù)學(xué)建模”的關(guān)注,是便于教師在教學(xué)過程中注重這方面知識與“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的滲透,利于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

4.3 注重用具體的函數(shù)去表達具體的現(xiàn)實情境.

數(shù)學(xué)模型是將學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界或者是數(shù)學(xué)情境結(jié)合在一起,數(shù)學(xué)建模是學(xué)會選擇用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去分析和解決問題.美國在“函數(shù)”這一知識主題上用“*”標(biāo)記了大量與“數(shù)學(xué)建?！庇嘘P(guān)的內(nèi)容,通過對“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)在“函數(shù)”內(nèi)容知識點的統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn): CCSSM 重視具體的函數(shù)模型在現(xiàn)實情境中的應(yīng)用,強調(diào)用函數(shù)去描述具體的情境,在問題解決過程中理解函數(shù),相比之下,我國注重的是數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的“數(shù)學(xué)建?！?而美國則是數(shù)學(xué)與外部世界的“數(shù)學(xué)建模”,CCSSM 更接地氣,學(xué)生學(xué)起來比較容易理解函數(shù).

4.4 需注重函數(shù)建模與信息技術(shù)的結(jié)合.

兩國都重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)將函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)進行結(jié)合, 并通過它繪制函數(shù)圖像來理解、掌握函數(shù)的主要特征,《課標(biāo)》涉及信息技術(shù)的領(lǐng)域主要是在繪制函數(shù)圖像,在涉及函數(shù)建模的知識點體現(xiàn)信息技術(shù)的使用頻率較少, 而CCSSM 頻繁涉及到了信息技術(shù)的使用,我國可根據(jù)實際需要利用現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢來輔助我們的教學(xué),幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).