廣東省廣州白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510430) 袁宏

在初中數(shù)學(xué)中,幾何最值問題是初中幾何中比較常見的一類問題,主要體現(xiàn)在求線段和最小或是線段的差最大等問題中.這一問題也是各地中考比較熱衷的考點(diǎn)之一.廣州市的中考也不例外,比較廣州市2017年和2018年這兩年中考試題,不難發(fā)現(xiàn),在這兩年的中考試題中也是連續(xù)考到這一知識點(diǎn).如2017年廣州市中考數(shù)學(xué)中的24 題和2018年廣州市中考數(shù)學(xué)中的23 題這兩道題目中的最后一問都可以歸為幾何中的最值問題,這兩個(gè)最值問題,乍一看上去不一樣,但是在解法中卻能找到相同之處.

(2017年24 題)如圖1,矩形ABCD 的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△COD 關(guān)于CD 的對稱圖形是△CED.

圖1

(1)求證: 四邊形OCED 是菱形.

①求sin ∠EAD 的值;

②若點(diǎn)P 為線段AE 上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A 重合),連接OP,一動點(diǎn)Q 從點(diǎn)O 出發(fā),以1cm/s 的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P,再以1.5cm/s 的速度沿線段PA 勻速運(yùn)動到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A 后停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)Q 沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A 所需要的時(shí)間最短時(shí),求AP 的長和點(diǎn)Q 走完全程所需的時(shí)間.

本題是廣州市2017年中考題24 題,是屬于壓軸題的范疇,是綜合性比較強(qiáng)的一道題,主要是對矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線的性質(zhì)與判定,勾股定理的應(yīng)用,三角函數(shù)的應(yīng)用,圖形的軸對稱以及圖形的運(yùn)動和求最值問題等知識點(diǎn)進(jìn)行了綜合性的考查.題目還考查學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想.在當(dāng)年9 萬多考生中, 本題14 分的滿分中, 僅有3.28 分的平均分.本題第一問證明四邊形OCED 是菱形應(yīng)該是比較容易的一問,只需要利用菱形的判定方法證明四邊相等即可,而由已知條件也是易證四邊相等.第二問的第一小問要求∠EAD的三角函數(shù),可以用我們經(jīng)常用到的兩種方法來解決,一是需要做輔助線直接把角放在直角三角形中;二是可以采用轉(zhuǎn)化的方法,把要求的角度轉(zhuǎn)化為與之相等的角,并且這個(gè)角度是在直角三角形中, 接下來利用三角函數(shù)的定義來解決,最終求三角函數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為求線段長度的比值問題.這一問,對于中等程度的學(xué)生來講,若是時(shí)間充足,是可以做出來的.本題的第二問的的第二小問設(shè)置的是一道有區(qū)分度的一問,本題在這一問上就會拉開差距,卡住不少學(xué)生.本題乍看上去是一個(gè)動點(diǎn)問題,但是深入的分析,就會發(fā)現(xiàn)其實(shí)是隱藏了最值問題,明面上是運(yùn)動中時(shí)間的最小,但是把所需時(shí)間表示出來,t=然后結(jié)合第二問中的三角函數(shù),把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P 到AD 邊的距離PG,就會發(fā)現(xiàn)時(shí)間最短問題最終轉(zhuǎn)化為在線段AE 上找一點(diǎn)P 使得線段OP +PG 的和最小,這就是我們開始講到的幾何中的最值問題.分析透本題,本題的解法也并不唯一,接下來給出本題第二問的一種解法.

解(2)如圖2, 由題意可得, 點(diǎn)Q 運(yùn)動到點(diǎn)A 的時(shí)間為過點(diǎn)E作EF⊥AD, 交AD 的延長線于點(diǎn)F, 則EF = 3cm,所以從而過點(diǎn)P 作PG⊥AD 于點(diǎn)G, 則有過點(diǎn)O 作OH⊥AD 于點(diǎn)H, 則有而所以tmin= 3s.顯然所以綜上所述,當(dāng)點(diǎn)Q 沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A 所需要的時(shí)間最短時(shí),AP 的長為點(diǎn)Q 走完全程所需的時(shí)間為3s.

圖2

接下來我們來看2018年的23 題.

23.如圖3, 在四邊形ABCD 中, ∠B = ∠C = 90°,AB ＞CD,AD =AB+CD.

圖3

(1)利用尺規(guī)作∠ADC 的平分線DE,交BC 于點(diǎn)E,連接AE (保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)在(1)的條件下,

①證明: AE⊥DE;

②若CD = 2,AB = 4,點(diǎn)M,N 分別是AE,AB 上的動點(diǎn),求BM +MN 的最小值.

本題是廣州市2018年中考題23 題,本題屬于中等偏上難度的題目,主要考查做已知角的角平分線的尺規(guī)作圖、圖形的軸對稱、圖形的運(yùn)動及其求最值問題.題目還考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.本題滿分12 分,在本年的8 萬多的考生中本題的平均分4.07 分.第一問的尺規(guī)作圖是比較基礎(chǔ)的,幾乎每年都會考查的知識點(diǎn),對于一般的學(xué)生而言,只需注意細(xì)節(jié)問題,幾段弧線都能清楚的畫出來, 也就能做到這一問不失分.第二問的第一小問, 我們知道證明線段的垂直關(guān)系最常用的方法有兩種: 一是,證明角度為90°; 二是利用圖形的性質(zhì)直接證明垂直關(guān)系.所以這一小問的證明方法是比較多的,我們可以根據(jù)題意利用角平分線的性質(zhì)作出輔助線, 結(jié)合題目中的已知條件利用全等三角形做為輔助工具導(dǎo)出角度直接的關(guān)系, 最終證明∠AED = 90°, 從而證明AE⊥DE.我們也可以利用條件,延長DE 交AB 的延長線與一點(diǎn)F,然后證明△ADF 為等腰三角形,同時(shí)證明E 為DF 的中點(diǎn),利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì),證出AE⊥DE.學(xué)生之所以反映今年的中考數(shù)學(xué)和往年比較有些難度,除了前面的幾道題目加大抽象思維的考查和對分類討論考查外,23 題的最后一小問也是卡住學(xué)生的一道題.本小問和2017年的24 題的最后一小問一樣也是動點(diǎn)求線段和的最小值.這兩道題目的這兩道小題,看上去很象我們在人教版八年級上冊13.4《課題學(xué)習(xí)最短路徑問題》一節(jié)學(xué)過的知識點(diǎn)”將軍飲馬問題”,如圖4,即“在直線l 的同側(cè)有A,B 兩點(diǎn),要求在直線l 上找一個(gè)點(diǎn)P,使得點(diǎn)P 到A,B 兩點(diǎn)的距離之和最短”.但是這兩道題目和“將軍飲馬問題”又不完全一樣.

圖4

將軍飲馬問題的本質(zhì)是兩個(gè)定點(diǎn),一個(gè)動點(diǎn).但是2017年24 題的最后一問和2018年的23 題的最后一問都是一個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動點(diǎn).并且通過深入分析我們可以將2018年的這題,轉(zhuǎn)化為和2017年24 題相同的解法.主要是先利用一下將軍飲馬的原理,做點(diǎn)B 關(guān)于直線AE 的對稱點(diǎn)K,這樣問題就變成,在AE,AB 上找兩個(gè)動點(diǎn)M、N,使得點(diǎn)M 到點(diǎn)K 和點(diǎn)N 的距離之和最短.這樣問題就和2017年的24 題完全一樣了, 直接利用垂線段最短, 過點(diǎn)K 做AB 的垂線,與AE 交于點(diǎn)M,與AB 交于點(diǎn)N,最短線段和我們已經(jīng)找到,接下來就是如何計(jì)算,在考場上有一部分學(xué)生已經(jīng)找到了最短線段和,但是在如何求這條線段的長度時(shí)又遇到了問題.接下來給出本題的一種解答.

解(1)尺規(guī)作圖如下圖5 所示.

圖5

圖6

(2)① 如圖6, 作EK⊥AD 交AD 于K, 連接AE.因 為DE 是∠ADC 角 分 線, ∠C = ∠DKE = 90°,所以由角分線性質(zhì)可得∠EDK = ∠EDC, 所以所以△DEK△DEC (AAS).因?yàn)镈C = DK,∠DEK = ∠DEC,又因?yàn)锳D = AB +CD,所以AK =AD-DK =AB+CD-DK =AB,所以Rt△AEKRt△AEB(HL),所以∠AEK =∠AEB,又因?yàn)椤螪EC +∠DEK +∠AEK +∠AEB = 180°, ∠DEK =∠DEC,所以∠DEK+∠AEK =∠DEC+∠AEB =90°,即∠DEA=90°,所以AE⊥DE.

這兩道中考題我們都可以歸為是下列的問題的一個(gè)應(yīng)用.

如圖7, 在直線l1上求點(diǎn)A, 在直線l2上求點(diǎn)B, 使PA+PB 值最小.

圖7

圖8

此類題目的具體做法如下: (如圖8)

作點(diǎn)P 關(guān)于l1的對稱點(diǎn)P′, 作P′B⊥l2于點(diǎn)B, 交l1于點(diǎn)A.

此類作圖題的基本原理是: 用到“直線外一點(diǎn)和直線的所有點(diǎn)的連線中,垂線段最短,”即我們簡稱的“垂線段最短”.

搞清楚這類題目的原理和模型,以后遇到這類問題就很容易解決.接下來我們來看此類題目的一應(yīng)用.

(2017·徐州)如圖9,將邊長為6 的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊, 展平后, 得折痕AD, BE (如圖10- ①),點(diǎn)O 為其交點(diǎn).

(1)探求AO 到OD 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖10- ②,若P,N 分別為BE,BC 上的動點(diǎn).

①當(dāng)PN+PD 的長度取得最小值時(shí),求BP 的長度;

② 如圖10- ③, 若點(diǎn)Q 在線段BO 上, BQ = 1, 則QN +NP +PD 的最小值=____.

圖9

圖10

本題的第一小問比較基礎(chǔ),利用等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)很容易得到結(jié)論;第二問的兩道題就是我們前面總結(jié)的模型的題目的應(yīng)用,搞清楚了模型的原理,這兩問也就非常容易完成了.下面給出題目的一種詳細(xì)答案.

解(1)AO =2OD.

理由: 因?yàn)椤鰽BC 是等邊三角形, 所以∠BAO =∠ABO = ∠OBD = 30°, 所以AO = OB. 因?yàn)锽D = CD, 所以AD⊥BC, 所以∠BDO = 90°, 所以O(shè)B =2OD,OA=2OD.

(2)①如圖11, 作點(diǎn)D 關(guān)于BE 的對稱點(diǎn)D′, 過D′作D′N⊥BC 于N 交BE 于P, 則此時(shí)PN +PD 的長度取得最小值.因?yàn)锽E 垂直平分DD′, 所以BD = BD′.因?yàn)椤螦BC = 60°, 所以△BDD′是等邊三角形, 所以因?yàn)椤螾BN = 30°,所以所以PB =

圖11

圖12

② 如圖12, 作Q 關(guān)于BC 的對稱點(diǎn)Q′, 作D 關(guān)于BE 的對稱點(diǎn)D′, 連接Q′D′,即為QN +NP +PD 的最小值.根據(jù)軸對稱的定義可知: ∠Q′BN = ∠QBN = 30°,∠QBQ′= 60°, 所以△BQQ′為等邊三角形, △BDD′為等邊三角形, 所以∠D′BQ′= 90°, 所以在Rt△D′BQ′中所以QN+NP +PD 的最小值故答案為: