董孟峰， 陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

梯度系統(tǒng)在研究力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性時具有重要作用，借助梯度系統(tǒng)研究Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一類重要方法.梅鳳翔首先介紹了兩類基本梯度系統(tǒng)[1-2]以及Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示[3-4].尚玫等提出了廣義Bikhoff方程的Poisson理論[5].崔金超等給出了自治Birkhoff系統(tǒng)的四類梯度表示[6-7].曹秋鵬等研究了利用梯度系統(tǒng)研究約束自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性[8].陳向煒等利用負定非對稱的梯度系統(tǒng)構(gòu)造穩(wěn)定的廣義Birkhoff系統(tǒng)[9].李彥敏等給出了廣義Birkhoff系統(tǒng)的兩類廣義梯度表示[10].

組合梯度系統(tǒng)是由幾類基本梯度系統(tǒng)組合起來構(gòu)成的.利用組合梯度系統(tǒng)可以研究復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).祖啟航等給出了一類非自治Birkhoff系統(tǒng)的分數(shù)維梯度表示[11]，張毅給出了一類非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示[12]，王嘉航等給出了非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的半負定矩陣梯度表示[13].陳向煒等利用組合梯度系統(tǒng)研究了定常Chetaev型非完整系統(tǒng)[14].梅鳳翔等利用組合梯度系統(tǒng)研究了一類廣義Birkhoff系統(tǒng)[15].目前，利用組合梯度系統(tǒng)研究Birkhoff系統(tǒng)的性質(zhì)還僅限在自治的情況，本文將其推廣到非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 組合梯度系統(tǒng)及其性質(zhì)

1.1 梯度系統(tǒng)

梯度系統(tǒng)有4類基本形式.微分方程有形式

(1)

當(dāng)系統(tǒng)為通常梯度系統(tǒng)時Aij為負單位矩陣；當(dāng)系統(tǒng)為斜梯度系統(tǒng)時Aij為反對稱矩陣；當(dāng)系統(tǒng)為對稱負定的梯度系統(tǒng)時Aij為對稱負定矩陣；當(dāng)系統(tǒng)為半負定的梯度系統(tǒng)時Aij為半負定矩陣.

1.2 組合梯度系統(tǒng)Ⅰ

若系統(tǒng)有微分方程

(2)

其中矩陣bijx=-bjix為反對稱的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅰ.

(3)

1.3 組合梯度系統(tǒng)Ⅱ

若系統(tǒng)有微分方程

(4)

其中矩陣Sijx=Sjix為對稱負定的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅱ.

(5)

1.4 組合梯度系統(tǒng)Ⅲ

若系統(tǒng)有微分方程

(6)

其中矩陣aij=aijx為半負定的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅲ.

(7)

1.5 組合梯度系統(tǒng)Ⅳ

若系統(tǒng)有微分方程

(8)

其中矩陣bijx=-bjix為反對稱的，Sij=Sijx為對稱負定的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅳ.

(9)

1.6 組合梯度系統(tǒng)Ⅴ

若系統(tǒng)有微分方程

(10)

其中矩陣bijx=-bjix為反對稱的，aij=aijx為半負定的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅴ.

(11)

1.7 組合梯度系統(tǒng)Ⅵ

若系統(tǒng)有微分方程

(12)

其中矩陣aij=aijx為半負定的，Sij=Sijx為對稱負定的，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅵ.

(13)

2 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的組合梯度表示

非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程為

(14)

μ,ν=1,2,…,2n

設(shè)系統(tǒng)非奇異，則(13)式可寫為

(15)

通常情況下，方程(15)不是組合梯度系統(tǒng).若系統(tǒng)可成為組合梯度系統(tǒng)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，則存在函數(shù)V、反對稱矩陣bμν、對稱負定矩陣Sμν和半負定矩陣aμν分別使下列條件成立，

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

由于系統(tǒng)方程的形式不唯一，當(dāng)方程的一階形式不滿足方程(16)～(21)，不能說明系統(tǒng)不是組合梯度系統(tǒng).系統(tǒng)能夠成為組合梯度系統(tǒng)，則可以找到相應(yīng)矩陣和Lyapunov函數(shù).

3 應(yīng)用舉例

例1廣義Birkhoff系統(tǒng)為

R1=0,R2=a1sint,B=a1a2sint

(22)

附加項為

Λ1=3a1sint+4a2sint,Λ2=a2cost+a2sint

(23)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(22)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

例2廣義Birkhoff系統(tǒng)為

(24)

附加項為

Λ1=a1sint+5a2sint,Λ2=a1cost+a2sint

(25)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(24)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

例3廣義Birkhoff系統(tǒng)為

(26)

附加項為

Λ1=-2a1sint-a2cost+5a2sint,Λ2=-5a1sint+4a2sint

(27)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(26)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

例4廣義Birkhoff系統(tǒng)為

R1=0,R2=a1sint,B=4a1a2sint

(28)

附加項為

Λ1=4a1sint+8a2sint,Λ2=a1cost+2a2sint

(29)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(28)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

例5廣義Birkhoff系統(tǒng)為

(30)

附加項為

(31)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(30)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

例6廣義Birkhoff系統(tǒng)為

R1=0,R2=a1sint,B=a1a2sint-a1a2cost

(32)

附加項為

Λ1=-2a1sint+4a2sint-a2cost,Λ2=-a1sint+2a2sint

(33)

顯然，該系統(tǒng)是非自治的.

由(32)式得

由方程(15)可得

上式可表示為

4 結(jié) 論

本文利用組合梯度系統(tǒng)來研究非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)直接研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性.這種利用組合梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法具有普遍意義，可進一步推廣到其它約束動力學(xué)系統(tǒng).