舒孝珍

(成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611130)

1 泰勒公式[1]

設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)可以表示為(x-x0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和:

2 泰勒公式的應(yīng)用

2.1 利用泰勒公式計(jì)算有理函數(shù)的不定積分[2]

求有理函數(shù)的不定積分,常用的方法是將有理函數(shù)通過待定系數(shù)法或賦值法分解為最簡(jiǎn)分式的和的形式求不定積分,這個(gè)分解的過程有時(shí)候比較麻煩。對(duì)于有些求不定積分的題型,若采取泰勒公式,將簡(jiǎn)化解題過程。

解令f(x)=x3+2x-1,利用泰勒公式將f(x)在x=1處展開,

2.2 利用泰勒公式判斷反常積分的斂散性

在判斷反常積分的斂散性時(shí),可以先利用泰勒公式對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)后再判別其斂散性。

還可以利用泰勒公式討論某些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性[4].

2.3 利用泰勒公式證明不等式

在證明不等式時(shí),我們可以利用拉格朗日中值定理、函數(shù)的凹凸性、單調(diào)性等方法,同時(shí),泰勒公式也是證明不等式的一種重要方法。

例3[5]設(shè)f(x)在[0,1]上具有二階導(dǎo)數(shù),且[0,1]上成立|f(x)|≤A,|f″(x)|≤B.

證明?c∈[0,1],f(x)在x=c處的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式為:

其中ξ在c與x之間,因此ξ∈[0,1].特別地

其中ξ1,ξ2∈[0,1].將以上兩式相減得

由已知條件可得

2.4 利用泰勒公式確定某些函數(shù)的原函數(shù)

有些函數(shù)的原函數(shù)是非初等函數(shù),一般不容易找到,可以采用泰勒公式的冪級(jí)數(shù)展開式來找到它的原函數(shù)。

例4 求函數(shù)f(x)=arctanx,x∈(-1,1)的原函數(shù).

解當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),由泰勒公式可得

由于f(x)在x∈(-1,1)內(nèi)一致收斂,所以?x∈(-1,1),f(x)的原函數(shù)

2.5 利用泰勒公式求極限

在求極限的問題中,對(duì)于用洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小替換失效的極限問題,一般可利用泰勒公式得到解決。

解將分子與分母中各項(xiàng)分別用帶有佩亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式表示,即

因此,

在求曲線的漸近線時(shí),我們也可以利用泰勒公式。

漸近線定義:若曲線y=f(x)上的點(diǎn)(x,f(x))到直線y=ax+b的距離在x→+∞或x→-∞時(shí)趨于零,則稱直線y=ax+b是曲線的一條漸近線。

漸近線方程中,通過泰勒公式求函數(shù)極限得到常數(shù)b更加簡(jiǎn)便。

2.6 利用泰勒公式求近似值

與精確值ln2=0.69314718…的誤差小于0.0001.

3 結(jié)語

文章從六個(gè)方面探究了泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題等方面的應(yīng)用,深入探討泰勒公式的應(yīng)用,對(duì)于解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題可以起到事半功倍的效果。在具體應(yīng)用泰勒公式時(shí),要具體問題具體分析,靈活應(yīng)用泰勒公式。