顏碧梅 張桂芳

[摘? 要] 數學概念在數學教學中占有非常重要的地位，核心素養(yǎng)背景下要求概念教學要真正以人為本，讓學生真正理解和掌握概念. 通過創(chuàng)設情境，把握學生認知規(guī)律;通過啟發(fā)性問題引導學生;讓學生經歷概念發(fā)生發(fā)展過程，了解“為什么”. 這些都是數學概念教學的應有之義.

[關鍵詞] 數學概念;核心素養(yǎng);概念教學

問題的提出

隨著“核心素養(yǎng)”的提出，國內外學者越來越多地把目光聚集到學生的發(fā)展上. “核心素養(yǎng)”是學生應該具備的，能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力[1]. 它不應只是口頭上的倡導和指向，而應落實到每一學科的教學實踐上，通過各個學科的教學來發(fā)展和滲透. 對數學學科而言，它是以基本概念為基礎的，對客觀事物進行本質屬性的歸納. “概念”如同組織中的“細胞”，整個“數學系統(tǒng)”需要它們的“組織”“參與”和“運作”才能維持. 因此，概念教學的有效性非常關鍵.

數學概念教學歷來受到教師們的重視. 許多教師在教學中，通常采用“三個例子——一個概念——八項注意”的模式[2]，或者“一個定義——三項注意——幾道例題——大量練習”的模式等[3]，這些模式確實簡明易行得只需學生記住要學習的概念，不必問其“從何來”“為何來”“去何處”，不用經歷如何將這個概念的外延所蘊含的本質屬性凝練為概念內涵的知識建構過程，因而這些模式又往往被指為“掐頭去尾燒中段”. 由于缺乏數學本質形成的學習，學生的認知經歷自然是空洞而生硬的. 這種“輕本質、重訓練”的教學方式顯然“跑偏”了“核心素養(yǎng)”這一軌道. 核心素養(yǎng)強調的不只是知識的獲取，更多的是能力的養(yǎng)成和形成終身學習的意識. 數學課堂中的概念教學，就應啟思益智，讓學于生，把握其應有之義.

創(chuàng)設情境，概念教學要遵循規(guī)律

著名心理學家維果斯基提出了自發(fā)性概念和科學概念[4]. “自發(fā)”指沒有刻意教，不知不覺產生的;科學概念則是定義明確、有一定邏輯定義的[4]. 在學習“科學概念”前，學生的認識并不是一張“白紙”，而是在生活中有了一定的自發(fā)概念，只是還無法用嚴格的語言描述出來. 如：學生在學習“圓”的科學概念前，雖然還不能用“定點”“定長”“封閉曲線”這種嚴格語言描述，但頭腦中已有圓的表象認識. 其實，“自發(fā)性概念”和“科學概念”就如同感性認識和理性認識的關系. 我們都知道，人對事物的認識是從感性認識開始的，只有在此基礎上通過理性思考，才能抓住事物的本質. 因此，感性認識是人在認知過程中不可缺少的環(huán)節(jié). 由于數學概念具有強烈的抽象性和概括性，學生學習時易出現恐懼心理，望而卻步，缺乏自信心. 所以，教師不能對學生的“自發(fā)性概念”罔而不顧，要以此作為切入點，創(chuàng)設情境，盡量調動學生的自發(fā)概念，以客觀事物為基礎進行概念的抽象和概括. 下面以我們在調研時聽取的一節(jié)公開課《平面向量的實際背景和基本概念》（第一課時）來分析：

片段一：概念的形成

（1）情境一：播放視頻——南轅北轍的故事，商人能否到達楚國？為什么？

（3）情境三：甲地與乙、丙地的距離均為10公里，一只鳥想從甲地飛到乙地，若從甲地出發(fā)，隨意飛行10公里能否到達乙地？

（4）情境四：有個木塊，在3 N作用下緩慢運動（圖1），若保持力的方向不變，大小變成5 N，木塊發(fā)生什么變化？若保持力的大小不變，方向改變，木塊又會發(fā)生什么變化？

片段二：向量的表示

（5）數有幾何表示，數和數軸上的點可建立一一對應關系，所以可利用數軸上的點去表示. 那向量的幾何表示又是什么呢？

（7）實數集中，“0”“1”是兩個特殊元素，向量中有無與之類似的量？若有，怎樣去定義？

這是一堂概念形成課，老師把情境實例和學生已有認知的作用發(fā)揮得淋漓盡致：

第一，片段一提供了很多生活和物理學習中的實際例子，引導學生分析其中的共同點，明晰學生經驗中對向量的自發(fā)認識. 老師呈現了四個情境，從多個角度讓學生感受到，現實生活中存在“既有大小，又有方向”的量. 這些問題在生活中很常見，但學生未必對其有準確認識. 通過情境的創(chuàng)設，有助于指引他們逐步抽象出這里所關注的量（向量）有大小和方向兩個本質屬性.

第二，片段二在“數”的已有認識上對“向量”進行類比思考，從數量（已有的先導概念）到向量，“0”到“零向量”，“1”到“單位向量”等，自然過渡到新知識.

第三，這節(jié)課還有很多類似的手法，通過創(chuàng)設“平易近生”的情境，幫助學生從身邊實例“發(fā)現”學習的核心內容，“不動聲色”地調動學生的已有經驗積極參與到學習活動中來. 并且通過“數”的類比，鼓勵學生勤于反思，善于總結已有經驗，這都是在滲透“學會學習”的核心素養(yǎng)啊[1]！

問題驅動，概念教學要注重啟發(fā)

《課標》（2011年版）指出：“教師的引導作用主要體現在：通過恰當的問題，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導學生積極思考、求知求真，并用不同層次的問題或教學手段，引導每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性. ”[5]“問題是數學的心臟”，有問題才有思考，才能讓學生進入“我要學”“我在學”的狀態(tài)，課堂教學才有效. 若教師過于強調概念的知識本位，而忽視了概念的形成過程，把大部分時間放在記憶上，學生獲得的只是一個“空中樓閣”的概念，就難以真正理解其本質屬性. 所以，教師作為引導者，應以問題為中心、深入啟發(fā)學生，讓學生在潛移默化中，體會和掌握數學的思想方法，真正做到“授人以漁”.

筆者閱讀了一節(jié)七年級《數軸》的課例，以下截取其中的一些片段：

思考：在一條東西方向的馬路上，有一個學校，學校東50 m和西150 m處分別有一個書店和一個超市，學校西100 m和160 m處分別有一個郵局和醫(yī)院，分別用A，B，C，D表示書店、超市、郵局、醫(yī)院，你會畫圖表示這一情境嗎？

老師：對照大家畫的圖，為了使表達更清楚，我們把0左右兩邊的數分別用負數和正數來表示，即用一直線上的點把正數、負數、0都表示出來，也就是本節(jié)內容——數軸.

點撥（1）：引導學生學會畫數軸.

第一步：畫直線定原點.

第二步：規(guī)定從原點向右的方向為正.

第三步：選擇適當的長度為單位長度.

第四步：拿出教學溫度計，由學生觀察溫度計的結構和數軸的結構是否有共同之處. 對比思考：原點相當于什么;正方向與什么一致;單位長度又是什么？

點撥（2）：定義數軸.

本節(jié)課是學生首次接觸數形結合的實例，蘊含了利用圖形解決數學問題的教育價值. 這位老師對“數軸”的理解顯然不到位. 本節(jié)課重點是建立數軸的概念，“建立”是一個過程，但遺憾的是，老師沒有讓學生經歷“建立”的過程，而是直接給出概念. “為什么要規(guī)定正方向？為什么要規(guī)定單位長度？為什么要規(guī)定原點？”這些揭示“數軸”本質屬性的問題全被“一筆帶過”，學生無法理解數軸的“三要素”，也錯失了一次次思考的機會.

若能這樣改進：

思考：在一條東西方向的馬路上，有一個學校，學校東50 m和西150 m處分別有一個書店和一個超市，學校西100 m和160 m處分別有一個郵局和醫(yī)院，怎樣用圖形表示這些地方的位置？

問題1：用什么表示東西方向筆直的馬路？

問題2：與周圍同學畫的圖形進行比較，一樣嗎？為什么一樣的情境圖形會不一樣？

問題3：為什么有些同學畫的書店離學校近一點，有的遠一點？

問題4：在直線上，先標出的是什么？為什么？

問題5：為什么都把學校標在中間位置，而沒有標在左邊或右邊呢？

問題6：若用正負數表示這一問題中的相反意義的量，基準點是什么數？基準點的右邊是什么數？左邊呢？

問題7：怎樣在直線上進行合理規(guī)定才能表示這些數呢？為什么？如果不規(guī)定原點、正方向和單位長度，能把有理數表示為直線上唯一的點嗎？

案例改進后，充分利用了創(chuàng)設的情境，恰當把握了問題的啟發(fā)性和驅動性. 通過基于定位的形象（直線）、距離與比例（單位與刻度）、方位與方向的必要性的連續(xù)追問，一步步引導學生發(fā)現數軸的本質屬性，學生在思考問題中，充分把握了“數軸”這一概念規(guī)定“三要素”的必要性，因此掌握它也就“水到渠成”了. 通過問題串的形式組織教學，推動學生一步步去探索，不僅讓學生經歷主動建構知識的過程，而且無形中激發(fā)了學生解決問題的興趣和熱情，這也正是培養(yǎng)“實踐創(chuàng)新”“學會學習”核心素養(yǎng)的一大途徑[1].

體驗生成，概念教學要追根溯源

在概念學習中，常有學生問：為什么要學習它？為什么這樣定義？章建躍先生認為：“從數學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養(yǎng)的關鍵點”[6]. 因此，有必要讓學生了解概念生成過程，讓學生了解“為什么”，鼓勵“從頭到尾”地思考問題，知道知識的來龍去脈. 例如，“復數”的教學，由方程x2+1=0無實數解引起“數不夠用”的想法，再回顧從自然數到整數，到有理數，到實數的過程，在此基礎上尋找新的數. 這樣可以讓學生明白引入虛數的必要性.

當然，在數學課堂上，不可能讓學生重演復制數學概念在數學史上的發(fā)展過程，但卻可以通過講述概念發(fā)展過程，或通過滲透知識生成的思想讓學生理解和接受. 將前人的方法內化，讓學生從內心上接受它，明白學習的必要性和價值. 這也是培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的內在要求，它要求學生不僅要知其然，還要知其所以然，掌握學習的方法. 下面是《生活中的負數》一課中的片段，我們來欣賞這位老師的精妙處理：

記錄：聽取信息，選擇你最喜歡的方式把聽到的數據準確記錄下來，關鍵是讓別人一眼就能看明白你所表示的意思：

①足球比賽，中國國家隊上半場進了兩個球，下半場丟了兩個球.

②學校四年級共轉來25名新同學，五年級轉走了10名同學.

③張阿姨做生意，三月份賺了6000元，四月份虧了2000元.

匯報：第一種：用文字表示;第二種：用圖形表示.

老師：你用的符號，意思你明白，他用的符號他明白. 數學符號是幫助我們交流的，怎樣才能讓大家都明白？

第三種：用“+”“-”表示.

老師：和數學家表達的一樣，這種方法好在哪兒？

……

（簡單介紹負數發(fā)展史）

引入負數前，讓學生經歷聽取信息，用各種方式表達信息的過程，這樣學生通過比較很容易發(fā)現使用“-”的簡潔性和必要性，從而在內心上接受“負數”. 同時，老師讀出的是具有相反意義的量，滲透了“負數”的發(fā)生發(fā)展過程和本質屬性，也把負數所具有的“符號結果”與“表示方法”融會貫通了. 然后再補充說明，在負數的發(fā)展史上，人們在生活中也會遇到這樣的量，如做買賣有進有出，所以人們才引入了正負數的概念，從而明白正負數產生于生產實踐，也應用于生產實踐.

課堂教學中，從概念的現實背景和情境出發(fā)，調動學生的自發(fā)經驗，用一系列聚焦于概念本質屬性的追問，推動學生經歷將這個概念的外延所蘊含的本質屬性凝練為概念的內涵的過程，并把概念形成的科學方法融進教學過程，這樣的教學必然是核心素養(yǎng)背景下數學概念教學的應有之義.

參考文獻：

[1]? 林崇德. 構建中國化的學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J].北京師范大學學報：社會科學版，2017（1）：66-73.

[2]? 王紅兵，卜以樓.生長過程——概念教學的本質標志[J]. 中學數學教學參考，2017（20）：27-29.

[3]? 劉聰勝，杜海洋. 淺談數學概念教學設計的基本途徑[J]. 中學數學教學參考，2017（13）：26-29.

[4]? 李世琦. PME：數學教育心理[M]. 上海：華東師范大學出版社，2001.

[5]? 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[6]? 任偉芳. 為培育核心素養(yǎng)凸顯概念教學過程而設計——對“空間幾何體的結構”一課的點評[J]. 中學數學教學參考，2016（31）：16-17.