董 平

(南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 211900)

電場(chǎng)由于有著看不見(jiàn)、摸不著的抽象特點(diǎn)，所以教材[1]及教師在介紹、講解這一部分時(shí)，往往以定性分析大小關(guān)系居多，定量得出精確結(jié)果居少，使得物理這樣一個(gè)原本很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，多少留下了一些遺憾.同時(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)電場(chǎng)時(shí)也存在諸多疑惑.筆者發(fā)現(xiàn)借助于數(shù)學(xué)Mathematica軟件，利用導(dǎo)數(shù)和微元法(即高等數(shù)學(xué)中的“微積分”)定量計(jì)算，能夠優(yōu)化上述問(wèn)題.

Mathematica是美國(guó)Wolfram研究公司開(kāi)發(fā)的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)，具有高精度的數(shù)值計(jì)算和強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能，Mathematica8及更高版本新增了“自由格式語(yǔ)言輸入”功能，不需要操作者熟悉眾多的計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言和方法，更適合在中學(xué)教師和學(xué)生中推廣應(yīng)用.本文介紹在該軟件的支持下，對(duì)等量同種電荷連線的中垂線上和均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)定量分析過(guò)程.

1 等量同種電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)

1.1 定性分析

真空中的兩個(gè)等量同種電荷電場(chǎng)分布情況大致如圖1所示，中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)變化情況我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中常做這樣的定性分析：兩電荷連線中點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零，無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)也為零，其他位置場(chǎng)強(qiáng)不為零.故在中垂線上，從圖1中O點(diǎn)開(kāi)始，沿x軸正方向場(chǎng)強(qiáng)先增大，再減小，中間某處存在場(chǎng)強(qiáng)的最大值.然而，最大值的位置究竟在哪呢？我們可以結(jié)合圖1作如下的定量計(jì)算.

圖1 等量同種電荷電場(chǎng)的分布

1.2 物理建模及Mathematica定量計(jì)算

以兩個(gè)等量帶正電的點(diǎn)電荷為模型，如圖2所示.

圖2 兩個(gè)等量同種電荷模型

A和B是兩個(gè)帶電荷量均+Q的點(diǎn)電荷，間距為2l，它們連線的中點(diǎn)為O，P點(diǎn)是中垂線上的任一點(diǎn)，AP和AB的夾角為θ.則任一點(diǎn)P處場(chǎng)強(qiáng)為

E=EAsinθ+EBsinθ=

(1)

為定量分析電荷量Q和間距2l這兩個(gè)參量對(duì)場(chǎng)強(qiáng)E的影響，使用Manipulat(交互運(yùn)行)函數(shù)，在此取Q∈[0,+5×10-8C]，l∈[0,+0.2 m].對(duì)函數(shù)的可視化求解是Mathematica最大的優(yōu)點(diǎn)之一，為直觀展示場(chǎng)強(qiáng)E隨位置x的變化情況，使用Plot(繪圖)函數(shù)，可進(jìn)行如下編程：

運(yùn)行結(jié)果如圖3所示，與前文定性分析結(jié)果一致.

圖3 Mathematica輸出的操作區(qū)和場(chǎng)強(qiáng)變化圖像

正如前文定性分析所述，場(chǎng)強(qiáng)E確實(shí)存在最大值.由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)即為原函數(shù)的極大值處.對(duì)式(1)求E關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)，由于計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，在此借助于Mathematica軟件.使用FullSimplify(完全簡(jiǎn)化)函數(shù)和D(給出偏導(dǎo)數(shù))函數(shù)，可進(jìn)行如下編程：

運(yùn)行結(jié)果為

(2)

令式(2)E′=0，解得

最大值的位置與電荷量Q無(wú)關(guān)，僅取決于間距2l.

1.3 定量結(jié)論

綜上所述，等量同種電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)變化如圖4所示.

圖4 等量同種電荷連線中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)

2 均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)

2.1 物理建模及Mathematica定量計(jì)算

以電荷量分布均勻的金屬圓環(huán)為模型如圖5所示.圓環(huán)帶電荷量為Q，半徑為R，O點(diǎn)為圓環(huán)的圓心.因圓環(huán)不可視為點(diǎn)電荷，所以在此不可直接用庫(kù)侖定律來(lái)分析其軸線上任一點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng).

圖5 均勻帶電圓環(huán)模型

由于電荷分布的對(duì)稱性，圓環(huán)上各電荷元對(duì)點(diǎn)P處激起的場(chǎng)強(qiáng)dE的分布也具有對(duì)稱性.由圖5可見(jiàn)，dE在垂直于x軸方向的分量dE⊥相抵消，而沿x軸方向的分量dEx相疊加.且

(3)

對(duì)這些分量累積求和有(即積分，計(jì)算復(fù)雜的積分可借助于Mathematica中的Integrate積分函數(shù))

(4)

取Q=3×10-8C，R=0.1 m，使用Plot(繪圖)函數(shù)，可進(jìn)行如下編程：

圖6 均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)

2.2 定量結(jié)論

3 結(jié)束語(yǔ)

本文的導(dǎo)數(shù)、積分看似復(fù)雜，可能對(duì)于我們高中物理教師而言，略有困難.但在Mathematica軟件的支持下，使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算得以解決.這對(duì)我們深入研究某些物理規(guī)律、消除學(xué)生的思維障礙有著很大的幫助.同時(shí)在由定性分析到定量計(jì)算的過(guò)程中，既實(shí)踐了物理學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)，也提升了高中生的物理核心素養(yǎng).