劉迎春，李 洋，張文福,2，鄧 云，鄧世林 ，嚴(yán) 威

(1.東北石油大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318; 2.南京工程學(xué)院建筑工程學(xué)院，江蘇 南京 211167)

預(yù)應(yīng)力撐桿柱被廣泛地應(yīng)用在高塔、桅桿、柱子和支撐玻璃平面的桁架中，有時(shí)也被應(yīng)用在框架和特殊結(jié)構(gòu)中。這些柱子相對(duì)比較細(xì)長(zhǎng)，其荷載承載力主要由柱子的屈曲性能控制?？梢酝ㄟ^預(yù)應(yīng)力索和短橫隔的共同作用來提高預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲強(qiáng)度，其中短橫隔通過傳遞索的橫向力來約束中心柱的屈曲；因此預(yù)應(yīng)力和撐桿柱可以阻止普通柱子的一般屈曲和潛在地提高柱子的豎向軸心承載力。

預(yù)應(yīng)力撐桿柱通常由3部分組成(如圖1所示)：1)中心壓桿，截面形式可以為實(shí)腹式(如圓管)和格構(gòu)式，且長(zhǎng)細(xì)比一般較大；2)拉索，一般對(duì)稱布置在壓桿的兩側(cè)，拉索的預(yù)拉力T0應(yīng)該能保證在撐桿柱失穩(wěn)時(shí)不退出工作(即T>0)，且拉索與中心壓桿及橫撐桿之間均鉸接；3)橫隔，一般由橫隔板或橫撐桿構(gòu)成，其橫截面尺寸遠(yuǎn)小于中心壓桿，且與中心壓桿剛性連接，圖1(e)給出了2種由橫撐桿組成的橫隔形式。預(yù)應(yīng)力撐桿柱的橫隔一般為1～3道，拉索數(shù)目為3～4道[1-3]。

圖1 預(yù)應(yīng)力撐桿柱的組成形式

從受力角度來講，預(yù)應(yīng)力撐桿柱仍然是由中心壓桿來承受軸向荷載，而相比之下橫隔中撐桿的軸向壓力則較??；因此，預(yù)應(yīng)力撐桿柱的失穩(wěn)本質(zhì)上還是中心壓桿的失穩(wěn)，而拉索和橫撐桿的作用就是對(duì)中心壓桿提供中間側(cè)向彈性支撐，從而提高中心壓桿的屈曲荷載[4-8]。對(duì)于單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱來說，其屈曲失穩(wěn)破壞變形可能存在2種不同的形式，即對(duì)稱失穩(wěn)破壞變形和反對(duì)稱失穩(wěn)破壞變形，分別如圖2(a)、圖2(b)所示[9]。

有關(guān)預(yù)應(yīng)力撐桿柱的計(jì)算理論及穩(wěn)定設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外的一些學(xué)者已經(jīng)做了許多理論和試驗(yàn)研究。

1963年，Chu等[4]研究了帶有3個(gè)橫撐桿的支柱，提出了基于整體關(guān)系來確定屈曲荷載的求解方法并進(jìn)行了試驗(yàn)研究。1967年，Mauch等[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上研究發(fā)現(xiàn)在柱子中加撐桿可以提高柱子50%的承載力。1970年，Voevodin[6]研究了預(yù)應(yīng)力桁架柱的穩(wěn)定性，中心柱四周布置有桁架形式的框架，提出了確定最大屈曲荷載的分析方法。1975年，Smith等[7]研究了單橫隔撐桿柱的屈曲，并且推導(dǎo)出了確定撐桿柱彈性屈曲荷載的方程。Khosla[8]用有限元方法求解了撐桿柱的屈曲荷載，提出了有限元規(guī)范來確定撐桿柱的彈性屈曲荷載。

圖2 屈曲模態(tài)

1977年，Temple[9]采用有限元方法分析了預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲荷載。1979年，Hafez等[10]針對(duì)理想撐桿柱推導(dǎo)了索預(yù)拉力和屈曲荷載的線性關(guān)系。1982年，Wong等[11]研究了帶有初始缺陷的撐桿柱。1984年，Temple等[12]研究了撐桿柱的破壞準(zhǔn)則。2002年，Chan等[13]采用一種帶有初始缺陷的單元來分析預(yù)應(yīng)力撐桿柱的彈性穩(wěn)定性能，提出了預(yù)應(yīng)力撐桿柱的簡(jiǎn)化算法。2009年，Saito等[14]對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱相關(guān)屈曲進(jìn)行了數(shù)值研究,即單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱在平面內(nèi)可能發(fā)生2種屈曲模態(tài)(對(duì)稱失穩(wěn)和反對(duì)稱失穩(wěn))，對(duì)此2種模態(tài)進(jìn)行組合，即可得到預(yù)應(yīng)力撐桿柱的相關(guān)屈曲模態(tài)，并提出了預(yù)應(yīng)力撐桿柱中施加預(yù)應(yīng)力大小的計(jì)算理論公式。2010年，Saito等[15]對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱中最優(yōu)預(yù)應(yīng)力大小及最佳撐桿結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行了研究。2006年，郭彥林等[16]針對(duì)單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱分析了其彈性屈曲形式及彈塑性極限承載力，并提出了單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱的實(shí)用設(shè)計(jì)方法。2006年，舒贛平等[1]做了內(nèi)撐式預(yù)應(yīng)力撐桿柱的穩(wěn)定承載力實(shí)驗(yàn)研究，重點(diǎn)研究了不同長(zhǎng)細(xì)比、不同柱截面形式、不同支座約束條件的預(yù)應(yīng)力撐桿柱的穩(wěn)定承載力。2011年，劉學(xué)春等[17]對(duì)高性能鋼預(yù)應(yīng)力撐桿柱整體穩(wěn)定性能進(jìn)行了研究，分析結(jié)果表明:預(yù)應(yīng)力撐桿體系和高性能鋼材的合理使用,能顯著提高軸心受壓柱的承載能力,充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)。2016年，周煥延等[18]做了預(yù)應(yīng)力軸壓撐桿鋼柱高溫性能試驗(yàn)研究和數(shù)值分析。本文以單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值分析研究，并考察不同參數(shù)，如：橫撐桿長(zhǎng)度h及直徑Ds和預(yù)應(yīng)力T等參數(shù)對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響，以期為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供初步的參考依據(jù)。

1 有限元模型的建立

1.1 有限元分析時(shí)預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲準(zhǔn)則

在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，考慮到軸向力或中面內(nèi)力對(duì)彎曲變形的影響，根據(jù)勢(shì)能駐值原理得到結(jié)構(gòu)的平衡方程為

([KE]+[KG]){U}={P}

(1)

式中：[KE]為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣；[KG]為結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣，也稱為初應(yīng)力剛度矩陣；{U}為節(jié)點(diǎn)位移向量；{P}為節(jié)點(diǎn)荷載向量。式(1)也是幾何非線性分析的平衡方程。

為得到隨遇平衡狀態(tài)，應(yīng)使系統(tǒng)勢(shì)能的二階變分為零，即：

([KE]+[KG]){δU}=0

(2)

因此必有：

|[KE]+[KG]|=0

(3)

式(3)中的結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣為已知，因外荷載也就是待求的屈曲荷載，故幾何剛度矩陣為未知的。為求得該屈曲荷載，任意假設(shè)一組外荷載{P0},與其對(duì)應(yīng)的幾何剛度為[KG0]，并假定屈曲時(shí)的荷載為{P0}的λ倍，故有[KG]=λ[KG0]，從而式(3)可化為：

(4)

將式(4)寫成特征值方程為

([KE]+λi[KG]){φi}=0

(5)

式(5)中：λi為第i階特征值；{φi}為與λi對(duì)應(yīng)的特征向量，是相應(yīng)該階屈曲荷載時(shí)結(jié)構(gòu)的變形形狀，即屈曲模態(tài)或失穩(wěn)模態(tài)。

在ANSYS的特征值屈曲分析中，其結(jié)果給出的是λi和{φi}，即屈曲荷載系數(shù)和屈曲模態(tài)，而屈曲荷載為λi{P0}。

1.2 單元的選擇與相關(guān)模擬技術(shù)問題

中心壓桿和橫撐桿均采用三維有限應(yīng)變梁?jiǎn)卧狟EAM188模擬，可以自定義截面，更有效地仿真實(shí)際結(jié)構(gòu)。拉索通常采用LINK10單元模擬，該單元是非線性單元，采用非線性分析獲得靜力解，即得到結(jié)構(gòu)在變形后位置的平衡結(jié)構(gòu)，此時(shí)得到的幾何剛度矩陣可用于特征值屈曲分析。這2種單元均具有塑性，大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化等功能[19-20]。

1.3 如何在ANSYS中實(shí)現(xiàn)有預(yù)應(yīng)力的結(jié)構(gòu)屈曲分析[20]

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)經(jīng)常采用預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，如先張梁和后張梁，斜拉橋、細(xì)桿拱橋，張拉弦結(jié)構(gòu)及預(yù)應(yīng)力鋼梁等，此時(shí)其特征值屈曲分析又有不同。

1)索通常采用LINK10單元模擬，該單元是一非線性單元，采用非線性分析獲得靜力解，即得到結(jié)構(gòu)變形后位置的平衡結(jié)果，此時(shí)得到的幾何剛度矩陣可用于特征值屈曲分析。

2)不管采用初應(yīng)變方法或是降溫方法施加預(yù)應(yīng)力，所生成的幾何剛度都將被同時(shí)縮放；因此其屈曲荷載求解方法與有恒載和活荷載的方法相同，即不能將預(yù)應(yīng)力同時(shí)縮放，應(yīng)采用迭代方法-保持預(yù)應(yīng)力不變，不斷改變外荷載值，直到屈曲荷載系數(shù)為1.0為止。此時(shí)外荷載值即是屈曲荷載值。

1.4 有限元模型的驗(yàn)證

采用有限元軟件ANSYS建立文獻(xiàn)[17]中的有限元模型并對(duì)其進(jìn)行有限元分析，且分析結(jié)果與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此來驗(yàn)證本文預(yù)應(yīng)力撐桿柱有限元分析中建模的正確性。

文獻(xiàn)[17]中分析模型幾何參數(shù)如下：鋼材彈性模量為EG=206 GPa，索的彈性模量為ES=125 GPa；中心壓桿長(zhǎng)度L= 9.0 m，截面規(guī)格為φ200×8；撐桿長(zhǎng)度hc=0.3 m，截面規(guī)格為φ50×8；拉索截面直徑Ds=20 mm，預(yù)拉力T=100 kN。

預(yù)應(yīng)力撐桿柱ANSYS分析的一般步驟：

1)定義單元類型、材料特性、實(shí)常數(shù)，鋼管選用Q235鋼材，其彈性模量Es=2.06×105MPa，泊松比μs=0.3。

2)建立預(yù)應(yīng)力撐桿柱幾何模型，先建立中心柱上下兩端的關(guān)鍵點(diǎn)，再建立中心柱兩側(cè)橫撐桿的左右兩端關(guān)鍵點(diǎn)，最后通過關(guān)鍵點(diǎn)生成幾何模型。

3)分別賦予中心柱、橫撐桿和預(yù)應(yīng)力拉索的單元類型、實(shí)常數(shù)和材料特性，然后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度取為中心壓桿長(zhǎng)度的5%。

4)施加約束：為了準(zhǔn)確地模擬預(yù)應(yīng)力橫撐桿簡(jiǎn)支柱在平面內(nèi)的屈曲，在有限元模型中，Y軸通過截面中心沿試件長(zhǎng)度方向，X軸和Z軸分別作為截面的弱軸和強(qiáng)軸，所有節(jié)點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)變形和Z向平動(dòng)位移均被約束，試件兩端的X向位移以及試件低端的Y向位移也被約束[19]。

5)施加荷載：采用初應(yīng)變法施加拉索的預(yù)應(yīng)力，在中心柱頂端施加一個(gè)豎直向下的集中力。

6)求解：首先激活預(yù)應(yīng)力效應(yīng)，便可考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)，對(duì)于后面要進(jìn)行的特征值屈曲分析，因要使用幾何剛度矩陣，激活預(yù)應(yīng)力效應(yīng)才能生成和保存該矩陣。但靜力解也可為非線性分析，即非線性分析完成后生成幾何剛度矩陣，然后進(jìn)行特征值屈曲分析，應(yīng)采用迭代方法-保持預(yù)應(yīng)力不變，不斷改變外荷載值，直到屈曲荷載系數(shù)為1.0為止。此時(shí)外荷載值即是屈曲荷載值。

7)后處理：通過/POST1命令進(jìn)入通用后處理器，查看荷載屈曲系數(shù)和屈曲形狀。

有限元模型如圖3所示。本文有限元分析結(jié)果與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果見表1。

圖3 有限元模型

模型本文有限元解文獻(xiàn)[17]有限元解誤差無預(yù)應(yīng)力柱NE/kN 558.239557.20.186%預(yù)應(yīng)力撐桿柱Ncr/kN834.643811.22.81%

由表1可知，本文中有限元分析結(jié)果與文獻(xiàn)[17]的有限元分析結(jié)果之間的誤差極小，從而說明在本文中有限元分析時(shí)，有限元建模具有足夠的精度；因此可以對(duì)本文中預(yù)應(yīng)力撐桿柱的彈性屈曲性能進(jìn)行數(shù)值分析。

2 預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲數(shù)值分析

下面基于有限元軟件ANSYS，通過數(shù)值方法來分析單橫隔預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲荷載。數(shù)值模型的幾何參數(shù)如下：預(yù)應(yīng)力撐桿柱長(zhǎng)度L=12.0 m，中心壓桿(圓管)的截面尺寸Db×tb=200 mm×8 mm，拉索(圓鋼)的截面直徑Dc=20 mm。鋼材彈性模量為EG=206 GPa，索的彈性模量為ES=125 GPa?？紤]以下3個(gè)參數(shù)變化對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱屈曲荷載的影響：橫撐桿長(zhǎng)度h，變化范圍為0.1～1.2 m；橫撐桿(圓管)截面直徑Ds，分別取50、75、100 mm 3個(gè)值，其壁厚ts取定值8 mm；預(yù)應(yīng)力T進(jìn)行擴(kuò)展參數(shù)分析。下文所提的預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲荷載用Ncr表示，無預(yù)應(yīng)力柱的屈曲荷載用NE表示。

2.1 橫撐桿長(zhǎng)度h及直徑Ds對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響

在有限元建模過程中，分別變化預(yù)應(yīng)力撐桿柱長(zhǎng)度h及直徑Ds進(jìn)行有限元求解，研究發(fā)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力撐桿柱橫撐桿長(zhǎng)度h及直徑Ds與其彈性屈曲荷載的關(guān)系見圖4。注意，參數(shù)分析時(shí)每種情況下預(yù)應(yīng)力T取值見表2。

圖4 橫撐桿長(zhǎng)度h及直徑Ds對(duì)預(yù)應(yīng)

L/mDs /mmh /mT/kN屈曲形式0.115正對(duì)稱0.220正對(duì)稱0.325正對(duì)稱1250、75、1000.425正對(duì)稱0.530正對(duì)稱0.635正對(duì)稱0.745正對(duì)稱0.855反對(duì)稱0.955反對(duì)稱12501.055反對(duì)稱1.155反對(duì)稱1.255反對(duì)稱0.860反對(duì)稱0.960反對(duì)稱12751.060反對(duì)稱1.160反對(duì)稱1.260反對(duì)稱0.870反對(duì)稱0.970反對(duì)稱121001.070反對(duì)稱1.170反對(duì)稱

由圖4可知：(1)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿長(zhǎng)度h的增大而增大，但當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h超過一定范圍時(shí)，其對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr的影響不大。(2)當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h<0.8 m時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生正對(duì)稱失穩(wěn)；當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h>0.8 m時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生反對(duì)稱失穩(wěn)。(3)當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h<0.8 m時(shí)，即預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，橫撐桿直徑Ds的變化對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr沒有影響；當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h>0.8 m時(shí)，即預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿直徑Ds的增大而增大。

為了說明本文預(yù)應(yīng)力對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱參數(shù)分析的正確性，與文獻(xiàn)[16]的參數(shù)分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見圖5。

圖5 本文參數(shù)分析與文獻(xiàn)[16]參數(shù)分析對(duì)比

由圖5可知，本文參數(shù)分析結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的參數(shù)分析結(jié)果吻合良好，可以說明本文預(yù)應(yīng)力撐桿柱參數(shù)分析的正確性。

2.2 預(yù)應(yīng)力T對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載的影響

圖6中縱坐標(biāo)表示Ncr/NE為無量綱，其中Ncr為預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲荷載，NE為無預(yù)應(yīng)力柱的屈曲荷載。橫坐標(biāo)表示T/NE為無量綱，其中T為預(yù)應(yīng)力大小。

(a) (b)

由圖6可知，無論預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生對(duì)稱失穩(wěn)破壞還是反對(duì)稱失穩(wěn)破壞，當(dāng)預(yù)應(yīng)力T在一定范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預(yù)應(yīng)力T的增大而增大；但當(dāng)預(yù)應(yīng)力T超過一定范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預(yù)應(yīng)力T的增大而減小。此種情況也驗(yàn)證了文獻(xiàn)[16]中所得到的結(jié)論，即當(dāng)索的預(yù)應(yīng)力T達(dá)到臨界預(yù)應(yīng)力Topt，索的預(yù)拉力不宜太大，因?yàn)轭A(yù)應(yīng)力撐桿柱的整體屈曲荷載是隨著索的預(yù)拉力的增大而減??；因此，預(yù)拉力大小對(duì)平面預(yù)應(yīng)力撐桿柱的屈曲荷載的影響比較大，在實(shí)際工程中應(yīng)該合理選擇預(yù)應(yīng)力T，以充分發(fā)揮預(yù)應(yīng)力撐桿柱的性能。

2.3 體內(nèi)預(yù)應(yīng)力柱(即橫撐桿長(zhǎng)度h=0)

當(dāng)預(yù)應(yīng)力撐桿柱橫撐桿長(zhǎng)度h=0時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱就變成沿柱軸線方向體內(nèi)布置預(yù)應(yīng)力筋的預(yù)應(yīng)力柱，其簡(jiǎn)化模型如圖7所示。采用大型通用有限元軟件ANSYS通過數(shù)值方法分析沿軸線方向體內(nèi)布筋預(yù)應(yīng)力柱的彈性屈曲性能。有限元模型如圖8所示。

由圖9可知，隨著預(yù)應(yīng)力T的增大，沿軸向體內(nèi)布筋柱子的彈性屈曲荷載Ncr逐漸減小。當(dāng)T=0時(shí)，柱子的屈曲荷載Ncr為NE，且當(dāng)預(yù)應(yīng)力T=4NE時(shí)，柱子的屈曲荷載Ncr為零。

圖7 簡(jiǎn)化計(jì)算模型

圖8 體內(nèi)預(yù)應(yīng)力柱有限元模型

圖9 預(yù)應(yīng)力對(duì)體內(nèi)預(yù)應(yīng)力柱彈性屈曲荷載的影響

3 結(jié)論

通過對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱進(jìn)行有限元分析及擴(kuò)張參數(shù)分析可知，參數(shù)橫撐桿長(zhǎng)度h及直徑Ds和預(yù)應(yīng)力T對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱的彈性屈曲荷載影響如下：

1)隨著橫撐桿長(zhǎng)度h的增大預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr增大，但當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度h超過一定范圍時(shí)，其對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr的影響不大。

2)當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度在h<0.8 m的范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生正對(duì)稱失穩(wěn)；當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度在h>0.8 m的范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生反對(duì)稱失穩(wěn)。

3)當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度在h<0.8 m范圍時(shí)，即預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，橫撐桿直徑Ds的變化對(duì)預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr沒有影響；當(dāng)橫撐桿長(zhǎng)度在h>0.8 m范圍時(shí)，即預(yù)應(yīng)力撐桿柱發(fā)生正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨橫撐桿直徑Ds的增大而增大。

4)當(dāng)預(yù)應(yīng)力在一定范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預(yù)應(yīng)力T的增大而增大，但當(dāng)預(yù)應(yīng)力T超過一定范圍時(shí)，預(yù)應(yīng)力撐桿柱彈性屈曲荷載Ncr隨預(yù)應(yīng)力T的增大而減小。

5)當(dāng)預(yù)應(yīng)力撐桿柱橫撐桿長(zhǎng)度h=0時(shí)，隨著預(yù)應(yīng)力T的增大，沿軸向體內(nèi)布筋柱子的彈性屈曲荷載Ncr逐漸減小。且當(dāng)預(yù)應(yīng)力T=4NE時(shí)，柱子的屈曲荷載Ncr為零。