徐龍翔

（南京市江寧區(qū)谷里中心小學(xué)，江蘇南京 211100）

一、“變與不變”對比策略的由來

網(wǎng)絡(luò)上有一段特級教師徐斌執(zhí)教蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊“解決問題的策略——替換”的視頻，其中徐老師在把相差關(guān)系兩個量的替換同倍數(shù)關(guān)系兩個量的替換進行比較時，有這樣一段實錄：

師：這個題目與剛才的例題在做法上有什么不同？

生：替換后的總量不同。例題中，替換后總量還是720 毫升；改變后的題中，替換之后的總量發(fā)生了變化。

師：是??！由于替換的依據(jù)不同，替換后的總量會不一樣。如果我們觀察替換前后杯子的個數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：倍數(shù)關(guān)系的替換，替換之后杯子的總個數(shù)變化了。

生：相差關(guān)系的替換，替換之后杯子的總個數(shù)沒有變化。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)！數(shù)學(xué)就是這么奇妙！在變與不變中存在著內(nèi)在的聯(lián)系。

時值筆者參加賽課，課題正是“解決問題的策略——替換”，雖然備課過程中不乏亮點，但總感覺如同散落的珍珠，缺一根線。對照徐斌老師的課堂，沒有絢麗多彩的情境創(chuàng)設(shè)，有的只是有趣而又扎實的過程展示，有的只是對教學(xué)態(tài)度的那種嚴(yán)謹(jǐn)，對數(shù)學(xué)問題的深入挖掘、引導(dǎo)。特別是那一句“在變與不變中存在著內(nèi)在的聯(lián)系”，“變與不變”簡單的四個字，前后對比，卻貫穿起了整個課堂，體現(xiàn)了守恒與函數(shù)的思想?！白兣c不變”對比的策略給我賽“替換”這一課帶來了很深的啟示?！白兣c不變”這樣的字眼在以往的數(shù)學(xué)課堂中似曾相識，但卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如徐斌老師帶來的深刻。當(dāng)然，深深的印記不只是留在這一節(jié)賽課上。

二、“變與不變”對比的策略的靈活應(yīng)用

抓住“變與不變”對比的策略，用它串聯(lián)起教學(xué)過程，放得開，收得起，細(xì)節(jié)處理總在掌控中。展望小學(xué)數(shù)學(xué)全程，小學(xué)生從學(xué)習(xí)自然數(shù)到學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)，從學(xué)習(xí)試題計算到解實際問題，從認(rèn)識簡單圖形到計量其面積、體積……在這一系列數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系中無不充滿著數(shù)與數(shù)、數(shù)與形間的“變”與“不變”的現(xiàn)象，并且呈現(xiàn)一定的規(guī)律。這些現(xiàn)象和規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)思維的一個特征。抓住這一特征，對促進學(xué)生獲取知識、發(fā)展思維有十分重要的意義。

首先，在概念、規(guī)律、方法歸納教學(xué)中進行“變與不變”的對比，使得隱含的思想外顯，讓學(xué)生在活動中變得有的放矢。在變與不變中揭示概念，概念的本質(zhì)特征更容易讓學(xué)生抓住。例如：教學(xué)“梯形的認(rèn)識”這一課，四條邊的長度在變化，四個角的大小也在變化，學(xué)生抓住“四邊形中只有一組對邊平行”這個不變的本質(zhì)，就能正確地認(rèn)識“梯形”了。另外，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些規(guī)律或性質(zhì)，幾乎都可以讓“變與不變”來指導(dǎo)我們進行歸納概括。例如：在四年級“商不變的性質(zhì)”這一節(jié)課中，學(xué)生在觀察了一系列的算式后發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)和除數(shù)變化了，但商不變，那么這里面隱藏了什么性質(zhì)呢？學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出性質(zhì)以后，教師可以適當(dāng)將這種隱性的方法凸顯出來，明確指出以后用“什么變了，什么不變，變化的量是按照怎樣的規(guī)律進行變化的”模式來進行歸納總結(jié)。那么在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會有意識地按照“變與不變”的方法來觀察和總結(jié)，做到不再盲目，有章可循，使數(shù)學(xué)中隱含的規(guī)律、性質(zhì)更加容易被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。

其次，“變與不變”在幾何圖形轉(zhuǎn)化對比中，突出體現(xiàn)了其架構(gòu)和引導(dǎo)作用。例如在長方形面積計算方法基礎(chǔ)上研究平行四邊形的面積時，先出示長方形，通過課件演示把長方形變成平行四邊形：

師：在這個過程中什么變了，什么沒有變？

生：周長沒變，面積變了。

師：怎么求平行四邊形的面積？

生：把左邊的三角形剪下來移到圖形的右邊就可以拼成長方形了。

師把平行四邊形再轉(zhuǎn)化成長方形：

師：在這個轉(zhuǎn)化的過程中，什么變了，什么沒有變？

生：形狀或者說周長變了，面積的大小沒有變。

接著推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式。

從學(xué)生的角度來看，他們直觀地看到了有些條件確實沒有變，有些是變了的。究竟哪些變了，哪些沒有變呢？組織學(xué)生交流后得出：第一次沒變的是邊的長短以及周長，變的是相鄰兩條邊的角度，其中一條邊變成了斜邊。第二次在剪拼過程中，斜邊成了長方形內(nèi)部的一條線段，對長方形的面積大小不起作用。剪拼時還發(fā)現(xiàn)，斜邊變成了直角三角形的斜邊，斜邊大于直角邊，所以說周長變了，但面積的大小沒有變。

教學(xué)中，“變與不變”的二度探索意義重大，正好將學(xué)生原先獲得的模糊經(jīng)驗進一步明晰化、準(zhǔn)確化、系統(tǒng)化，從而真正將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為有效的數(shù)學(xué)知識，驗證得出平行四邊形的面積算法，并在操作過程中提升思考，獲得發(fā)展。

再次，“變與不變”前后對比在指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)中，拓寬了思路。例如，在蘇教版六年級下冊練習(xí)中有這樣一題：“圓柱的側(cè)面積是150平方厘米，底面半徑是4厘米，它的體積是（ ）立方厘米?！?/p>

這道題一般的推理思路是：要求體積，必須先求出底面積和高，底面積可以通過πr2輕松得出，高則是通過“側(cè)面積÷底面周長（2πr）”求出。綜合算式3.14×42×150÷（2×3.14×4）。這樣的思路擺在學(xué)生面前的至少有三個難點：一是“圓柱的高”通過“側(cè)面積÷底面周長（2πr）”求出，不容易想到；二是150÷（2×3.14×4）除不盡；三是由3.14×42×150÷（2×3.14×4）轉(zhuǎn)化成3.14×42×150÷2÷3.14÷4，接著第一個3.14 和÷3.14 化簡掉，這個過程是學(xué)生難以逾越的鴻溝。實際上這種算法并不是出題人的命題意圖，本題的意圖是要讓學(xué)生通過轉(zhuǎn)化，結(jié)合“變與不變”對比的策略解決。筆者嘗試如下設(shè)計：

師：如果把這個圓柱轉(zhuǎn)化成長方體來考慮，什么變了，什么沒有變？

生：表面積變了，底面積沒變，高沒變，體積也沒變。

師：如果把這個長方體躺下來（教師結(jié)合模型演示），什么變了，什么沒有變？

生：底面變了，高也變了，但體積沒有變。

師：躺下來的長方體與已知條件有什么關(guān)系？

生：底面就是圓柱側(cè)面積的一半，高就是半徑，通過150÷2×4 就能求出長方體的體積，也就是原來圓柱的體積。

過程圖示如下：

大千世界，到處都在發(fā)生或明顯或隱蔽的運動與變化。在變化的過程中，常常有相對不變的東西。研究數(shù)學(xué)更是如此，教學(xué)中如果能從中把握著力點，因勢利導(dǎo)，定能建立正確、有效、深刻的認(rèn)識。