江蘇省射陽縣陳洋中學 黃曉麗
構造函數(shù)法在含參不等式中應用得十分廣泛,就是利用轉化的思想,通過構造函數(shù)將含參不等式進行轉化,然后充分利用函數(shù)的性質去解決含參不等式問題。所以,學生要清楚地知道構造函數(shù)的方法也是解決含參不等式的一種方法,教師在實際教學過程中要不斷地灌輸,日積月累,學生的成績就會有質的飛躍。
學生在求解含參不等式問題時,有時候進行分類討論反而會顯得十分復雜,這時候,學生可以學會將含有參數(shù)的式子進行合理的變形,把含參不等式中的參數(shù)分離出來,將含參不等式表示成一端只包含參數(shù)的式子,另一端則是轉換成與參數(shù)不等式?jīng)]有關系的式子,然后利用構造函數(shù)的方法,用函數(shù)的單調性與性質去討論原不等式的解集的情況。
分析:不等式的兩邊只有一個a,所以就比較容易想到運用“分離參數(shù)”法,將參數(shù)a 分離出來,將含有x 的放在一邊,根據(jù)定義域,列出一邊只有a,一邊只有x 的不等式,構造函數(shù),用函數(shù)的性質求函數(shù)的最小值,根據(jù)函數(shù)的最小值求出實數(shù)a 的取值范圍。
評注:本題中,學生仔細觀察題目中給的式子,就會發(fā)現(xiàn)本題的參數(shù)是a,因此思路由此打開,將參數(shù)a 與自變量x 分離出來,帶有自變量x 的放到一邊構造出函數(shù),回歸到學生熟悉的求解函數(shù)最值的形式,提升了解題的效率。
所謂“變換主元”法,就是在求解含參不等式問題時,選取其中的一個字母作為主元,將其他的字母看作常數(shù),然后構造出函數(shù),通過利用函數(shù)的特點與性質,求出函數(shù)的最值,最后再返回到含參不等式中,正確地求解含參不等式的范圍。
例2 對于滿足0 ≤p ≤4 的一切實數(shù),不等式x2+px>4x+p-3恒成立,試求x 的取值范圍。
分析:欲求x 的取值范圍,在滿足定義域的情況下,學生就可以將字母p作為自變量,x作為參數(shù),利用“變更主元”的方法構造出函數(shù),將含參不等式問題轉化成函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質正確地求解。
解:根據(jù)題意,由x2+px>4x+p-3 可得,p(x-1)+x2-4x>0,令f(p)p(x-1)+x2-4x+3,p ∈[0,4]。此時f(p)為一次函數(shù),若f(p)>0 在p ∈[0,4]上恒成立,那么只要f(0)>0,f(4)>0,綜合以上所述,x 的取值范圍為(-∞,1)∪(3,+∞)。
評注:此題學生要注意的就是在變更主元構造函數(shù)的過程中,主元不要過于復雜,要已知主元的定義域,不然學生構造的主元就沒有意義了。
導數(shù)、函數(shù)以及含參不等式這三者之間存在密切的聯(lián)系,學生在求解含參不等式的過程中,導數(shù)還原也不失為一種方法,其操作過程就是還原導數(shù),然后構造出函數(shù),再利用函數(shù)的性質求解。
例3 設函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x ∈R)的導函數(shù),f(-1)=0。當x>0 時,f'(x)-f(x)<0,試求使得f(x)>0 成立的x 的取值范圍。
分析:根據(jù)題意,學生可以知道f'(x)是f(x)的導函數(shù),那么在已知條件的基礎上,當x>0 時,f'(x)-f(x)<0,學生可以聯(lián)想到的導函數(shù)為,然后構造出函數(shù),正確求解。
評注:學生在求解的過程中,如果看到題中有導函數(shù),就可以思考是否有和某個函數(shù)的導函數(shù)相似的地方,這或許就是解題的關鍵所在。因此,學生在解題的過程要足夠細心,不遺漏一個條件,方能找到切入點打開思維。
總之,構造函數(shù)的方法是解決含參不等式問題的一大法寶。不等式問題與函數(shù)有著密切的聯(lián)系,就像方程與函數(shù)的聯(lián)系一樣,學生要想掌握構造函數(shù)的這幾種方法,就需要不斷地練習,找尋到問題的關鍵所在,才能解決根本的問題,才能突破自己,收獲事半功倍的效果。