數(shù)形結(jié)合法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

喀什大學(xué) 帕孜麗亞·阿卜杜賽米

數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)。美國心理學(xué)家布魯納曾說過：“掌握數(shù)學(xué)思想是理解和記憶數(shù)學(xué)的鑰匙，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的前進(jìn)方向?！痹谡麄€高中數(shù)學(xué)體系中，函數(shù)和方程貫穿始末，它含有豐富的數(shù)學(xué)思想內(nèi)容，其中數(shù)形結(jié)合思想占有重要地位。在教學(xué)過程中，對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行探索，掌握函數(shù)和方程的理論知識，通過對函數(shù)和方程問題的求解，對于開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力都具有重要的意義。

數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學(xué)問題最常用的方法之一，其源遠(yuǎn)流長，應(yīng)用極其廣泛。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的數(shù)形結(jié)合的理念，其本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，極大地拓寬了解題思路，使復(fù)雜問題簡單明了，讓學(xué)生很快從直觀的圖形中了解數(shù)學(xué)語言的意思，既節(jié)約了時間，又有更強(qiáng)烈的說服力，所以，數(shù)形結(jié)合法一直沿用至今，仍讓人稱贊不已。

為了很好地表述數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用，下面的例題是經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出來的典型例題，足以說明數(shù)形結(jié)合的廣泛運(yùn)用。

一、對稱問題的數(shù)形結(jié)合法

對稱問題一直是圓錐曲線的常用問題，對于解決圓錐曲線問題，結(jié)合圖形是非常有效且直觀的辦法，有利于學(xué)生清楚地知道解題的目的。

二、函數(shù)的數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心，貫穿整個數(shù)學(xué)課程，也是最難的內(nèi)容之一，解決函數(shù)問題一直是學(xué)生的重點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方式解決更是快捷，能直觀地把抽象的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)為圖形表達(dá)。

例：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求點(diǎn)（a，b）對應(yīng)的區(qū)域的面積。

思路精析：列出a，b滿足的條件→畫出點(diǎn)(a，b)對應(yīng)的區(qū)域→求面積。

解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)=x2+ax+2b的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，

∴在如圖所示的坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(diǎn)(a，b)對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC（不包括邊界）。

假如遇到一些題目中的等式或者代數(shù)式有幾何特征，數(shù)形結(jié)合便是我們可以運(yùn)用的解題方法，這就是幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有：

通過對題目的閱讀解析，掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，我們便可以用數(shù)形結(jié)合的方法解題，久而久之，我們便能更加?jì)故斓卣莆者@種解題方法。

三、數(shù)形結(jié)合在解析幾何的應(yīng)用

（1）在解析幾何的應(yīng)用中，我們常常要用到解析法，這個方法我們又稱之為以數(shù)輔形，它是數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面。當(dāng)解析法與幾何法結(jié)合來解題的時候，會有更大的功效。

（2）此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決。

四、數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用

（1）在立體幾何的應(yīng)用中，我們經(jīng)常會遇見一些空間角及位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置這樣的問題，此時我們便可以用空間向量來解決。我們可以先盡可能地建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的方式來證明題目所要求的問題。

（2）立體幾何問題的求解往往要將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口。

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老、最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體。正如華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形結(jié)合之妙說得淋漓盡致。