浙江省杭州市桐廬縣舊縣中心學(xué)校 葉玉娣

2018年10月17日，富陽區(qū)永興學(xué)校初中部開展了主題為“基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的初中拓展課程的構(gòu)建與實(shí)施”的研修活動(dòng)，我有幸參加了此次活動(dòng)。活動(dòng)先安排永興中學(xué)的兩位老師各上了一節(jié)展示課，其中段春炳老師上的一節(jié)《探索勾股數(shù)——像數(shù)學(xué)家一樣思考》讓我印象很深。段老師從學(xué)生已有的認(rèn)知（剛剛學(xué)完的勾股定理）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生走向思維的深度，從而提升學(xué)生的思維能力。

一、課堂教學(xué)實(shí)錄

（一）引出研究課題

1.讓學(xué)生觀察“普林斯頓322號泥板”，根據(jù)所學(xué)的歷史知識猜猜該泥板來源于哪個(gè)文明古國及其大致的年代和出土的地點(diǎn)。

問題剛提出，一位男生踴躍舉手發(fā)言：“上面記載的文字屬古巴比倫語，可推測所屬年代在公元前1600年以前?！保ㄟ@一問一答使我們在場的所有聽課老師都唏噓不已，激發(fā)了學(xué)生和老師的學(xué)習(xí)興趣）

2.泥板上有三列文字，沒有人能解釋。直至1945年，Neugebauer和Sachs經(jīng)過細(xì)心考究，發(fā)現(xiàn)泥板上是三列數(shù)字。你知道這些數(shù)字與直角三角形的關(guān)系嗎？借助計(jì)算器進(jìn)行探索。

a b c 120 119 169………72 65 97………60 45 75………240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106

學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)表格中同一行的三個(gè)數(shù)字恰構(gòu)成一組勾股數(shù)。教師及時(shí)給予鼓勵(lì)，表揚(yáng)學(xué)生個(gè)個(gè)都是未來的數(shù)學(xué)家，激發(fā)了學(xué)生的求知欲和探索精神。

3.教師詢問學(xué)生：用什么方法判斷60，45，75是一組勾股數(shù)？

學(xué)生1：用平方和計(jì)算，驗(yàn)證602+452是否等于752。

學(xué)生2：用平方差公式計(jì)算：752-452=（75+45）（75-45）=120×30=3600=602。

學(xué)生3：45，60，75是勾股數(shù)3，4，5的15倍。

通過比較，學(xué)生能感受到后兩種計(jì)算方法更加簡單快捷，激勵(lì)自己應(yīng)當(dāng)提高運(yùn)算能力，理解運(yùn)算的算理，發(fā)展思維能力（為后面的規(guī)律推理埋下伏筆）。

（二）觀察與探究

1.組織學(xué)生說出知道的勾股數(shù)。（先小組合作，再班級交流）

學(xué)生列舉的勾股數(shù)（學(xué)生列舉是無序的，為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，老師的書寫是有規(guī)律的，如下表）

a 2+ b 2= c 2 a 2+ b 2= c 2 a 2+ b 2= c 2 4， 5 6，8，10 20，21，29 5，12，13 8，15，17 …7，24，25 12，35，37 9，40，41 …11，60，61…

2.觀察這些勾股數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)（規(guī)律）？

學(xué)生提出了一些想法：（1）第一列：當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)，c-b=1;（2）第二列：當(dāng)a是偶數(shù)時(shí)，c-b=2;（3）a、b、c不能都是奇數(shù)……

3.根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，是否能寫出更多的勾股數(shù)？學(xué)生推理：（1）當(dāng)a是奇數(shù)時(shí)，c-b=1 ①，

∵ c2-b2=a2，即（c+b）(c-b)= a2，

∴c+b=a2②，

師生共同歸納兩種求勾股數(shù)的公式：

4.你是否可以提出其他新的問題？

學(xué)生1：勾股數(shù)3，4，5是我們最常用的勾股數(shù)，也很特別，因?yàn)槭沁B續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，這樣的勾股數(shù)是否是唯一的？

學(xué)生2推理：假設(shè)m-1，m，m+1是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且是一組勾股數(shù)，那么（m-1）2+m2=（m+1）2，整理得：m2-4m=0，解得m1=0（舍去），m2=4，所以三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的勾股數(shù)只有3，4，5這唯一一組。

5.是否能夠得到所有勾股數(shù)的公式（或方法）？

勾股數(shù)又稱商高數(shù)，它有無數(shù)組，是有一定規(guī)律的。比如有一組求勾股數(shù)的式子：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（其中m，n為正整數(shù)，且m＞n）。你能驗(yàn)證它嗎？

解：∵ a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，

∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，

∴a2+b2=c2。

故a，b，c為勾股數(shù)。

利用這組式子，完成下表：

其實(shí)，任意一組勾股數(shù)（a，b，c）可以表示為如下形式：a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2），其中，k，m，n均為正整數(shù)，且m＞n。

（三）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的智慧

提供相關(guān)史料，組織引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解數(shù)學(xué)家的思考方法：

1.幾何代數(shù)法：畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、劉徽基于不同文化背景的巧妙設(shè)計(jì)。

2.丟番圖巧妙的代數(shù)圖形方案已脫離幾何，走向代數(shù)學(xué)。

介紹古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（約公元前580年～500年）的證明方法：

如圖：∵1+3+5+7+……+（2n-1）=n2，

∴ 1+3+5+7+……+（2n-1）+（2n+1）=（n+1）2，

∴ n2+（2n+1）=（n+1）2。

令2n+1=m2，

則 n2+m2=（n+1）2，

整理得：n2+m2=n2+2n+1，

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的智慧，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家一樣思考，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)正確的思維方式，提升思維能力。

（四）概括整理 感悟提升

我們要努力學(xué)習(xí)，接過數(shù)學(xué)家手中的接力棒，讓數(shù)學(xué)之路越走越遠(yuǎn)！

二、感悟

經(jīng)過這次研修活動(dòng)，深感自己肩上的責(zé)任重大，深感自己專業(yè)素養(yǎng)不足。相比較，我的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)只是為了讓學(xué)生應(yīng)付升學(xué)考試，沒有把數(shù)學(xué)本身的學(xué)科意義滲透到學(xué)生的思維品質(zhì)里。對教材里的拓展性課程視而不見，教師越教越死，學(xué)生越學(xué)越死，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣、失去信心。所以，作為數(shù)學(xué)老師，我們要轉(zhuǎn)變觀念，除了教知識，更要去思考如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是如何在課堂教學(xué)中體現(xiàn)與落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)思維能力。

首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師王尚志教授曾經(jīng)舉過一個(gè)發(fā)人深省的例子：一所“985”高校，學(xué)生的高考數(shù)學(xué)平均分在125分以上，入學(xué)后的10月份組織學(xué)生做做過的高考題目的考試，平均分降到100分；到同一年的12月再考一次同樣的題目，平均分只有及格。這個(gè)例子說明很多題目學(xué)生做過就忘了，考那樣的題目，沒有多大的積極意義，學(xué)生的能力并沒有得到真實(shí)的提高。這也告訴我們生活中絕大多數(shù)人畢業(yè)后如果不從事數(shù)學(xué)專業(yè)工作，便不再記得那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法，所以我們數(shù)學(xué)老師應(yīng)該思考的問題是關(guān)注學(xué)生能否用數(shù)學(xué)的思維方法去解決生活中的實(shí)際問題，這才是社會(huì)發(fā)展真正需要的數(shù)學(xué)教育。

（一）什么是核心素養(yǎng)

林崇德教授及其團(tuán)隊(duì)曾做了這樣的描述：核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。

（二）什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)。不嚴(yán)格地說，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅包含外顯能力，還包含內(nèi)在思維品質(zhì)。例如在數(shù)學(xué)方面，可以解決一個(gè)問題或解答一個(gè)題目，但對解決問題思想的理解深度是有差別的。前者體現(xiàn)出能力，記憶或模仿也可以幫助解決問題，后者反映出思維品質(zhì)，內(nèi)在地、持續(xù)地發(fā)揮作用。

（三）如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)

既然核心素養(yǎng)是一種能力、一種思維品質(zhì)，那么核心素養(yǎng)的養(yǎng)成就不能依賴單純的記憶和模仿，而應(yīng)當(dāng)依賴感悟和思考，所以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是思維能力的培養(yǎng)。我們老師應(yīng)該在核心素養(yǎng)的視角下，以數(shù)學(xué)知識為載體，以數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在邏輯為線索，精心選擇學(xué)習(xí)素材，構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的、自然而目標(biāo)明確的系列數(shù)學(xué)活動(dòng)。引導(dǎo)學(xué)生通過多樣化的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識技能的同時(shí)，也能感悟知識的來龍去脈，形成思維能力。這一點(diǎn)段老師給我們起了一個(gè)很好的示范和引領(lǐng)，下面是我通過聽課后的一些粗淺想法，不知道有沒有領(lǐng)悟到段老師的真諦。

1.激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)

課標(biāo)中指出：義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，應(yīng)充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，應(yīng)設(shè)計(jì)有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

在環(huán)節(jié)（一）中，段老師要求學(xué)生對“普林斯頓322號泥板”做一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的判斷。這一設(shè)計(jì)不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，也給我們所有聽課的老師普及了課外知識。另一方面也讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識都是經(jīng)過歷史積淀，通過問題、猜想、論證、檢驗(yàn)、完善等過程一步一步成熟起來的。

2.點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花

課標(biāo)中指出：義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)應(yīng)重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有利于引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠多的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。在呈現(xiàn)作為知識和技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，應(yīng)使學(xué)生體驗(yàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的思維過程。

在環(huán)節(jié)（二）中，段老師設(shè)置了5個(gè)問題，從學(xué)生剛剛學(xué)完的勾股定理出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察（熟悉的勾股數(shù)）、發(fā)現(xiàn)或猜想（關(guān)于勾股數(shù)的一些規(guī)律）、驗(yàn)證或證明的過程。在這些過程中，學(xué)生的思維被層層打開，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)和引導(dǎo)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)。老師要多問幾個(gè)為什么，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的深刻性。

3.提升學(xué)生的思維深度

課標(biāo)明確提出要使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用。介紹必要的數(shù)學(xué)史知識可以使學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中對所學(xué)問題的背景產(chǎn)生更加深入的理解。古代數(shù)學(xué)家的思維方式可以作為一種學(xué)習(xí)資源，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在解決問題的過程中感受數(shù)學(xué)家的艱辛，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不懈的品質(zhì)。

在環(huán)節(jié)（三）中，段老師組織引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的思考方法，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的能力，感受數(shù)學(xué)家的智慧，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家一樣思考，培養(yǎng)吃苦耐勞的精神，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)思維方式，提升學(xué)生思維的廣度和深度。

整堂課在段老師的引領(lǐng)下“談古論今”，在解決一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，讓我們感受到老師較高的專業(yè)素養(yǎng)。段老師鼓勵(lì)學(xué)生要努力學(xué)習(xí)，從容地接過數(shù)學(xué)家手中的接力棒，無一不在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。所以如何在核心素養(yǎng)的視角下培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，關(guān)鍵在于提高教師的專業(yè)素養(yǎng)。試想我們的數(shù)學(xué)課堂每次都在自己預(yù)設(shè)的框架中進(jìn)行，學(xué)生的思維被桎梏得死死地，怎能提升學(xué)生的思維能力？試想一位老師都害怕學(xué)生在課堂上提出一些自己都沒有想到的問題，而不能從容面對，那學(xué)生又如何能信服于你？試想一位老師連最基本的數(shù)學(xué)史都不了解，不清楚知識的來龍去脈，那又如何來更好地引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生的思維廣度呢？所以人們常說：“給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水、一缸水甚至一江水?！北扔鹘處熞毯脤W(xué)生，自己必須有比學(xué)生更豐富的知識，所以我們教師平時(shí)要不斷地學(xué)習(xí)，掌握真才實(shí)學(xué)，才能不“誤人子弟”。

聽了這節(jié)課，我覺得教師有良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是進(jìn)行核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的先決條件，教師要從學(xué)生成長的高度去思考教學(xué)，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光看世界”“從數(shù)學(xué)的角度看問題”“用數(shù)學(xué)的方法去解決”。