韓寶燕

摘 要：從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)中的數(shù)學(xué)建模出發(fā)，闡述了數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用現(xiàn)狀和前景，給出建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟，最后給出養(yǎng)老數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)；數(shù)學(xué)模型；最后給出養(yǎng)老數(shù)學(xué)模型

一、從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)看數(shù)學(xué)建模

（1）諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)

諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)是1968瑞典銀行為慶祝建行300周年，決定從1969年起同樣以諾貝爾的名義，頒發(fā)經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。這個(gè)項(xiàng)獎(jiǎng)的全稱(chēng)是“瑞典銀行為紀(jì)念阿爾弗雷德·諾貝爾的經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)（The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel）”。除獎(jiǎng)金來(lái)源不同外，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的整個(gè)程序與其他諾貝爾獎(jiǎng)的設(shè)置完全相同。

從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主的工作看來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的發(fā)展趨勢(shì)：日益朝著用數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)濟(jì)內(nèi)容和統(tǒng)計(jì)學(xué)定量化的方向發(fā)展。并且經(jīng)濟(jì)科學(xué)在經(jīng)濟(jì)行為的數(shù)學(xué)規(guī)范和統(tǒng)計(jì)定量化的方向上已經(jīng)越來(lái)越發(fā)展，用來(lái)解釋經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、商情周期經(jīng)濟(jì)波動(dòng)及各種復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析工具也越來(lái)越強(qiáng)大。經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)有關(guān)經(jīng)濟(jì)戰(zhàn)略的經(jīng)濟(jì)關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的做法，已經(jīng)被證明是成功的并且是有效的。

（2）Klein的宏觀經(jīng)濟(jì)模型

1980年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予Lawrence R Klein（克萊因），以獎(jiǎng)勵(lì)他創(chuàng)立的宏觀經(jīng)濟(jì)模型，并把它應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)波動(dòng)以及經(jīng)濟(jì)政策的分析。克萊因與哥德伯格（Arthur Goldberg）兩人合作完成了一套新的美國(guó)經(jīng)濟(jì)模型，并稱(chēng)其為克萊因-哥德伯格模型（Klein-Goldberg）。

克萊因在1950年發(fā)表的美國(guó)經(jīng)濟(jì)模型有以下六個(gè)方程：

（?。┫M(fèi)函數(shù) ，

（ⅱ）投資函數(shù) ，

（ⅲ）勞動(dòng)需求 ，

（ⅳ）恒等式 ，

（ⅴ）恒等式 ，

（ⅵ）恒等式 ，

其中C是消費(fèi)支出，I是投資支出，G是政府支出，P是利潤(rùn)，W是個(gè)人收入，w是政府支出，K是資本儲(chǔ)備，T是稅收，Y是稅后收入，t是時(shí)間，u1，u2和u3是隨機(jī)干擾項(xiàng)。C，I，W，Y，P和K是相互依賴(lài)的內(nèi)生變量，其他變量是預(yù)定的外生變量，其中方包括Pt-1，Kt-1和Yt-1。由此根據(jù)上述六個(gè)方程導(dǎo)出變量之間的關(guān)系?？巳R因依據(jù)的是1921-1941年的美國(guó)數(shù)據(jù)?？巳R因的早期論文主要是方法論性質(zhì)的，比如他的第一個(gè)美國(guó)經(jīng)濟(jì)模型，只有六個(gè)變量，而后來(lái)他又提出變量數(shù)目多于六個(gè)的模型。

克萊因于1980年同中國(guó)社會(huì)科學(xué)院合辦了一次計(jì)量經(jīng)濟(jì)的暑期研習(xí)會(huì)，從這以后，中國(guó)的訪問(wèn)學(xué)者也就來(lái)到費(fèi)城。盡管其進(jìn)展非常有限，但為L(zhǎng)INK建構(gòu)中國(guó)模型，并維持其運(yùn)作，這也算有了一個(gè)好的開(kāi)始。原來(lái)已有的中國(guó)模型，是有斯坦福大學(xué)的劉遵義（Laurence La）建立的。1984年，克萊因再度造訪中國(guó)，并繼續(xù)講授計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法?？巳R因在中國(guó)臺(tái)灣地區(qū)就建構(gòu)了和LINK相容模型進(jìn)行過(guò)類(lèi)似的工作。

（3）Stigler文獻(xiàn)引證模型

1982年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予George Joseph Stigler，以獎(jiǎng)勵(lì)他對(duì)行業(yè)結(jié)構(gòu)、市場(chǎng)功能和公共監(jiān)管的起因和效應(yīng)的系統(tǒng)研究。

Stigler被認(rèn)為是“信息經(jīng)濟(jì)學(xué)”與“監(jiān)管經(jīng)濟(jì)學(xué)”的創(chuàng)始人。研究市場(chǎng)信息在市場(chǎng)中的作用，就是信息經(jīng)濟(jì)學(xué)的主題。比如人在購(gòu)買(mǎi)房屋、家用電器、汽車(chē)一類(lèi)的耐用品時(shí)，會(huì)廣泛收集信息，以便是自己買(mǎi)到最適合的商品。Stigler就把這樣的問(wèn)題模型化為效用函數(shù)，這一數(shù)學(xué)觀念很快就得到廣泛的應(yīng)用。

Stigler及其合作者對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)家在其論文中的引證作了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)分析。其中還對(duì)1886-1925年間和1925-1969年間的數(shù)據(jù)分別做了回歸分析，結(jié)果對(duì)前一時(shí)期得到：

（1.68） （0.60） （1.05） （0.05）

R???2=0.23，n=53。

其中圓括號(hào)中的數(shù)是t檢驗(yàn)值，B是代表書(shū)的數(shù)量，A代表文章的數(shù)量，下標(biāo)to05表示1905年以前，下標(biāo)5，25表示1905-1925年間。根據(jù)這個(gè)模型，Stigler得到一個(gè)結(jié)論：從早起來(lái)看，書(shū)的重要性是文章的3倍。而且R2的值很低，這說(shuō)明出版物的質(zhì)量所起的作用要比它的數(shù)量所起的作用大得多。對(duì)于1925-1969年間的分析結(jié)果為：

（1.28） （2.09） （0.10） （1.89）

（3.37） （2.67）

R2=0.398，n=126。

根據(jù)這個(gè)模型，Stigler得到的結(jié)論是：從早期看來(lái)文章的影響會(huì)更大，而近期的書(shū)的影響力則遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如前者，但近期文章的影響力卻在逐年上升。

（4）從諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)看數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模的價(jià)值

從以上兩位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主的成績(jī)我們可以看出，數(shù)學(xué)建模方法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，已經(jīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的各個(gè)方面產(chǎn)生了不可估量的影響，尤其是在經(jīng)濟(jì)理論證明和指導(dǎo)實(shí)踐方面取得了跨越式的發(fā)展。將數(shù)學(xué)建模方法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域已經(jīng)是不可阻擋的趨勢(shì)，并且其作用和影響也越來(lái)越受到人們的熱切關(guān)注。

二、構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型的基本步驟

（1）數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型建立的基本步驟

一般來(lái)說(shuō)，要解決一個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，建構(gòu)一個(gè)合理有效的數(shù)學(xué)模型主要有一下幾個(gè)步驟：

1.分析問(wèn)題

對(duì)問(wèn)題所給的條件和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，明確要解決的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，明確所給的信息與那些知識(shí)有關(guān)聯(lián)，判斷可能用到的方法和工具，最好是能確定要解決問(wèn)題的重點(diǎn)和關(guān)鍵所在。

2.模型假設(shè)

根據(jù)問(wèn)題的復(fù)雜程度、建立與求解模型所使用的條件和方法，對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行一些必要的合理的假設(shè)。在數(shù)學(xué)建模中，進(jìn)行一些合理的假設(shè)不但能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題，還可以限制求解方法和使用范圍。這也是評(píng)價(jià)一個(gè)模型的好壞的重要方法之一。提出的模型假設(shè)，既要起到是問(wèn)題簡(jiǎn)化和突出主要因素的作用，又要是問(wèn)題不能過(guò)分簡(jiǎn)單或特殊，必要時(shí)需要在建立模型的過(guò)程中對(duì)已經(jīng)做好的假設(shè)進(jìn)行不斷的修改和補(bǔ)充。

3.建立模型

通過(guò)假設(shè)對(duì)要研究的問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化、抽象，明確影響模型的諸因素，并找出主要因素，用數(shù)量和參數(shù)來(lái)表示這些因素。運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)描述問(wèn)題中變量與參數(shù)之間的數(shù)學(xué)規(guī)律，列出數(shù)學(xué)表達(dá)式、表格或圖形。對(duì)上述表達(dá)式、表格或圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，初步確定數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解

利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和方法，使用已知數(shù)據(jù)以及觀測(cè)數(shù)據(jù)，求解模型中參數(shù)的近似值，從而初步確立模型。在求解過(guò)程中掌握一兩個(gè)數(shù)學(xué)軟件（如Matlab）會(huì)使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。

5.模型的分析、檢驗(yàn)和應(yīng)用

對(duì)所確定的模型參數(shù)在數(shù)學(xué)上進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的靈敏性分析等。還需要把所得解及其分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，包括解是否合理適用，數(shù)學(xué)模型的解在實(shí)際問(wèn)題中是否具有一般意義。若誤差較大或靈敏性不高，模型就必須進(jìn)行調(diào)整修改，重復(fù)前面的建模過(guò)程，直到建立一個(gè)符合實(shí)際的合理有效的數(shù)學(xué)模型。

（2）養(yǎng)老保險(xiǎn)模型

眾所周知，養(yǎng)老保險(xiǎn)是保險(xiǎn)中一個(gè)非常重要的險(xiǎn)種，一般情況下保險(xiǎn)公司將提供不同的保險(xiǎn)方案供投保人選擇，或分析保險(xiǎn)品種的實(shí)際投資價(jià)值。換句話說(shuō)，就是分析如果所交保險(xiǎn)費(fèi)和保險(xiǎn)收入，按年或者按月計(jì)算實(shí)際的利率是多少？

1.模型假設(shè)

因?yàn)槔U費(fèi)是按月進(jìn)行的，所以這個(gè)過(guò)程可以按月進(jìn)行劃分。假設(shè)投保人到第k月止所繳保費(fèi)及收益的累計(jì)總額為Fk，每月收益為r，用p，q分別表示60歲之前和之后每月繳費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險(xiǎn)費(fèi)的月份，M表示停止領(lǐng)取保險(xiǎn)費(fèi)的月份。

2.模型建立

在這個(gè)階段，離散變量Fk的變化規(guī)律滿足一下式子：

，

在這里Fk表示從投保人開(kāi)始繳納保險(xiǎn)費(fèi)以后，投保人賬戶上的資金數(shù)，需注意我們關(guān)心的是在第M個(gè)月時(shí)，F(xiàn)M能否為非負(fù)數(shù)。如果為正，則表明保險(xiǎn)公司獲得收益；否則，表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)它為零時(shí)，表示保險(xiǎn)公司既沒(méi)有獲得收益也沒(méi)有出現(xiàn)虧損，即所有的收益全歸投保人，把它作為投保人的實(shí)際收益。由此可以看出，引入的變量Fk能夠很好的刻畫(huà)整個(gè)過(guò)程中資金的變化關(guān)系。尤其是引入的收益率變量r，雖然它不是要求的投保人的收益率，但是在問(wèn)題系統(tǒng)中必須要考慮引入另外一個(gè)對(duì)象，即保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)效益。以此作為整個(gè)過(guò)程中各個(gè)變量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。

3.模型計(jì)算

現(xiàn)以25歲起投保為例。假設(shè)男性平均壽命為75歲，則有p=200，q=2282，初始值為F0，可以得到：

，

在上述式子中，分別取k=N和k=M，并利用 可以求出：

，

利用數(shù)學(xué)軟件可以求出方程的根：r=0.00485。這里M=50×12，N=35×12。

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