代慧菊 李連忠 王琪 沙安

摘要：利用齊次平衡法獲得了一類四階偏微分方程的B/icklllnd變換，進而得到方程的幾組精確解;然后運用李對稱分析方法，獲得該方程的向量場，利用相似變換，把難于求解的非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的常微分方程，并通過求解所得到的約化方程，結(jié)合冪級數(shù)展開法，得到原方程的一系列精確解.

關(guān)鍵詞：B/icklund變換法;

四階偏微分方程;

李對稱分析;

冪級數(shù)展開法;

精確解

中圖分類號：0175.29 文獻標志碼：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.003

0引言

由于非線性偏微分方程在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，因此，尋找非線性偏微分方程的精確解成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的一個重要研究課題.近年來，有許多方法已用于尋求這類方程的精確確解，其中，李對稱分析和Backlllnd變換法也都是研究非線性偏微分方程的常用有效方法.四階偏微分方程在自然科學(xué)領(lǐng)域和工程技術(shù)領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用背景，它起源于物理學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個方面，特別是在彈性梁和穩(wěn)定性理論中具有極其廣泛的應(yīng)用.本文研究如下這類四階偏微分方程：

4基于冪級數(shù)法的方程的冪級數(shù)解

在這一節(jié)中，運用冪級數(shù)展開法對約化后的方程分別求其精確解，進而求得方程（1）的精確解.通過第3節(jié)的分析注意到，方程（33）和（36）具有相似的結(jié)構(gòu)，均為四階非線性非自治常微分方程，除特殊形式外，一般不能直接求得該類方程的解析解.但是該類方程的解在非線性理論及物理應(yīng)用中十分重要.所以，這一節(jié)主要運用冪級數(shù)展開法來求解方程（36）.由于冪級數(shù)的各項均為最簡單的多項式函數(shù)，因此在工程及近似計算中有廣泛的應(yīng)用.

假設(shè)方程（36）有如下的冪級數(shù)解

5結(jié)論

齊次平衡法與李對稱分析都是求解非線性偏微分方程精確解的有效可行方法，具有廣泛的應(yīng)用.本文分別利用齊次平衡法和李對稱分析研究了一類四階偏微分方程，不但得到方程的Backlund變換，并求得方程的部分精確解，而且得到方程的對稱性，然后運用相似約化的思想，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，結(jié)合冪級數(shù)法求解約化方程，進而得到原偏微分方程具有很強收斂性的冪級數(shù)解.