花星遠

【中圖分類號】G632 ??????【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）11-0116-01

數(shù)學(xué)來源于生活，同時也應(yīng)用于生活。下面我對中學(xué)數(shù)學(xué)中的平方差公式和應(yīng)用比例的應(yīng)用推廣的一點看法。

近年來的中、高考都考學(xué)生的實踐應(yīng)用能力，考試的內(nèi)容偏多。對于數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的計算能力就贏得時間=贏得高或中考。

二十世紀(jì)八十年代初，正值我們孩提之時，從當(dāng)時的《十萬個為什么》中獲得尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的快捷算法。當(dāng)時欣喜若狂，直到現(xiàn)在記憶猶新，此算法一直使用至今，終生受益。一些年后，當(dāng)時常講授到平方差公式時，偶然發(fā)現(xiàn)原來我們當(dāng)年學(xué)的尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方的快捷算法，卻來自平方差公式，或是說平方差公式可以證明快捷算法的可靠性、正確性。

由a2-b2=（a+b）（a-b）→a2=（a+b）（a-b）+b2

于是有例852=（85+5）（85-5）+52=90×80+52=7225

這里我們把90×80暫稱為前積A，52稱為后積B，容易看到：前積A=90×80，正好是85首位80與10的和乘以首位80.為了書寫方便，省去零，寫成如下形式，即

〖XC33.JPG;%29%29〗

歸納：

尾數(shù)是5的兩位數(shù)的平方等于首位數(shù)乘以首位數(shù)與1的和作為前積，續(xù)寫25為后積。

推廣1：任意兩位數(shù)的平方可化為一位數(shù)乘以兩位數(shù)，再續(xù)寫后積。

例：

782=（78+2）（78-2）+52=80×76+4=6084

712=（71+1）（71-1）+12=70×72+1=5041

492=（49+1）（49-1）+12=2400+1=2401

這里要說明的是底數(shù)應(yīng)選較靠近的整十為基數(shù)，使計算容易一些。如上面的492的49靠近50，所以選50，而不選492=（49+9）（49-9）+92

同理，712的71靠近70，故712=（71+1）（71-1）+12=5041

推廣2：首位數(shù)相同，尾數(shù)和為10的兩位數(shù)的積，也可仿照尾數(shù)是5的兩位數(shù)平方的方法進行計算。

例：

〖XC34.JPG;%29%29〗

證明：因為尾數(shù)和為零，所以這些尾數(shù)分別是1和9、2和8、3和7、4和6、5和5，他們的中位數(shù)得5。那么首位相同尾數(shù)是5是兩個因數(shù)的中數(shù)。如13×17，中數(shù)是15，98×92

中數(shù)是95.我們設(shè)這個數(shù)為C，中數(shù)和這兩個因數(shù)的差是±D=±（0，1，2，3，4）;兩個因數(shù)分別是C1、C2

〖XC35.JPG;%29%29〗

〖XC36.JPG;%29%29〗

中學(xué)數(shù)學(xué)要求學(xué)生們熟記1-100的平方，對于一些忘記或模糊的答案，或求類似上面的兩個因數(shù)的積，我們用上面的方法就可很快地找出正確的答案。

用比例解應(yīng)用題是小學(xué)高年級常用到的，到了中學(xué)又經(jīng)常用比例來解相似三角形，大家并不陌生。下面再以勻速運動為例談?wù)劚壤膽?yīng)用。

例1：甲乙二人在400米環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，同時從同一起點出發(fā)，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，已跑幾圈后，甲可超過乙一圈？

分析：他們所需要的時間是相等的，所以〖SX（〗S乙〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗V甲〖SX）〗

推出〖SX（〗V甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗圈長×圈數(shù)甲〖〗圈長×圈數(shù)乙〖SX）〗，因為圈長是定長且相等，

所以〖SX（〗S甲〖〗V乙〖SX）〗=〖SX（〗圈數(shù)甲〖〗圈數(shù)乙〖SX）〗。

解：設(shè)乙跑X圈，甲可超過乙一圈，得〖SX（〗X〖〗X+1〖SX）〗=〖SX（〗4〖〗6〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗，

解得X=2

答：略。

這里，圈長不論多少米，總有乙跑2圈，甲可超過乙一圈。

例2：兩船在湖的A、B兩處同時相對而行，距A處5公里時相遇后又繼續(xù)前進，分別到達A、B兩處后又即時返回，距B處3公里相遇，問A、B兩處的距離？

分析：因為在湖中行駛，可看是靜水航行，水速為零，又把兩船的航速看作是勻速的，時間也相等，于是〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗=〖SX（〗V甲×t〖〗V乙×t〖SX）〗=〖SX（〗S甲〖〗S乙〖SX）〗，即第一次相遇所走的路程比等于他們在第二次相遇時所走的路程比。

解：設(shè)A、B兩處的距離為X公里，得〖SX（〗5〖〗X-5〖SX）〗=〖SX（〗X+3〖〗2X-3〖SX）〗，解得X=2（X=0舍去）

答：略。

例3：一行軍隊的隊伍長8米，通訊員從排位追到排頭傳達命令后又回到排尾，這時隊伍正好前進了8米，問通訊員走了多少路程？

分析：這道題看乎數(shù)字少，比較難解，其實和例2是一樣的，可用〖XC37.JPG;%30%30〗，即通訊員從排尾追到排頭傳達命令所走的路程與隊伍已走的路程比等于通訊員從排頭回到排尾的路程與隊伍繼續(xù)前行的路程比，也等于通訊員共走的路程比。

解：設(shè)通訊員追到排頭時，隊伍前進了X米，得〖SX（〗X〖〗8+X〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗X〖SX）〗，解得X=4〖KF（〗2〖KF）〗（負(fù)數(shù)舍去）

通訊員共走了8+2X=8（1+〖KF（〗2〖KF）〗）（米）

答：略。

上面例2、例3亦可用輔助未知數(shù)時間t列方程。

例2解法：設(shè)A、B兩處的距離為X公里，第一次相遇時用t小時，得

〖SX（〗X+3〖〗〖SX（〗5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗2X-3〖〗〖SX（〗X-5〖〗t〖SX）〗〖SX）〗

例3解法：設(shè)通訊員追到排頭時，隊伍前進了X米，用了t分鐘，列方程得：

〖SX（〗X〖〗〖SX（〗8+X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗=〖SX（〗8-X〖〗〖SX（〗X〖〗t〖SX）〗〖SX）〗

這兩個方程都除以t就與用比例列的方程相同。

上面三道題的共同點就是勻速前進，其他外力不計。這樣，速度比等于相應(yīng)的路程比或圈數(shù)比，第一時間所走的路程與第二時間所走的路程成正比，可用比例列出等式求解。另外，還可多設(shè)一個輔助未知數(shù)，這樣列出方程更清晰一些，而這個輔助未知數(shù)容易給人一個錯覺，即一個方程兩個未知數(shù)，它的解是個不定解。其實這個輔助未知數(shù)只起到過渡作用，只要方程兩邊都除以（乘以）這個輔助未知數(shù)，方程就變成比例的形式。

用比例解應(yīng)用題，在中學(xué)階段，在我們現(xiàn)實生活中是不可忽略的。

總的來說，生活中的數(shù)學(xué)是取之不盡，用之不完的。