富艷姿

【摘要】《普通高中數(shù)學標準》指出高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培養(yǎng)科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).直觀想象是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一.筆者在文中對直觀想象的核心素養(yǎng)進行了概述，并以“利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點個數(shù)”這堂課為例，對在高中數(shù)學課堂中直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的策略進行了一些研究.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)形結(jié)合;直觀想象;函數(shù)的零點問題

一、直觀想象核心素養(yǎng)的概述

《普通高中數(shù)學標準》對直觀想象核心素養(yǎng)做了如下界定：“直觀想象”是借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題.主要包括：利用圖形描述數(shù)學問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

函數(shù)是中學數(shù)學中的核心概念，是中學數(shù)學的基礎(chǔ)，是學好數(shù)學的關(guān)鍵.函數(shù)概念抽象，內(nèi)涵豐富，利用圖形思考函數(shù)問題，形象直觀，有助于建立學生學習數(shù)學的信心.以研究函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)問題為例，從形的角度看，函數(shù)的零點個數(shù)是函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)，從數(shù)的角度看，函數(shù)的零點個數(shù)是方程f（x）=0的根的個數(shù).利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)的零點個數(shù)問題正是利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.

二、直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的策略研究

（一）引導學生利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學問題

“好的開始是成功的一半”，一個好的引入能夠帶領(lǐng)學生迅速地進入課堂狀態(tài).

引入第一版：函數(shù)f（x）=2x-x2的零點個數(shù)是;

這種提問題式引入，學生既可以解方程又可以作圖求解.但是解決這個問題，只作圖不計算很容易出錯，因為y=2x與y=x2的第三個交點往往會被忽略;如果只解方程不作圖，想求全方程f（x）=0的三個解也不容易.這也正驗證了華羅庚先生說過的：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”

這個引入提升了學生犯錯的概率.這節(jié)課要重點突出圖像法的優(yōu)越性，而課堂一開始便讓學生體驗圖像法的局限性，不利于他們進入狀態(tài).因此，筆者對引例的設計進行了修整，把一個問題拆成了三個有梯度的小問題進行研究.

①是求不含參函數(shù)的最小值問題，通過前面的引導，學生很自然會用圖像法解決①.在研究了①的基礎(chǔ)上，學生應該對問題②中參數(shù)a的分類有了一定的想法.下面節(jié)選課上教師引導學生解決②的過程進行分析.

師：②中的a是變化的，a取不同的值對應的f（x）圖像也不一樣，生1說說你對這個問題的思考.

生1：我只做出了①，②暫時沒想法.

師：②與①之間有聯(lián)系嗎？

生1：①是②的一種特殊情況.

師：①中的a的取值符合②的要求嗎？

生1：不符合（這時生1有了一些想法）

師：生1請坐，大家也結(jié)合著自己剛做完的①，再思考一下②，并和你的同伴交流一下你的思考，有了想法的可以舉手示意.

（停頓5分鐘）

生2：可以把a分成01兩種情況進行討論.當01時拋物線部分與x軸有兩個交點，指數(shù)部分與x軸沒有交點，根據(jù)圖像寫出a所滿足的約束條件.

教師根據(jù)學生描述進行板書.如圖所示：

師：你為什么要分這兩種情況討論？

生2：受①的啟發(fā)，當a=1時，f（x）與x軸有三個交點，拋物線部分兩個，指數(shù)部分一個.若01時，拋物線部分必有兩個零點，則指數(shù)部分不能有零點，因此，作出了圖2.

師：生2的分類簡單又全面，請大家根據(jù)這兩種情況的圖像，寫出a所滿足的約束條件.

從數(shù)學學科的角度看，直觀、想象的載體是“圖形”，數(shù)、形是數(shù)學研究和學習的基本對象，相對而言，形直觀，數(shù)抽象，因此，在解決問題時，要數(shù)形結(jié)合.本文以“利用數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的零點個數(shù)問題”的教學為例，闡述了直觀想象數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的策略.在我們的數(shù)學課堂上有意識地培養(yǎng)和強化學生利用圖形描述數(shù)學問題，利用數(shù)形結(jié)合理解數(shù)學問題，利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學問題，學生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng)會便會得到提升.

【參考文獻】

[1]蔣海燕.中學數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略[M].濟南：山東人民出版社，2017（5）.

[2]曹一鳴，馮啟磊，陳鵬舉，等.基于學生核心素養(yǎng)的數(shù)學學科能力研究[M].北京：北京師范大學出版社，2017（10）.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.